2025-2026年人教版高三数学下册第五章数列练习题

2025-2026年人教版高三数学下册第五章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n-6B.2n-8C.3n-11D.4n-16解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=12，解得a_5=6。设公差为d，则a_5=a_1+4d=6，a_3=a_1+2d=4，联立方程解得a_1=2，d=1。因此通项公式a_n=2+(n-1)×1=2n-6。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.197B.199C.201D.203解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，变形为b_n+1-b_n=2n。累加可得b_10=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_10-b_9)=1+2+4+6+…+18=1+2×(1+2+3+…+9)=1+2×(9×10)/2=1+90=91。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则c_5的值为（）A.30B.31C.32D.33解析：由数列与数列和关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算c_5=S_5-S_4=3×5^2-2×5-[3×4^2-2×4]=75-10-48+8=25。4.在等比数列{d_n}中，若d_2d_8=64，d_4=4，则该数列的公比q等于（）A.2B.-2C.2或-2D.4或-4解析：由等比数列性质d_2d_8=d_4^2，代入d_2d_8=64，d_4=4得4^2=64，解得q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_n等于（）A.nB.n+1C.2nD.2n+1解析：由数列与数列和关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算e_n=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=n。当n=1时e_1=T_1=1，符合上式，故e_n=n。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+3)（n≥1），则f_5的值约为（）A.1.8B.2.0C.2.2D.2.4解析：逐项计算f_2=√(2+3)=√5≈2.236，f_3=√(5+3)≈3.316，f_4=√(3.316+3)≈3.414，f_5=√(3.414+3)≈3.536，取整后约为2.4。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{√(g_n)}的前3项和等于（）A.3√2B.4√2C.5√2D.6√2解析：由数列与数列和关系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算g_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。则√(g_n)=√(2^{n-1})=2^{(n-1)/2}，前3项和为2^0+2^{1/2}+2^1=1+√2+2=3+√2≈4√2。8.若数列{h_n}满足h_n=2n-1，则数列{h_1+h_2+…+h_n}/n等于（）A.nB.n-1C.n+1D.2n-1解析：分子为等差数列前n项和h_1+h_2+…+h_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，则数列{h_1+h_2+…+h_n}/n=n^2/n=n。9.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2（n≥1），则a_4等于（）A.47B.49C.51D.53解析：构造新数列b_n=a_n+1，则b_n=3b_{n-1}+2，变形为b_n-1=3(b_{n-1}-1)，即b_n-1是首项为0、公比为3的等比数列，解得b_n=3^{n-1}，故a_n=3^{n-1}-1，a_4=3^3-1=26。10.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{c_n^2}的前3项和等于（）A.19B.21C.23D.25解析：由数列与数列和关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算c_n=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n，则c_n^2=4n^2。前3项和为4×1^2+4×2^2+4×3^2=4+16+36=56，但选项无56，重新检查发现计算错误，正确计算为4×1+4×4+4×9=4+16+36=56，选项无56，可能是题目设计错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=______。解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，代入得2a_5=20，解得a_5=10。又a_5+a_7=2a_6，故a_5+a_7=2×10=20。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=2b_n+1（n≥1），则b_6=______。解：构造新数列c_n=b_n+1，则c_n=2c_{n-1}+1，变形为c_n-1=2(c_{n-1}-1)，即c_n-1是首项为1、公比为2的等比数列，解得c_n=2^n，故b_n=2^n-1，b_6=2^6-1=63。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，则c_4=______。解：由数列与数列和关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算c_4=S_4-S_3=3^4-1-(3^3-1)=81-27=54。4.在等比数列{d_n}中，若d_2d_8=32，d_3=4，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质d_2d_8=d_3^2，代入d_2d_8=32，d_3=4得4^2=32，解得q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_n等于______。解：由数列与数列和关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算e_n=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=n。当n=1时e_1=T_1=1，符合上式，故e_n=n。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_n+1=f_n+2n（n≥1），则f_5=______。解：逐项计算f_2=f_1+2=3+2=5，f_3=f_2+4=5+4=9，f_4=f_3+6=9+6=15，f_5=f_4+8=15+8=23。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{√(g_n)}的前2项和等于______。解：由数列与数列和关系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算g_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。则√(g_n)=√(2^{n-1})=2^{(n-1)/2}，前2项和为2^0+2^{1/2}=1+√2≈3.414。8.若数列{h_n}满足h_n=3n-2，则数列{h_1+h_2+…+h_n}/n等于______。解：分子为等差数列前n项和h_1+h_2+…+h_n=1+4+7+…+(3n-2)=3n^2/2-n/2，则数列{h_1+h_2+…+h_n}/n=3n/2-1/2。9.已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=2a_n-1（n≥1），则a_4等于______。解：构造新数列b_n=a_n-1，则b_n+1=2b_n，即b_n是首项为1、公比为2的等比数列，解得b_n=2^{n-1}，故a_n=2^{n-1}+1，a_4=2^3+1=9。10.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{c_n^2}的前2项和等于______。解：由数列与数列和关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算c_n=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n，则c_n^2=4n^2。前2项和为4×1^2+4×2^2=4+16=20。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，则a_1+a_9=a_5+a_7。（√）解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，a_5+a_7=2a_6，但a_5≠a_6，故错误。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2，则b_n是等差数列。（×）解：由数列与数列和关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算b_n=n^2-[（n-1)^2]=2n-1，但b_1=S_1=1，不符合等差数列定义。3.若数列{c_n}是等比数列，则c_2c_8=c_4^2。（√）解：由等比数列性质c_2c_8=c_4^2，正确。4.若数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则d_n=n。（√）解：由数列与数列和关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算d_n=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=n，正确。5.若数列{e_n}满足e_n=e_{n-1}+n（n≥2），则e_n是等差数列。（×）解：e_n-e_{n-1}=n，但e_{n-1}-e_{n-2}=n-1，故不是等差数列。6.若数列{f_n}的前n项和S_n=2^n-1，则f_n是等比数列。（×）解：由数列与数列和关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算f_n=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，但f_1=S_1=1，不符合等比数列定义。7.若数列{g_n}是等差数列，则数列{g_n^2}也是等差数列。（×）解：设g_n=a+nd，则g_n^2=(a+nd)^2=a^2+2and+n^2d^2，不是等差数列。8.若数列{h_n}满足h_n=h_{n-1}+2n（n≥2），则h_n是等差数列。（×）解：h_n-h_{n-1}=2n，但h_{n-1}-h_{n-2}=2(n-1)，故不是等差数列。9.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则a_n=2n。（×）解：由数列与数列和关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算a_n=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n，但a_1=S_1=2≠2×1，故错误。10.若数列{c_n}是等比数列，则数列{c_n^2}也是等比数列。（√）解：设c_n=q^n，则c_n^2=(q^n)^2=q^{2n}，仍是等比数列，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}是等差数列，a_3=7，a_5=11，求该数列的通项公式。解：设首项为a_1，公差为d，则a_3=a_1+2d=7，a_5=a_1+4d=11，联立方程解得a_1=3，d=2。故通项公式a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和T_n=n^2+n，求b_4。解：由数列与数列和关系b_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算b_4=T_4-T_3=16+4-(9+3)=8。3.已知数列{c_n}是等比数列，c_2=6，c_4=54，求该数列的公比。解：设公比为q，则c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54得54=6q^2，解得q=±3。4.若数列{d_n}满足d_n=2n-1，求该数列的前10项和。解：由等差数列求和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，代入a_1=1，a_n=19得S_10=10×(1+19)/2=100。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，求e_3。解：由数列与数列和关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算e_3=T_3-T_2=7-3=4。6.若数列{f_n}满足f_n=f_{n-1}+3（n≥2），且f_1=1，求f_5。解：逐项计算f_2=f_1+3=4，f_3=f_2+3=7，f_4=f_3+3=10，f_5=f_4+3=13。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，求该数列的通项公式。解：由数列与数列和关系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算g_n=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=n，当n=1时g_1=S_1=1，符合上式，故g_n=n。8.若数列{h_n}满足h_n=3^n，求该数列的前3项和。解：由等比数列求和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=3，q=3得S_3=3×(1-3^3)/(1-3)=3×8/(-2)=-12。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的20%，若第一年生产能力为100万吨，求第5年的生产能力。解：设生产能力为a_n，则a_n=a_{n-1}×1.2，a_1=100，a_2=100×1.2=120，a_3=120×1.2=144，a_4=144×1.2=172.8，a_5=172.8×1.2=207.36万吨。2.某城市人口每年增长1%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：设人口为b_n，则b_n=b_{n-1}×1.01，b_1=100，b_2=100×1.01=101，…，b_5=100×1.01^5≈105.1万。3.某投资账户每年收益率为10%，若初始投资为10万元，求第3年的账户余额。解：设账户余额为c_n，则c_n=c_{n-1}×1.1，c_1=10，c_2=10×1.1=11，c_3=11×1.1=12.1万元。4.某农场计划每年种植面积比上一年增加5%，若第一年种植面积为100公顷，求第4年的种植面积。解：设种植面积为d_n，则d_n=d_{n-1}×1.05，d_1=100，d_2=100×1.05=105，d_3=105×1.05=110.25，d_4=110.25×1.05≈115.76公顷。5.某公司员工工资每年上涨8%，若初始工资为5000元，求第2年的工资。解：设工资为e_n，则e_n=e_{n-1}×1.08，e_1=5000，e_2=5000×1.08=5400元。6.某产品成本每年下降3%，若初始成本为100元，求第3年的成本。解：设成本为f_n，则f_n=f_{n-1}×0.97，f_1=100，f_2=100×0.97=97，f_3=97×0.97≈94.09元。7.某城市道路长度每年增加2公里，若2020年道路长度为100公里，求2024年的道路长度。解：设道路长度为g_n，则g_n=g_{n-1}+2，g_1=100，g_2=102，g_3=104，…，g_5=110公里。8.某工厂计划每年比上一年减少库存的10%，若第一年库存为1000件，求第4年的库存量。解：设库存量为h_n，则h_n=h_{n-1}×0.9，h_1=1000，h_2=900，h_3=810，h_4=729件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.A4.C5.A6.D7.B8.A9.B10.C二、填空题1.202.633.544.±25.n6.237.3+√28.3n/2-1/29.910.20三、判断题1.√2.×3.√4.√5.×6.×7.×8.×9.×10.√四、简答题1.a_n=2n+1解：设首项为a_1，公差为d，则a_3=a_1+2d=7，a_5=a_1+4d=11，联立方程解得a_1=3，d=2。故通项公式a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.b_4=8解：由数列与数列和关系b_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算b_4=T_4-T_3=16+4-(9+3)=8。3.q=±3解：设公比为q，则c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54得54=6q^2，解得q=±3。4.S_10=100解：由等差数列求和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，代入a_1=1，a_n=19得S_10=10×(1+19)/2=100。5.e_3=4解：由数列与数列和关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），计算e_3=T_3-T_2=7-3=4。6.f_5=13解：逐项计算f_2=f_1+3=4，f_3=f_2+3=7，f_4=f_3+3=10，f_5=f_4+3=13。7.g_n=n解：由数列与数列和关系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），计算g_n=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=n，当n=1时g_1=S_1=1，符合上式，故g_n=n。8.S_3=12.1万元解：由等比数列求和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=10，q=1.1得S_3=10×(1-1.1^3)/(1-1.1)=10×(1-1.