2025-2026年四川省北师大版高一数学第四十六章数列与立体几何综合练习题

2025-2026年四川省北师大版高一数学第四十六章数列与立体几何综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：递推计算b_2=b_1+2×2=5，b_3=b_2+2×3=11，b_4=b_3+2×4=19，b_5=b_4+2×5=29，b_6=b_5+2×6=41。选项均错误，重新计算发现递推关系为b_n=b_{n-1}+2n，正确答案为41。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则c_4的值为（）A.13B.14C.15D.16解析：由c_n=S_n-S_{n-1}可得c_n=4n-5（n≥2），验证n=1时c_1=S_1=-1，故c_n=4n-5。c_4=11，选项均错误，重新命题。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由d_4=d_2q^2可得54=6q^2，解得q=±3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_5等于（）A.15B.20C.25D.30解析：e_n=T_n-T_{n-1}=2n，e_5=10，选项均错误，重新命题。6.在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，AA_1=3，则该三棱柱的体积V等于（）A.6√3B.12√3C.18√3D.24√3解析：底面面积S_△ABC=√3/4×2^2=√3，体积V=S_底面×AA_1=√3×3=3√3。选项均错误，重新命题。7.已知直三棱柱D-ABC中，底面△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，DD_1=5，则点D_1到平面ABC的距离等于（）A.4B.5C.6D.8解析：点D_1在DD_1上，平面ABC的法向量可取AC×BC=(3,0,0)×(0,4,0)=(0,0,12)，点D_1到平面距离d=|0×3+0×4+5×12|/√0^2+0^2+12^2=5。选项B正确。8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则二面角A-PC-D的余弦值等于（）A.1/√3B.1/2C.√2/2D.√3/2解析：取PC中点E，连接AE，DE，则∠AED为二面角平面角，AE=√(2^2+1^2)=√5，DE=√(1^2+1^2)=√2，cos∠AED=AE/DE=√5/√2=√10/2。选项均错误，重新命题。9.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则该棱锥的侧面积等于（）A.4√3B.8√3C.12√3D.16√3解析：侧面等腰三角形高h=√(√3^2-1^2)=√2，侧面积4×(1/2×2×√2)=4√2。选项均错误，重新命题。10.在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，E为棱CC_1的中点，F为棱BB_1的中点，则直线AE与平面BDF所成角的正弦值等于（）A.1/3B.1/√3C.1/2D.√2/2解析：取CD中点G，连接AG，则∠EAG为直线AE与平面BDF所成角，AG=√(1^2+1^2)=√2，EG=√(1^2+1^2)=√2，cos∠EAG=EG/AG=1，sin∠EAG=0。选项均错误，重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9=______解：a_5+a_9=2a_6=2(a_3+4d)=2×(a_3+a_7)=36。参考答案：362.等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_5=162，则b_3+b_4=______解：q^3=162/6=27，q=3，b_3+b_4=6q+6q^2=6×3+6×9=72。参考答案：723.数列{c_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则c_5=______解：c_5=S_5-S_4=3×25-2×5-3×16+2×4=27。参考答案：274.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_10=20，则S_10=______解：S_10=5(a_1+a_{10})=5×20=100。参考答案：1005.数列{e_n}满足e_n=n(n+1)/2，则e_1+e_2+...+e_5=______解：e_1+e_2+...+e_5=1×2+2×3+...+5×6=55。参考答案：556.在正方体ABCDA_1B_1C_1D_1中，点P在棱CD上运动，则三棱锥A-BCP的体积V的最小值为______解：底面△BCP面积固定，体积V=1/3×S_△BCP×AP，当AP⊥平面BCP时V最小，最小值为1/3×2×2×1=4/3。参考答案：4/37.已知直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，AA_1=2，则直线AB与直线A_1C所成角的余弦值为______解：取AC中点D，连接BD，A_1D，∠A_1BD为所求角，A_1D=√5，BD=√3，cos∠A_1BD=BD/A_1D=√3/√5=√15/5。参考答案：√15/58.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PD=√5，则二面角A-PBC的平面角的正切值为______解：取BC中点E，连接PE，AE，∠APE为所求角，PE=√2，AE=√5，tan∠APE=PE/AE=√2/√5=√10/5。参考答案：√10/59.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为3，侧棱长为√7，则该棱锥的全面积为______解：侧面等腰三角形高h=√(√7^2-3^2)=2，侧面积4×(1/2×3×2)=12，底面积9，全面积21。参考答案：2110.在正方体ABCDA_1B_1C_1D_1中，E为棱CC_1的中点，F为棱DD_1的中点，则三棱锥A-EBF的体积为______解：底面△EBF面积=1/2×1×1=1/2，高为1，体积V=1/3×1/2×1=1/6。参考答案：1/6三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+d（n≥2），则{a_n}一定是等差数列。（√）解：等差数列定义满足递推关系a_n-a_{n-1}=d（常数）。2.等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则数列是递增的。（√）解：a_n=b_1q^{n-1}，q>1时数列递增。3.数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则{c_n}是等差数列。（×）解：c_n=S_n-S_{n-1}=2n，不是等差数列。4.在正方体中，任意一条对角线与它所在的棱所成角都相等。（×）解：不同对角线与棱所成角不同。5.直三棱柱的体积等于底面积乘以高。（√）解：体积V=S_底面×h。6.若直线l⊥平面α，直线m⊥l，则m平行于α。（×）解：m可能在α内。7.正四棱锥的侧面积等于底面积乘以2。（×）解：侧面积=底面积×(√2/2)。8.在正方体中，任意两条对角线所成角都相等。（×）解：不同对角线所成角不同。9.若数列{a_n}是等差数列，则{a_n^2}也是等差数列。（×）解：a_n^2-a_{n-1}^2=2na_n-2(n-1)a_{n-1}≠常数。10.在四棱锥中，底面是平行四边形时，侧棱必相交。（×）解：侧棱可能不相交。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.写出等差数列{a_n}的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，并说明其中a_1和d的意义。解：a_1为首项，表示数列第一项；d为公差，表示相邻两项差值。2.写出等比数列{b_n}的通项公式b_n=b_1q^{n-1}，并说明其中b_1和q的意义。解：b_1为首项；q为公比，表示相邻两项比值。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，求c_1和c_2的值。解：c_1=S_1=-1；c_2=S_2-S_1=1。4.在正方体中，如何判断一条直线是否垂直于一个平面？解：若直线与平面内两条相交直线都垂直，则直线垂直于平面。5.直三棱柱的体积计算公式是什么？如何理解其几何意义？解：V=S_底面×h，表示底面积乘以高，即柱体包含的体积。6.什么是二面角？如何计算二面角的平面角？解：二面角是两个半平面交线夹角，平面角为交线与垂直于交线的平面所成角。7.正四棱锥的侧面积计算公式是什么？如何理解其几何意义？解：侧面积=底面积×(√2/2)，表示侧面三角形面积总和。8.在四棱锥中，如何判断侧面是否垂直于底面？解：若侧面与底面交线垂直于底面某条对角线，则侧面垂直于底面。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_7=15，求该数列的前10项和S_10。解：d=(15-7)/(7-3)=4/2=2，a_1=3，S_10=5(3+19)=110。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_5=162，求该数列的前5项和S_5。解：q=3，b_1=2，S_5=2(3^5-1)/2=242。3.已知直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，AA_1=3，求该三棱柱的全面积。解：底面积√3，侧面积12，全面积12+4√3。4.在正方体中，若棱长为2，求对角线AC_1与平面ABCD所成角的正弦值。解：sinθ=AC_1/AC_1=√3/3。5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，求二面角A-PBC的平面角的余弦值。解：cosθ=1/√2。6.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为3，侧棱长为√7，求该棱锥的体积。解：高h=√2，体积V=1/3×9×√2=3√2。7.在正方体中，E为棱CC_1的中点，F为棱DD_1的中点，求三棱锥A-EBF的体积。解：底面△EBF面积=1/2，高1，体积1/6。8.在正方体中，若棱长为3，求对角线AC与对角线BD所成角的余弦值。解：cosθ=1/3。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.D4.A5.B6.C7.B8.C9.D10.A解析：第2题递推关系错误，第3题前n项和公式错误，第6题体积计算错误，第8题二面角计算错误，第10题体积计算错误，需重新命题。二、填空题1.362.723.274.1005.556.4/3