2026年四川省部编版高三数学第十七章数列极限与导数综合练习题

2026年四川省部编版高三数学第十七章数列极限与导数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=11，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-1D.5n-3解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=11可得11=3+4d，解得d=2。因此a_n=3+(n-1)×2=2n+1，故选A。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n∈N），则b_10的值为（）A.191B.192C.193D.194解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_n=b_1+2(1+2+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，代入n=10得b_10=10×11+1=191，故选A。3.数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，则c_4的值为（）A.8B.10C.12D.14解析：由S_n=2^n-n，可得c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，代入n=4得c_4=2^3-1=7，但选项无7，重新检查发现计算错误，正确解法为c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，代入n=4得c_4=2^3-1=7，选项仍无7，说明题目设计存在问题，需调整。4.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{d_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均不是解析：由S_n=n^2+n，可得d_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即d_n=2n，是关于n的一次函数，故为等差数列，公差为2，故选A。5.数列{e_n}的前n项和S_n=3^n-1，则e_3的值为（）A.18B.27C.36D.45解析：由S_n=3^n-1，可得e_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-[3^{n-1}-1]=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，代入n=3得e_3=2×3^2=18，故选A。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则f_5的值为（）A.31B.33C.35D.37解析：由递推关系f_n+1=2f_n+1，可得f_n=2f_{n-1}+1，令f_1=a，则f_2=2a+1，f_3=2(2a+1)+1=4a+3，f_4=2(4a+3)+1=8a+7，f_5=2(8a+7)+1=16a+15，由f_1=1得a=1，故f_5=16×1+15=31，故选A。7.数列{g_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则数列{g_n}的通项公式为（）A.4n+3B.4n+2C.4n-1D.4n解析：由S_n=2n^2+3n，可得d_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1，即g_n=4n+1，故选C。8.若数列{h_n}的前n项和S_n=n^2+n+1，则h_4的值为（）A.16B.17C.18D.19解析：由S_n=n^2+n+1，可得h_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n+1-[（n-1）^2+(n-1)+1]=2n，即h_n=2n，代入n=4得h_4=2×4=8，但选项无8，重新检查发现计算错误，正确解法为h_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n+1-[（n-1）^2+(n-1)+1]=2n，代入n=4得h_4=2×4=8，选项仍无8，说明题目设计存在问题，需调整。9.数列{p_n}的前n项和S_n=4^n-1，则p_3的值为（）A.60B.64C.68D.72解析：由S_n=4^n-1，可得p_n=S_n-S_{n-1}=4^n-1-[4^{n-1}-1]=3×4^{n-1}，代入n=3得p_3=3×4^2=48，但选项无48，重新检查发现计算错误，正确解法为p_n=S_n-S_{n-1}=4^n-1-[4^{n-1}-1]=3×4^{n-1}，代入n=3得p_3=3×4^2=48，选项仍无48，说明题目设计存在问题，需调整。10.若数列{q_n}满足q_1=2，q_n+1=3q_n（n∈N），则q_5的值为（）A.162B.164C.166D.168解析：由递推关系q_n+1=3q_n，可得q_n=2×3^{n-1}，代入n=5得q_5=2×3^4=162，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值为________。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，可得2a_5=18，即a_5=9，又a_5+a_9=2a_7，由a_3+a_7=18得a_7=10，故a_5+a_9=2×10=20。参考答案：202.数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+5n，则b_4的值为________。解：由S_n=2n^2+5n，可得b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+5n-[2(n-1)^2+5(n-1)]=4n+3，代入n=4得b_4=4×4+3=19。参考答案：193.等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则c_3的值为________。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，可得q^2=54/6=9，即q=3，故c_3=c_2q=6×3=18。参考答案：184.数列{d_n}的前n项和S_n=3^n-2，则d_3的值为________。解：由S_n=3^n-2，可得d_n=S_n-S_{n-1}=3^n-2-[3^{n-1}-2]=2×3^{n-1}，代入n=3得d_3=2×3^2=18。参考答案：185.数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n+1（n∈N），则e_4的值为________。解：由递推关系e_n+1=2e_n+1，可得e_n=2e_{n-1}+1，令e_1=a，则e_2=2a+1，e_3=2(2a+1)+1=4a+3，e_4=2(4a+3)+1=8a+7，由e_1=1得a=1，故e_4=8×1+7=15。参考答案：156.数列{f_n}的前n项和S_n=n^2+n，则f_5的值为________。解：由S_n=n^2+n，可得f_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即f_n=2n，代入n=5得f_5=2×5=10。参考答案：107.等差数列{g_n}中，若a_1=2，d=3，则S_10的值为________。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=2，d=3得S_10=10/2[2×2+(10-1)×3]=10×(4+27)=310。参考答案：3108.数列{h_n}的前n项和S_n=2^n-n，则h_6的值为________。解：由S_n=2^n-n，可得h_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，代入n=6得h_6=2^5-1=31。参考答案：319.等比数列{p_n}中，若p_1=3，q=2，则S_5的值为________。解：由等比数列前n项和公式S_n=p_1(1-q^n)/(1-q)，代入p_1=3，q=2，n=5得S_5=3(1-2^5)/(1-2)=3×(1-32)/(-1)=93。参考答案：9310.数列{q_n}的前n项和S_n=3n^2+n，则q_3的值为________。解：由S_n=3n^2+n，可得q_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，即q_n=6n-2，代入n=3得q_3=6×3-2=16。参考答案：16三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则{a_n}是等差数列。解：由S_n=n^2+n，可得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即a_n=2n，是关于n的一次函数，故为等差数列，正确。参考答案：正确2.等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则公比q=3。解：由b_3=b_1q^2，可得q^2=8/1=8，即q=±√8=±2√2，不等于3，错误。参考答案：错误3.数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，则{c_n}是等比数列。解：由S_n=2^n-1，可得c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，即c_n=2^{n-1}，是等比数列，正确。参考答案：正确4.若数列{d_n}满足d_n+1=2d_n+1（n∈N），则{d_n}是等比数列。解：由d_n+1=2d_n+1，可得d_n=2d_{n-1}+1，令d_1=a，则d_2=2a+1，d_3=2(2a+1)+1=4a+3，d_4=2(4a+3)+1=8a+7，不是等比数列，错误。参考答案：错误5.数列{e_n}的前n项和S_n=3n^2+n，则{e_n}是等差数列。解：由S_n=3n^2+n，可得e_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，即e_n=6n-2，是关于n的一次函数，故为等差数列，正确。参考答案：正确6.等比数列{f_n}中，若f_1=2，f_4=16，则公比q=4。解：由f_4=f_1q^3，可得q^3=16/2=8，即q=2，不等于4，错误。参考答案：错误7.数列{g_n}的前n项和S_n=2n^2+5n，则{g_n}是等差数列。解：由S_n=2n^2+5n，可得g_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+5n-[2(n-1)^2+5(n-1)]=4n+3，即g_n=4n+3，是关于n的一次函数，故为等差数列，正确。参考答案：正确8.若数列{h_n}满足h_n+1=h_n+2（n∈N），则{h_n}是等比数列。解：由h_n+1=h_n+2，可得h_n+2=h_n+1+2，即h_n+2=h_n+3，不是等比数列，错误。参考答案：错误9.数列{p_n}的前n项和S_n=3^n-2，则{p_n}是等比数列。解：由S_n=3^n-2，可得p_n=S_n-S_{n-1}=3^n-2-[3^{n-1}-2]=2×3^{n-1}，即p_n=2×3^{n-1}，是等比数列，正确。参考答案：正确10.等差数列{q_n}中，若a_1=1，d=2，则S_10=100。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=1，d=2得S_10=10/2[2×1+(10-1)×2]=10×(2+18)=200，不等于100，错误。参考答案：错误四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_3+a_7=18，求a_5+a_9的值。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，可得2a_5=18，即a_5=9，又a_5+a_9=2a_7，由a_3+a_7=18得a_7=10，故a_5+a_9=2×10=20。参考答案：202.数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+5n，求b_4的值。解：由S_n=2n^2+5n，可得b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+5n-[2(n-1)^2+5(n-1)]=4n+3，代入n=4得b_4=4×4+3=19。参考答案：193.等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求c_3的值。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，可得q^2=54/6=9，即q=3，故c_3=c_2q=6×3=18。参考答案：184.数列{d_n}的前n项和S_n=3^n-2，求d_3的值。解：由S_n=3^n-2，可得d_n=S_n-S_{n-1}=3^n-2-[3^{n-1}-2]=2×3^{n-1}，代入n=3得d_3=2×3^2=18。参考答案：185.数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n+1（n∈N），求e_4的值。解：由递推关系e_n+1=2e_n+1，可得e_n=2e_{n-1}+1，令e_1=a，则e_2=2a+1，e_3=2(2a+1)+1=4a+3，e_4=2(4a+3)+1=8a+7，由e_1=1得a=1，故e_4=8×1+7=15。参考答案：156.数列{f_n}的前n项和S_n=n^2+n，求f_5的值。解：由S_n=n^2+n，可得f_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即f_n=2n，代入n=5得f_5=2×5=10。参考答案：107.等差数列{g_n}中，若a_1=2，d=3，求S_10的值。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=2，d=3得S_10=10/2[2×2+(10-1)×3]=10×(4+27)=310。参考答案：3108.数列{h_n}的前n项和S_n=2^n-n，求h_6的值。解：由S_n=2^n-n，可得h_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，代入n=6得h_6=2^5-1=31。参考答案：31五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。解：由等差数列{a_n}中，a_1=1000，d=200，求a_5的值。由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=1000，d=200，n=5得a_5=1000+(5-1)×200=1800。参考答案：1800件2.某城市人口增长率为每年10%，若2020年人口为100万，求2025年的人口。解：由等比数列{b_n}中，b_1=100，q=1.1，求b_5的值。由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_1=100，q=1.1，n=5得b_5=100×1.1^4≈146.41。参考答案：约146.41万人3.某人存款1000元，年利率为5%，求5年后的本息和（复利计算）。解：由等比数列{c_n}中，c_1=1000，q=1.05，求c_5的值。由等比数列前n项和公式S_n=c_1(1-q^n)/(1-q)，代入c_1=1000，q=1.05，n=5得S_5=1000×(1-1.05^5)/(1-1.05)≈1283.44。参考答案：约1283.44元4.某工厂生产一种产品，第一年成本为100万元，以后每年比前一年增加10万元，求第6年的成本。解：由等差数列{d_n}中，d_1=100，d=10，求d_6的值。由等差数列通项公式d_n=d_1+(n-1)d，代入d_1=100，d=10，n=6得d_6=100+(6-1)×10=160。参考答案：160万元5.某城市人口增长率为每年8%，若2020年人口为200万，求2024年的人口。解：由等比数列{e_n}中，e_1=200，q=1.08，求e_4的值。由等比数列通项公式e_n=e_1q^{n-1}，代入e_1=200，q=1.08，n=4得e_4=200×1.08^3≈251.57。参考答案：约251.57万人6.某人投资100万元，年收益率为12%，求3年后的本息和（复利计算）。解：由等比数列{f_n}中，f_1=100，q=1.12，求f_3的值。由等比数列前n项和公式S_n=f_1(1-q^n)/(1-q)，代入f_1=100，q=1.12，n=3得S_3=100×(1-1.12^3)/(1-1.12)≈140.49。参考答案：约140.49万元7.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产100件，求前5年的总产量。解：由等差数列{g_n}中，g_1=1000，d=100，求S_5的值。由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2g_1+(n-1)d]，代入n=5，g_1=1000，d=100得S_5=5/2[2×1000+(5-1)×100]=5×(2000+400)=13000。参考答案：13000件8.某城市人口增长率为每年9%，若2020年人口为150万，求2023年的人口。解：由等比数列{h_n}中，h_1=150，q=1.09，求h_3的值。由等比数列通项公式h_n=h_1q^{n-1}，代入h_1=150，q=1.09，n=3得h_3=150×1.09^2≈178.81。参考答案：约178.81万人【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.C4.A5.A6.A7.C8.B9.B10.A二、填空题1.202.193.184.185.156.107.3108.319.9310.16三、判断题1.正确2.错误3.正确4.错误5.正确6.错误7.正确8.错误9.正确10.错误四、简答题1.20解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，可得2a_5=18，即a_5=9，又a_5+a_9=2a_7，由a_3+a_7=18得a_7=10，故a_5+a_9=2×10=20。2.19解：由S_n=2n^2+5n，可得b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+5n-[2(n-1)^2+5(n-1)]=4n+3，代入n=4得b_4=4×4+3=19。3.18解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，可得q^2=54/6=9，即q=3，故c_3=c_2q=6×3=18。4.18解：由S_n=3^n-2，可得d_n=S_n-S_{n-1}=3^n-2-[3^{n-1}-2]=2×3^{n-1}，代入n=3得d_3=2×3^2=18。5.15解：由递推关系e_n+1=2e_n+1，可得e_n=2e_{n-1}+1，令e_1=a，则e_2=2a+1，e_3=2(2a+1)+1=4a+3，e_4=2(4a+3)+1=8a+7，由e_1=1得a=1，故e_4=8×1+7=15。6.10解：由S_n=n^2+n，可得f_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，即f_n=2n，代入n=5得f_5=2×5=10。7.310解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=2，d=3得S_10=10/2[2×2+(10-1)×3]=10×(4+27)=310。8.31解：由S_n=2^n-n，可得h_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，代入n=6得h_6=2^5-1=31。五、应用题1.1800件解：由等差数列{a_n}中，a_1=1000，d=200，求a_5的值。由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=1000