2025-2026年浙江省人教版高三数学第9单元几何习题

2025-2026年浙江省人教版高三数学第9单元几何习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知AB=5，AC=8，∠BAC=60°，则BC的长为（）A.7B.9C.√39D.√61解析：由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=5²+8²-2×5×8×cos60°=49，故BC=7。选项A正确，其余选项错误。2.已知点P(x,y)在圆(x-1)²+(y+2)²=4上运动，则点P到直线3x-4y+5=0的距离的最小值为（）A.1B.√2C.2D.√10解析：圆心(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+(-4)²)=√10，最小值为√10-2。选项D正确。3.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，点C在直线y=x上运动，则△ABC的面积的最小值为（）A.1B.√2C.2D.√3解析：设C(a,a)，则△ABC的面积为S=1/2|x₁(y₂-y₃)+x₂(y₃-y₁)+x₃(y₁-y₂)|/2=1/2|1(0-a)+3(a-2)+a(2-0)|/2=1/2|4a-6|。当a=0时，S取最小值2。选项C正确。4.已知圆O₁：x²+y²=1和圆O₂：(x-3)²+y²=4相切，则过点P(2,1)的直线被两圆所截得的弦长为（）A.2√2B.2√3C.4D.2√5解析：圆O₁和圆O₂外切，切点为(1,0)，圆心距为√10，过点P(2,1)的直线被两圆所截得的弦长为2√(4-√10²/4)=2√6。选项B正确。5.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²=b²+c²-bc，则cosA的值为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5解析：由余弦定理得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=1/2，选项A正确。6.已知椭圆x²/9+y²/4=1的焦点为F₁、F₂，点P在椭圆上，且∠F₁PF₂=90°，则点P到直线F₁F₂的距离为（）A.1B.2C.√5D.√7解析：设P(x,y)，由椭圆方程得x²/9+y²/4=1，且F₁(-√5,0)，F₂(√5,0)，由∠F₁PF₂=90°得x²+5=y²，联立解得x=±3√5/5，y=±4√5/5，点P到直线F₁F₂的距离为|y|，即4√5/5=4√5/5。选项B正确。7.已知双曲线x²/16-y²/9=1的焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，且PF₁-PF₂=2，则点P到渐近线的距离为（）A.3B.4C.√7D.√10解析：由双曲线方程得a=4，b=3，c=5，渐近线方程为y=±3/4x，设P(x,y)，由PF₁-PF₂=2得(x+5)²+y²-(x-5)²-y²=4，即x=2，代入双曲线方程得y=±3√3，点P到渐近线的距离为|3x/4|，即3。选项A正确。8.已知抛物线y²=8x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上运动，则点P到F的距离与点P到l的距离之比为（）A.1:1B.1:2C.2:1D.1:4解析：抛物线y²=8x的焦点为F(2,0)，准线为l:x=-2，点P到F的距离与点P到l的距离之比为(x+2)/x=1+2/x，当x=2时，比值为1，选项A正确。9.已知四边形ABCD的顶点A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，则四边形ABCD的面积与圆x²+y²=1的面积之比为（）A.1:πB.2:πC.1:2πD.2:2π解析：四边形ABCD为正方形，面积为2，圆x²+y²=1的面积为π，比值为2:π。选项B正确。10.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则其侧面与底面所成的二面角的余弦值为（）A.1/√3B.1/2C.√2/2D.√3/2解析：正四棱锥S-ABCD的高为√(√3²-1²)=√2，侧面与底面所成的二面角的余弦值为√2/√3=√6/3。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心到直线3x-4y+5=0的距离为_________。参考答案：√10解析：圆心为(2,-3)，到直线3x-4y+5=0的距离为|3×2-4×(-3)+5|/√(3²+(-4)²)=√10。2.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²=b²+c²-bc，则sinA的值为_________。参考答案：√3/2解析：由余弦定理得cosA=1/2，故sinA=√3/2。3.已知椭圆x²/9+y²/4=1的焦点为F₁、F₂，点P在椭圆上，且∠F₁PF₂=90°，则点P到直线F₁F₂的距离为_________。参考答案：4√5/5解析：设P(x,y)，由椭圆方程得x²/9+y²/4=1，且F₁(-√5,0)，F₂(√5,0)，由∠F₁PF₂=90°得x²+5=y²，联立解得x=±3√5/5，y=±4√5/5，点P到直线F₁F₂的距离为|y|，即4√5/5。4.已知双曲线x²/16-y²/9=1的焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，且PF₁-PF₂=2，则点P到渐近线的距离为_________。参考答案：3解析：由双曲线方程得a=4，b=3，c=5，渐近线方程为y=±3/4x，设P(x,y)，由PF₁-PF₂=2得(x+5)²+y²-(x-5)²-y²=4，即x=2，代入双曲线方程得y=±3√3，点P到渐近线的距离为|3x/4|，即3。5.已知抛物线y²=8x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上运动，则点P到F的距离与点P到l的距离之比为_________。参考答案：1解析：抛物线y²=8x的焦点为F(2,0)，准线为l:x=-2，点P到F的距离与点P到l的距离之比为(x+2)/x=1+2/x，当x=2时，比值为1。6.已知四边形ABCD的顶点A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，则四边形ABCD的面积与圆x²+y²=1的面积之比为_________。参考答案：2:π解析：四边形ABCD为正方形，面积为2，圆x²+y²=1的面积为π，比值为2:π。7.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则其侧面与底面所成的二面角的余弦值为_________。参考答案：√2/√3解析：正四棱锥S-ABCD的高为√(√3²-1²)=√2，侧面与底面所成的二面角的余弦值为√2/√3=√6/3。8.已知圆x²+y²-4x+6y-3=0与直线y=kx+1相切，则k的值为_________。参考答案：-4/3或-2/3解析：圆心为(2,-3)，到直线kx-y+1=0的距离为|2k+3+1|/√(k²+1)=2，解得k=-4/3或-2/3。9.已知椭圆x²/9+y²/4=1的短轴端点到直线3x-4y+5=0的距离为_________。参考答案：√10/5解析：短轴端点为(0,2)，到直线3x-4y+5=0的距离为|0-8+5|/√(3²+(-4)²)=√10/5。10.已知双曲线x²/16-y²/9=1的渐近线与直线y=mx+1相交于点P，且点P到原点的距离为5，则m的值为_________。参考答案：±3/4解析：渐近线方程为y=±3/4x，设P(x,y)，由y=mx+1得x=±4(y-1)/3，代入双曲线方程得x²/16-(4(y-1)/3)²/9=1，解得y=±3/4，x=±4，点P到原点的距离为5，故m=±3/4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知AB=5，AC=8，BC=7，则△ABC是直角三角形。参考答案：正确解析：由勾股定理得5²+8²=7²，故△ABC是直角三角形。2.已知圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心在直线y=x上。参考答案：错误解析：圆心为(2,-3)，不在直线y=x上。3.已知椭圆x²/9+y²/4=1的焦点到准线的距离为2。参考答案：正确解析：焦点为(±√5,0)，准线为x=±9/√5，距离为9/√5-√5=2。4.已知双曲线x²/16-y²/9=1的渐近线方程为y=±4/3x。参考答案：错误解析：渐近线方程为y=±3/4x。5.已知抛物线y²=8x的焦点到准线的距离为4。参考答案：正确解析：焦点为(2,0)，准线为x=-2，距离为4。6.已知四边形ABCD的顶点A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，则四边形ABCD是正方形。参考答案：正确解析：四边形ABCD的边长均为√2，且相邻边垂直，故为正方形。7.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则其高为1。参考答案：错误解析：高为√(√3²-1²)=√2。8.已知圆x²+y²-4x+6y-3=0与直线y=1相切。参考答案：正确解析：圆心为(2,-3)，到直线y=1的距离为|(-3)+1|=2，半径为√(2²+(-3)²)=√13，故相切。9.已知椭圆x²/9+y²/4=1的短轴长为4。参考答案：正确解析：短轴长为2×2=4。10.已知双曲线x²/16-y²/9=1的焦点到渐近线的距离为3。参考答案：正确解析：焦点为(±5,0)，渐近线为y=±3/4x，距离为5/√(3²+4²)=3。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标和半径。参考答案：圆心为(2,-3)，半径为√13。解析：圆方程可化为(x-2)²+(y+3)²=13，故圆心为(2,-3)，半径为√13。2.已知椭圆x²/9+y²/4=1的焦点坐标和准线方程。参考答案：焦点为(±√5,0)，准线为x=±9/√5。解析：a=3，b=2，c=√5，焦点为(±√5,0)，准线为x=±a²/c=±9/√5。3.已知双曲线x²/16-y²/9=1的焦点坐标和渐近线方程。参考答案：焦点为(±5,0)，渐近线为y=±3/4x。解析：a=4，b=3，c=5，焦点为(±5,0)，渐近线为y=±b/ax=±3/4x。4.已知抛物线y²=8x的焦点坐标和准线方程。参考答案：焦点为(2,0)，准线为x=-2。解析：2p=8，p=4，焦点为(2,0)，准线为x=-2。5.已知四边形ABCD的顶点A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，则四边形ABCD的面积。参考答案：2解析：四边形ABCD为正方形，面积为2。6.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则其体积。参考答案：√2解析：高为√(√3²-1²)=√2，体积为1/3×2²×√2=√2。7.已知圆x²+y²-4x+6y-3=0与直线y=kx+1相切，求k的值。参考答案：k=-4/3或-2/3解析：圆心为(2,-3)，到直线kx-y+1=0的距离为|2k+3+1|/√(k²+1)=2，解得k=-4/3或-2/3。8.已知椭圆x²/9+y²/4=1的短轴端点到直线3x-4y+5=0的距离，求距离值。参考答案：√10/5解析：短轴端点为(0,2)，到直线3x-4y+5=0的距离为|0-8+5|/√(3²+(-4)²)=√10/5。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在△ABC中，已知AB=5，AC=8，∠BAC=60°，求BC的长。参考答案：7解析：由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=5²+8²-2×5×8×cos60°=49，故BC=7。2.已知圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心到直线3x-4y+5=0的距离，求距离值。参考答案：√10解析：圆心为(2,-3)，到直线3x-4y+5=0的距离为|3×2-4×(-3)+5|/√(3²+(-4)²)=√10。3.已知椭圆x²/9+y²/4=1的焦点到准线的距离，求距离值。参考答案：2解析：焦点为(±√5,0)，准线为x=±9/√5，距离为9/√5-√5=2。4.已知双曲线x²/16-y²/9=1的渐近线与直线y=mx+1相交于点P，且点P到原点的距离为5，求m的值。参考答案：±3/4解析：渐近线方程为y=±3/4x，设P(x,y)，由y=mx+1得x=±4(y-1)/3，代入双曲线方程得x²/16-(4(y-1)/3)²/9=1，解得y=±3/4，x=±4，点P到原点的距离为5，故m=±3/4。5.已知抛物线y²=8x的焦点到准线的距离，求距离值。参考答案：4解析：2p=8，p=4，焦点为(2,0)，准线为x=-2，距离为4。6.已知四边形ABCD的顶点A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，求四边形ABCD的面积。参考答案：2解析：四边形ABCD为正方形，面积为2。7.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，求其侧面与底面所成的二面角的余弦值。参考答案：√2/√3解析：正四棱锥S-ABCD的高为√(√3²-1²)=√2，侧面与底面所成的二面角的余弦值为√2/√3=√6/3。8.已知圆x²+y²-4x+6y-3=0与直线y=kx+1相切，求k的值。参考答案：k=-4/3或-2/3解析：圆心为(2,-3)，到直线kx-y+1=0的距离为|2k+3+1|/√(k²+1)=2，解得k=-4/3或-2/3。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.B5.A6.B7.A8.A9.B10.A二、填空题1.√1012.√3/213.4√5/514.315.116.2:π17.√2/√32.-4/3或-2/319.√10/520.±3/4三、判断题1.√22.×23.√24.×25.√26.√27.×28.√29.√30.√四、简答题1.圆心为(2,-3)，半径为√13。2.焦点为(±√5,0)，准线为x=±9/√5。3.焦点为(±5,0)，渐近线为y=±3/4x。4.焦点为(2,0)，准线为x=-2。5.2。6.√2。7.k=-4/3或-2/3。8.√10/5。五、应用题1.7。2.√10。3.2。4.±3/4。5.4。6.2。7.√2/√3。8.k=-4/3或-2/3。【解析】一、单项选择题1.由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=5²+8²-2×5×8×cos60°=49，故BC=7。2.圆心为(2,-3)，到直线3x-4y+5=0的距离为|3×2-4×(-3)+5|/√(3²+(-4)²)=√10。3.由余弦定理得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=1/2，故sinA=√3/2。4.设P(x,y)，由椭圆方程得x²/9+y²/4=1，且F₁(-√5,0)，F₂(√5,0)，由∠F₁PF₂=90°得x²+5=y²，联立解得x=±3√5/5，y=±4√5/5，点P到直线F₁F₂的距离为|y|，即4√5/5。5.由双曲线方程得a=4，b=3，c=5，渐近线方程为y=±3/4x，设P(x,y)，由PF₁-PF₂=2得(x+5)²+y²-(x-5)²-y²=4，即x=2，代入双曲线方程得y=±3√3，点P到渐近线的距离为|3x/4|，即3。6.抛物线y²=8x的焦点为F(2,0)，准线为l:x=-2，点P到F的距离与点P到l的距离之比为(x+2)/x=1+2/x，当x=2时，比值为1。7.四边形ABCD为正方形，面积为2，圆x²+y²=1的面积为π，比值为2:π。8.正四棱锥S-ABCD的高为√(√3²-1²)=√2，侧面与底面所成的二面角的余弦值为√2/√3=√6/3。9.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心为(2,-3)，到直线3x-4y+5=0的距离为|3×2-4×(-3)+5|/√(3²+(-4)²)=√10。10.由双曲线方程得a=4，b=3，c=5，渐近线方程为y=±3/4x，设P(x,y)，由PF₁-PF₂=2得(x+5)²+y²-(x-5)²-y²=4，即x=2，代入双曲线方程得y=±3√3，点P到渐近线的距离为|3x/4|，即3。二、填空题1.圆心为(2,-3)，到直线3x-4y+5=0的距离为|3×2-4×(-3)+5|/√(3²+(-4)²)=√10。2.由余弦定理得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=1/2，故sinA=√3/2。3.设P(x,y)，由椭圆方程得x²/9+y²/4=1，且F₁(-√5,0)，F₂(√5,0)，由∠F₁PF₂=90°得x²+5=y²，联立解得x=±3√5/5，y=±4√5/5，点P到直线F₁F₂的距离为|y|，即4√5/5。4.由双曲线方程得a=4，b=3，c=5，渐近线方程为y=±3/4x，设P(x,y)，由PF₁-PF₂=2得(x+5)²+y²-(x-5)²-y²=4，即x=2，代入双曲线方程得y=±3√3，点P到渐近线的距离为|3x/4|，即3。5.抛物线y²=8x的焦点为F(2,0)，准线为l:x=-2，点P到F的距离与点P到l的距离之比为(x+2)/x=1+2/x，当x=2时，比值为1。6.四边形ABCD为正方形，面积为2，圆x²+y²=1的面积为π，比值为2:π。7.正四棱锥S-ABCD的高为√(√3²-1²)=√2，侧面与底面所成的二面角的余弦值为√2/√3=√6/3。8.圆心为(2,-3)，到直线kx-y+1=0的距离为|2k+3+1|/√(k²+1)=2，解得k=-4/3或-2/3。9.短轴端点为(0,2)，到直线3x-4y+5=0的距离为|0-8+5|/√(3²+(-4)²)=√10/5。10.渐近线方程为y=±3/4x，设P(x,y)，由y=mx+1得x=±4(y-1)/3，代入双曲线方程得x²/16-(4(y-1)/3)²/9=1，解得y=±3/4，x=±4，点P到原点的距离为5，故m=±3/4。三、判断题1.由勾股定理得5²+8²=7²，故△ABC是直角三角形。2.圆心为(2,-3)，不在直线y=x上。3.焦点为(±√5,0)，准线为x=±9/√5，距离为9/√5-√5=2。4.渐近线方程为y=±3/4x。5.焦点为(2,0)，准线为x=-2，距离为4。6.四边形ABCD的边长均为√2，且相邻边垂直，故为正方形。7.高为√(√3²-1²)=√2。