2026年人教版高三数学第十三章函数图像应用练习题

2026年人教版高三数学第十三章函数图像应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)的图像经过点(1,2)，且其反函数f⁻¹(x)的图像经过点(2,1)，则f(x)的解析式可能为（）A.f(x)=2x-1B.f(x)=x²（x≥0）C.f(x)=log₂(x+1)D.f(x)=√x（x≥0）解析：由反函数图像经过(2,1)可知f(2)=1，结合原函数经过(1,2)，选项A满足f(1)=2且f(2)=1；选项B不满足f(1)=2；选项C不满足f(2)=1；选项D不满足f(1)=2。正确答案为A。2.函数y=3sin(2x+π/3)的图像向右平移φ个单位后与y=3cos2x的图像重合，则φ的最小正值是（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3解析：由3sin(2x+π/3)=3cos2x可得2x+π/3=2kπ+π/2，解得x=kπ/2+π/12，平移后需满足2(x-φ)+π/3=2kπ+π/2，解得φ=kπ-π/6，最小正值为π/6。正确答案为A。3.已知函数f(x)=|x-1|+|x+a|（a为实数）的图像关于y轴对称，则f(x)在[-2,2]上的最小值是（）A.1+aB.1-aC.|a-1|D.2|a|解析：由对称性可得a=1，此时f(x)=|x-1|+|x+1|，在[-2,2]上分段为：当x∈[-2,-1]时，f(x)=2-x+x+1=3；当x∈[-1,1]时，f(x)=1-x+x+1=2；当x∈[1,2]时，f(x)=x-1+x+1=2x；最小值为2。正确答案为B。4.函数y=2^x与y=1-x的图像的交点坐标在第三象限，则实数m的取值范围，使得方程2^x=1-mx在第三象限有唯一解，m的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(-1,0)D.(-2,-1)解析：交点在第三象限意味着2^x<1且x<0，即x∈(-∞,0)，此时1-mx>1，解得m<0。又由2^x=1-mx在第三象限有唯一解，需直线y=1-mx在x<0时与指数函数相切，切点满足2^x=-mx，切线斜率k=2^xln2=-m，解得m=2^(xln2)，结合x<0可得m∈(-1,0)。正确答案为C。5.函数f(x)=x³-3x+2的图像与直线y=x的交点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：令g(x)=f(x)-x=x³-4x+2，求导g'(x)=3x²-4，令g'(x)=0得x=±2√3/3，计算g(±2√3/3)=2±4√3/3>0，g(0)=2，g(±2)=0，由零点判定定理可知g(x)在(-∞,-2√3/3)和(2√3/3,∞)单调递增，在(-2√3/3,2√3/3)单调递减，且无零点，故f(x)与y=x无交点。正确答案为A。6.函数y=cos²x-sin²x+2sinx的图像关于点(π/4,1)对称，则函数的最小正周期为（）A.πB.2πC.3π/2D.4π解析：由对称性可得f(π/4+α)+f(π/4-α)=2，代入f(x)=cos2x+sinx化简得2cos2α=0，即α=kπ/2，最小正周期为π。正确答案为A。7.已知函数f(x)=x²+2ax+a在区间[-1,1]上的最小值为-1，则实数a的取值范围是（）A.[-1,1]B.(-∞,-1]∪[1,+∞)C.(-1,1)D.[-3,1]解析：对称轴x=-a，分三种情况：①-a∈[-1,1]，f(-1)=-1得a=1；②-a<-1，f(1)=-1得a=-3；③-a>-1，f(-1)=-1得a=1。综上a∈[-3,1]。正确答案为D。8.函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：f(x+π)=|sin(x+π)|+|cos(x+π)|=|sinx|+|cosx|=f(x)，f(2π)=f(0)=1≠f(π)，故最小正周期为π。正确答案为B。9.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-2,3]上的最大值与最小值之差为（）A.5B.9C.15D.21解析：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-2)=-10，f(-√3/3)=10√3/9-2√3/3+2√3/9=2√3/3，f(1-√3/3)=4√3/9-2√3/3+1-√3/3=1-2√3/3，f(1+√3/3)=1+2√3/3，f(3)=0，最大值为10，最小值为-10，差为20。正确答案为无正确选项，需修正题目。10.函数y=2cos(2x+π/3)的图像经过点(π/6,√3)，则其对称中心的最小正整数解为（）A.1B.2C.3D.4解析：代入x=π/6得2cos(π/2+π/3)=√3，即cos(π/2+π/3)=√3/2，解得2x+π/3=2kπ±π/6，对称中心为x=kπ-π/12，最小正整数为1。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与x轴所围成的封闭图形的面积是_________解析：图像由三条直线组成，交点为(-2,0)、(1,0)、(-1,3)，围成三角形，面积=1/2×3×3=9/2。参考答案：9/22.函数y=3sin(2x-π/4)的图像向左平移π/8个单位后，其对称轴方程为_________解析：平移后y=3sin(2x+π/8)，对称轴为2x+π/8=kπ+π/2，即x=kπ/2+π/16。参考答案：kπ/2+π/16（k∈Z）3.函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a=_________解析：f'(x)=3x²-a，f'(1)=0得a=3。参考答案：34.函数y=cos²x-sin²x+2sinx的值域为_________解析：令t=sinx，y=-t²+2t-1，对称轴t=1，最大值为1，最小值为-2。参考答案：[-2,1]5.函数f(x)=x³-3x+2的图像与直线y=x的交点个数为_________解析：同第5题，无交点。参考答案：06.函数y=2cos(2x+π/3)的图像经过点(π/6,√3)，则其对称中心的坐标为_________解析：对称中心为x=kπ-π/12，y=0。参考答案：(kπ-π/12,0)（k∈Z）7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为_________解析：在[-3,-1]上递减，[-1,1]上恒为2，[1,3]上递增，最小值为2。参考答案：28.函数y=3sin(2x-π/4)的图像向左平移π/8个单位后，其周期为_________解析：平移不改变周期，原周期为π。参考答案：π9.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-2,3]上的最大值为_________解析：同第9题，最大值为10。参考答案：1010.函数y=cos²x-sin²x+2sinx的图像关于点(π/4,1)对称，则其对称轴方程为_________解析：对称轴为x=π/4+kπ/2。参考答案：x=π/4+kπ/2（k∈Z）三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像关于x=-1.5对称。（×）解析：对称轴为(-1,1.5)，非x=-1.5。2.函数y=3sin(2x-π/4)的图像向左平移π/8个单位后，其周期为π/2。（×）解析：周期仍为π。3.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-2,3]上的最小值为-10。（√）解析：f(-2)=-10为最小值。4.函数y=cos²x-sin²x+2sinx的值域为[-2,3]。（×）解析：值域为[-2,1]。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值为5。（√）解析：f(-3)=5为最大值。6.函数y=2cos(2x+π/3)的图像经过点(π/6,√3)，则其对称中心的坐标为(π/12,0)。（×）解析：对称中心为(kπ-π/12,0)。7.函数f(x)=x³-3x+2的图像与直线y=x的交点个数为2。（×）解析：无交点。8.函数y=3sin(2x-π/4)的图像向左平移π/8个单位后，其对称轴方程为x=π/8+kπ/2。（×）解析：对称轴为x=π/4+kπ/2。9.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-2,3]上的最大值为10。（√）解析：f(1)=1为最大值。10.函数y=cos²x-sin²x+2sinx的图像关于点(π/4,1)对称，则其对称轴方程为x=π/4+kπ。（×）解析：对称轴为x=π/4+kπ/2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与x轴所围成的封闭图形的面积是多少？请说明计算过程。参考答案：图像由三条直线组成，交点为(-2,0)、(1,0)、(-1,3)，围成三角形，面积=1/2×3×3=9/2。2.函数y=3sin(2x-π/4)的图像向左平移π/8个单位后，其对称轴方程是什么？请说明推导过程。参考答案：平移后y=3sin(2x+π/8)，对称轴为2x+π/8=kπ+π/2，即x=kπ/2+π/16。3.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处取得极值，求a的值。参考答案：f'(x)=3x²-6x+2，f'(1)=0得a=3。4.函数y=cos²x-sin²x+2sinx的值域是什么？请说明计算过程。参考答案：令t=sinx，y=-t²+2t-1，对称轴t=1，最大值为1，最小值为-2。值域为[-2,1]。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是多少？请说明计算过程。参考答案：在[-3,-1]上递减，[-1,1]上恒为2，[1,3]上递增，最小值为2。6.函数y=2cos(2x+π/3)的图像经过点(π/6,√3)，求其对称中心的坐标。参考答案：对称中心为x=kπ-π/12，y=0。坐标为(kπ-π/12,0)（k∈Z）。7.函数f(x)=x³-3x+2的图像与直线y=x的交点个数是多少？请说明计算过程。参考答案：令g(x)=f(x)-x=x³-4x+2，g'(x)=3x²-4，g(-2√3/3)=10√3/9-2√3/3+2√3/9>0，g(0)=2，g(2)=0，g(x)在(-∞,-2√3/3)和(2√3/3,∞)单调递增，在(-2√3/3,2√3/3)单调递减，无零点，故无交点。8.函数y=cos²x-sin²x+2sinx的图像关于点(π/4,1)对称，求其对称轴方程。参考答案：对称轴为x=π/4+kπ/2（k∈Z）。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+a|（a为实数）的图像关于y轴对称，求f(x)在[-2,2]上的最小值。解：由对称性可得a=1，此时f(x)=|x-1|+|x+1|，在[-2,2]上分段为：当x∈[-2,-1]时，f(x)=2-x+x+1=3；当x∈[-1,1]时，f(x)=1-x+x+1=2；当x∈[1,2]时，f(x)=x-1+x+1=2x；最小值为2。2.函数y=2^x与y=1-x的图像的交点坐标在第三象限，求实数m的取值范围，使得方程2^x=1-mx在第三象限有唯一解。解：交点在第三象限意味着2^x<1且x<0，即x∈(-∞,0)，此时1-mx>1，解得m<0。又由2^x=1-mx在第三象限有唯一解，需直线y=1-mx在x<0时与指数函数相切，切点满足2^x=-mx，切线斜率k=2^xln2=-m，解得m=2^(xln2)，结合x<0可得m∈(-1,0)。3.函数f(x)=x³-3x²+2x的图像与直线y=x的交点个数为多少？请说明计算过程。解：令g(x)=f(x)-x=x³-4x+2，求导g'(x)=3x²-4，令g'(x)=0得x=±2√3/3，计算g(±2√3/3)=2±4√3/3>0，g(0)=2，g(±2)=0，由零点判定定理可知g(x)在(-∞,-2√3/3)和(2√3/3,∞)单调递增，在(-2√3/3,2√3/3)单调递减，且无零点，故f(x)与y=x无交点。4.函数y=cos²x-sin²x+2sinx的图像关于点(π/4,1)对称，求其对称中心的坐标。解：对称中心为x=kπ-π/12，y=0。坐标为(kπ-π/12,0)（k∈Z）。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像与x轴所围成的封闭图形的面积是多少？请说明计算过程。解：图像由三条直线组成，交点为(-2,0)、(1,0)、(-1,3)，围成三角形，面积=1/2×3×3=9/2。6.函数y=3sin(2x-π/4)的图像向左平移π/8个单位后，其周期为多少？请说明推导过程。解：平移不改变周期，原周期为π。7.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-2,3]上的最大值是多少？请说明计算过程。解：f(-2)=-10，f(-1)=4，f(0)=0，f(1)=0，f(2)=0，f(3)=0，最大值为4。【标准