2026年人教版高二数学第7单元同步练习题

2026年人教版高二数学第7单元同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像在x轴上相邻两个最高点的距离为π/2，且f(π/4)＝1，则f(3π/4)的值为（）A．1B．0C．－1D．－√2/2解析：由题意知函数周期T＝π，故ω＝2π/T＝4，即f(x)＝sin(4x＋φ)。又f(π/4)＝sin(π＋φ)＝1，解得φ＝－π/2，因此f(x)＝sin(4x－π/2)＝－cos(4x)。代入x＝3π/4，得f(3π/4)＝－cos(3π)＝1，故选A。2.若函数y＝logₐ|x|（a>1）在(－∞，0)上单调递减，则a的取值范围是（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，+∞)D．(0，1)∪(1，+∞)解析：函数y＝logₐ|x|在(－∞，0)上单调递减等价于logₐ|x|在(－∞，0)上单调递减，即a>1时logₐt在(0，+∞)上单调递减，故a>1。又由a>1时logₐ|x|在(－∞，0)上单调递减，故a≠1，因此a∈(2，+∞)，选C。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²－b²＝c²－2abcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：由余弦定理a²－b²＝c²－2abcosC等价于a²－b²＝c²－2ab•(a²+b²－c²)/2a²，化简得a²－b²＝(a²+b²－c²)/2，即2(a²－b²)＝a²+b²－c²，整理得a²+b²＝2c²，故cosC＝(a²+b²－c²)/2ab＝1/2，因此C＝π/3，△ABC为等边三角形，选C。4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃＝9，S₆＝－6，则aₙ的通项公式为（）A．－3n－3B．－3nC．3n－3D．3n解析：由等差数列前n项和公式Sₙ＝n(a₁＋aₙ)/2，得S₃＝3(a₁＋a₃)/2＝9，即a₁＋a₃＝6；S₆＝6(a₁＋a₆)/2＝－6，即a₁＋a₆＝－2。又a₃＝a₁＋2d，a₆＝a₁＋5d，联立解得a₁＝3，d＝－3，故aₙ＝3－3(n－1)＝－3n＋6，选B。5.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y＋2)²＝4，则直线l：3x－4y＋5＝0与圆C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．直线过圆心解析：圆心(1，－2)，半径r＝2，圆心到直线l的距离d＝|3×1－4×(－2)＋5|/√(3²＋(－4)²)＝|3＋8＋5|/5＝16/5>2，故直线l与圆C相离，选A。6.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)在区间(－2，2)上的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－5，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，由零点判定定理知f(x)在(－2，－1)、(－1，1)、(1，2)上各有一个零点，共3个，选D。7.已知向量a＝(2，k)，b＝(－1，3)，若a⊥b，则|a|的值为（）A．√13B．2√2C．√10D．3√2解析：由a⊥b得2×(－1)＋k×3＝0，解得k＝2/3，故a＝(2，2/3)，|a|＝√(2²＋(2/3)²)＝√(4＋4/9)＝√(40/9)＝2√10/3，选C。8.已知某校高三(1)班有50名学生，其中男生30人，女生20人，现随机抽取3名学生，则抽到至少2名女生的概率为（）A．1/10B．3/10C．2/5D．3/5解析：抽到至少2名女生包括抽到2名女生和3名女生，P＝C(20,2)×C(30,1)/C(50,3)＋C(20,3)/C(50,3)＝(190×30)/(19600)＋(1140)/(19600)＝6160/19600＝2/5，选C。9.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上x对应点到1和－2对应点的距离之和，最小值为两点间距离|1－(－2)|＝3，选C。10.已知某工厂生产的产品合格率为95%，现随机抽取4件产品，则至少有1件不合格的概率为（）A．5%B．10%C．17.6%D．82.4%解析：至少1件不合格＝1－全部合格，P＝1－(0.95)⁴≈1－0.8145＝0.1855≈17.6%，选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像关于直线x＝π/4对称，且f(π/2)＝1，则ω＝__________，φ＝__________。参考答案：4，－π/4解析：图像关于x＝π/4对称，则ω(π/4)＋φ＝kπ＋π/2，f(π/2)＝sin(ωπ/2＋φ)＝1，即ωπ/2＋φ＝2kπ＋π/2，联立解得ω＝4，φ＝－π/4。2.若函数y＝logₐ|x|（a>1）在(0，+∞)上单调递增，则a的取值范围是__________。参考答案：(0，1)解析：a>1时logₐt在(0，+∞)上单调递增，但题目要求在(0，+∞)上单调递增，故a∈(0，1)。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²－b²＝c²－2abcosC，则cosB＝__________。参考答案：1/2解析：由余弦定理a²－b²＝c²－2abcosC等价于cosB＝(a²+b²－c²)/2ab＝1/2。4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₁＝2，S₃＝12，则数列{aₙ}的公差d＝__________。参考答案：4解析：S₁＝a₁＝2，S₃＝3a₁＋3d＝12，解得d＝4。5.已知圆C的方程为(x－2)²＋(y＋1)²＝9，则直线l：x－y－5＝0与圆C的位置关系是__________。参考答案：相交解析：圆心(2，－1)，半径r＝3，圆心到直线l的距离d＝|1×2－1×(－1)－5|/√(1²＋(－1)²)＝|2＋1－5|/√2＝√2<3，故直线l与圆C相交。6.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)在区间(－1，1)上的零点个数为__________。参考答案：1解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，由零点判定定理知f(x)在(－1，1)上有一个零点。7.已知向量a＝(3，k)，b＝(－2，1)，若a∥b，则k＝__________。参考答案：－3/2解析：a∥b得3×1＝k×(－2)，解得k＝－3/2。8.已知某校高三(2)班有60名学生，其中男生35人，女生25人，现随机抽取3名学生，则抽到全是男生的概率为__________。参考答案：7/24解析：P＝C(35,3)/C(60,3)＝(35×34×33)/(60×59×58)＝7/24。9.已知函数f(x)＝|x－2|＋|x－3|，则f(x)的最小值为__________。参考答案：1解析：f(x)＝|x－2|＋|x－3|表示数轴上x对应点到2和3对应点的距离之和，最小值为两点间距离|2－3|＝1。10.已知某工厂生产的产品合格率为90%，现随机抽取5件产品，则至少有2件合格的概率为__________。参考答案：0.9914解析：至少2件合格＝2件合格＋3件合格＋4件合格＋5件合格，P＝C(5,2)(0.9)²(0.1)³＋C(5,3)(0.9)³(0.1)²＋C(5,4)(0.9)⁴(0.1)¹＋(0.9)⁵≈0.9914。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像在x轴上相邻两个最高点的距离为π/2，则f(x)的周期为π。（√）解析：由题意知函数周期T＝π/ω＝π/2，故ω＝2，周期T＝π/2，题目说法错误。2.若函数y＝logₐ|x|（a>1）在(－∞，0)上单调递减，则a的取值范围是(1，+∞)。（√）解析：a>1时logₐ|x|在(－∞，0)上单调递减，故a∈(1，+∞)，题目说法正确。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²－b²＝c²－2abcosC，则△ABC为直角三角形。（√）解析：由余弦定理a²－b²＝c²－2abcosC等价于cosB＝1/2，故B＝π/3，△ABC为等边三角形，题目说法错误。4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃＝9，S₆＝－6，则数列{aₙ}的公差d＝－3。（√）解析：由S₆－S₃＝3d＝－6－9＝－15，解得d＝－5，题目说法错误。5.已知圆C的方程为(x－1)²＋(y＋2)²＝4，则直线l：2x＋y－1＝0与圆C的位置关系是相交。（√）解析：圆心(1，－2)，半径r＝2，圆心到直线l的距离d＝|2×1＋1×(－2)－1|/√(2²＋1²)＝|2－2－1|/√5＝√5/5<2，故直线l与圆C相交，题目说法正确。6.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)在区间(－2，2)上的零点个数为2。（×）解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－5，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，由零点判定定理知f(x)在(－2，－1)、(－1，1)、(1，2)上各有一个零点，共3个，题目说法错误。7.已知向量a＝(2，k)，b＝(－1，3)，若a⊥b，则k＝6。（×）解析：由a⊥b得2×(－1)＋k×3＝0，解得k＝2/3，题目说法错误。8.已知某校高三(1)班有50名学生，其中男生30人，女生20人，现随机抽取3名学生，则抽到全是女生的概率为1/125。（×）解析：P＝C(20,3)/C(50,3)＝(20×19×18)/(50×49×48)≈0.13，题目说法错误。9.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为3。（×）解析：f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上x对应点到1和－2对应点的距离之和，最小值为两点间距离|1－(－2)|＝3，题目说法正确。10.已知某工厂生产的产品合格率为95%，现随机抽取4件产品，则至少有1件不合格的概率为5%。（×）解析：至少1件不合格＝1－全部合格，P＝1－(0.95)⁴≈1－0.8145＝0.1855≈17.6%，题目说法错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像在x轴上相邻两个最高点的距离为π/3，且f(π/4)＝1，求f(x)的解析式。参考答案：f(x)＝sin(6x－π/4)解析：由题意知函数周期T＝π/ω＝π/3，故ω＝3，f(π/4)＝sin(3π/4＋φ)＝1，解得φ＝－π/4，故f(x)＝sin(6x－π/4)。2.若函数y＝logₐ|x|（a>1）在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围。参考答案：a∈(0，1)解析：a>1时logₐt在(0，+∞)上单调递增，但题目要求在(0，+∞)上单调递增，故a∈(0，1)。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²－b²＝c²－2abcosC，求cosB的值。参考答案：cosB＝1/2解析：由余弦定理a²－b²＝c²－2abcosC等价于cosB＝(a²+b²－c²)/2ab＝1/2。4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₁＝5，S₃＝15，求数列{aₙ}的通项公式。参考答案：aₙ＝5n解析：S₁＝a₁＝5，S₃＝3a₁＋3d＝15，解得d＝10/3，故aₙ＝5＋(n－1)×(10/3)＝5n。5.已知圆C的方程为(x－2)²＋(y＋1)²＝9，求圆C的圆心和半径。参考答案：圆心(2，－1)，半径r＝3解析：圆C的方程为(x－2)²＋(y＋1)²＝9，故圆心(2，－1)，半径r＝√9＝3。6.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，求f(x)在区间(－2，2)上的零点个数。参考答案：3解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－5，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，由零点判定定理知f(x)在(－2，－1)、(－1，1)、(1，2)上各有一个零点，共3个。7.已知向量a＝(3，k)，b＝(－2，1)，若a∥b，求k的值。参考答案：k＝－3/2解析：a∥b得3×1＝k×(－2)，解得k＝－3/2。8.已知某校高三(3)班有70名学生，其中男生40人，女生30人，现随机抽取3名学生，求抽到至少2名女生的概率。参考答案：P＝17/49解析：至少2名女生＝2名女生＋3名女生，P＝C(30,2)×C(40,1)/C(70,3)＋C(30,3)/C(70,3)＝(30×29×40)/(70×69×68)＋(30×29×28)/(70×69×68)≈17/49。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像在x轴上相邻两个最高点的距离为π/4，且f(π/2)＝1，求f(x)的解析式。参考答案：f(x)＝sin(4x－π/4)解析：由题意知函数周期T＝π/ω＝π/4，故ω＝4，f(π/2)＝sin(4π/2＋φ)＝1，解得φ＝－π/4，故f(x)＝sin(4x－π/4)。2.若函数y＝logₐ|x|（a>1）在(－∞，0)上单调递减，求a的取值范围。参考答案：a∈(1，+∞)解析：a>1时logₐ|x|在(－∞，0)上单调递减，故a∈(1，+∞)。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²－b²＝c²－2abcosC，求cosB的值。参考答案：cosB＝1/2解析：由余弦定理a²－b²＝c²－2abcosC等价于cosB＝(a²+b²－c²)/2ab＝1/2。4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₁＝7，S₃＝21，求数列{aₙ}的通项公式。参考答案：aₙ＝3n－2解析：S₁＝a₁＝7，S₃＝3a₁＋3d＝21，解得d＝4，故aₙ＝7＋(n－1)×4＝3n－2。5.已知圆C的方程为(x－3)²＋(y－2)²＝16，求圆C的圆心和半径。参考答案：圆心(3，2)，半径r＝4解析：圆C的方程为(x－3)²＋(y－2)²＝16，故圆心(3，2)，半径r＝√16＝4。6.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，求f(x)在区间(－3，3)上的零点个数。参考答案：3解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(3)＝19，由零点判定定理知f(x)在(－3，－1)、(－1，1)、(1，3)上各有一个零点，共3个。7.已知向量a＝(2，k)，b＝(－1，3)，若a⊥b，求k的值。参考答案：k＝－3解析：由a⊥b得2×(－1)＋k×3＝0，解得k＝－3/2，题目说法错误。8.已知某工厂生产的产品合格率为92%，现随机抽取6件产品，求至少有3件合格的概率。参考答案：P≈0.9928解析：至少3件合格＝3件合格＋4件合格＋5件合格＋6件合格，P＝C(6,3)(0.92)³(0.08)³＋C(6,4)(0.92)⁴(0.08)²＋C(6,5)(0.92)⁵(0.08)¹＋(0.92)⁶≈0.9928。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.B4.B5.A6.D7.B8.C9.C10.D二、填空题1.4，－π/42.(0，1)3.1/24.45.相交6.37.－3/28.7/249.110.0.9914三、判断题1.×2.√3.×4.×5.√6.×7.×8.×9.√10.×四、简答题1.f(x)＝sin(6x－π/4)解析：由题意知函数周期T＝π/ω＝π/3，故ω＝3，f(π/4)＝sin(3π/4＋φ)＝1，解得φ＝－π/4，故f(x)＝sin(6x－π/4)。2.a∈(0，1)解析：a>1时logₐt在(0，+∞)上单调递增，但题目要求在(0，+∞)上单调递增，故a∈(0，1)。3.cosB＝1/2解析：由余弦定理a²－b²＝c²－2abcosC等价于cosB＝(a²+b²－c²)/2ab＝1/2。4.aₙ＝5n解析：S₁＝a₁＝5，S₃＝3a₁＋3d＝15，解得d＝10/3，故aₙ＝5＋(n－1)×(10/3)＝5n。5.圆心(2，－1)，半径r＝3解析：圆C的方程为(x－2)²＋(y＋1)²＝9，故圆心(2，－1)，半径r＝√9＝3。6.f(x)在区间(－2，2)上的零点个数为3解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－5，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，由零点判定定理知f(