2026年重庆市北师大版高一数学必修第一册第7章函数应用习题集

2026年重庆市北师大版高一数学必修第一册第7章函数应用习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元。若设产量为x件，则该工厂的利润y（单位：元）与产量x的函数关系式为（）A.y=30x-10万B.y=30x-10C.y=50x-20x-10万D.y=50x-20x-10解析：利润=收入-成本，收入为50x元，成本为10万+20x元，故利润y=50x-(10万+20x)=30x-10万。选项A正确。选项B错误，未考虑固定成本。选项C错误，收入计算错误。选项D错误，单位错误。2.函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,3]上的最小值是（）A.-1B.0C.2D.3解析：f(x)为二次函数，开口向上，对称轴x=2，区间[1,3]包含对称轴，最小值在对称轴处取得，f(2)=2²-4×2+3=-1。选项A正确。选项B错误，f(1)=0。选项C错误，f(3)=0。选项D错误，f(3)=0。3.某城市出租车的计费标准为：起步价10元（含3公里），之后每公里2元。若某人乘坐出租车行驶了x公里（x>3），则车费y（单位：元）与行驶距离x的函数关系式为（）A.y=2x+10B.y=2x-6C.y=2(x-3)+10D.y=2x-4解析：起步价10元含3公里，超出部分为x-3公里，每公里2元，故车费y=2(x-3)+10。选项C正确。选项A错误，未减去起步里程。选项B错误，计算错误。选项D错误，未考虑起步价。4.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：|x-1|表示x到1的距离，|x+2|表示x到-2的距离，函数最小值为两点间距离，即√[(1-(-2))²]=3。选项C正确。选项A、B、D错误，未达到最小值。5.某商品原价为100元，连续两次提价10%，则提价后的价格为（）A.121元B.120元C.110元D.100元解析：第一次提价后为100×(1+10%)=110元，第二次提价后为110×(1+10%)=121元。选项A正确。选项B错误，未考虑连续提价。选项C错误，仅提价一次。选项D错误，未提价。6.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f(-2)=-2³-3×(-2)=-8+6=-2，f(2)=2³-3×2=8-6=2，f(-2)•f(2)<0，由零点存在性定理，存在零点。f'(x)=3x²-3，f'(-1)=0，f'(1)=0，f(-1)=2，f(1)=-2，存在两个零点。选项C正确。7.某农场种植某种作物，亩产量y（单位：斤）与施肥量x（单位：斤）满足函数关系y=200+20x-0.5x²，则当施肥量为多少时，亩产量最大？（）A.20斤B.40斤C.60斤D.80斤解析：y=-0.5x²+20x+200，开口向下，最大值在对称轴x=-b/2a=-20/(2×(-0.5))=20。选项A正确。选项B、C、D错误，未达到最大值。8.函数f(x)=x²-2x+1在区间[0,3]上的最大值是（）A.0B.1C.2D.3解析：f(x)=(x-1)²，对称轴x=1，区间[0,3]包含对称轴，最大值在端点取得，f(0)=1，f(3)=2，最大值为2。选项C正确。选项A、B、D错误，未达到最大值。9.某城市自来水收费标准为：每月用水不超过15吨，每吨2元；超过15吨的部分，每吨3元。若某人某月用水x吨（x>15），则该月水费y（单位：元）与用水量x的函数关系式为（）A.y=2xB.y=3xC.y=30+3(x-15)D.y=30+2(x-15)解析：前15吨水费为30元，超出部分为x-15吨，每吨3元，故水费y=30+3(x-15)。选项C正确。选项A、B错误，未考虑阶梯计费。选项D错误，超出部分计费错误。10.函数f(x)=x²-4x+3与g(x)=x+1的图像交点的个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：联立方程x²-4x+3=x+1，得x²-5x+2=0，Δ=(-5)²-4×1×2=25-8=17>0，有两个交点。选项C正确。选项A、B、D错误，未达到交点个数。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-2|在区间[1,3]上的最小值为________。参考答案：1解析：f(x)在x=2处取得最小值，f(2)=|2-2|=0，但区间为[1,3]，最小值为f(1)=|1-2|=1。2.若函数f(x)=x²+px+q的图像经过点(1,0)和(-2,0)，则p=________，q=________。参考答案：-3，-2解析：f(1)=1+p+q=0，f(-2)=4-2p+q=0，解得p=-3，q=-2。3.函数f(x)=x³-3x+1的零点个数为________。参考答案：2解析：f(-2)=-8+6+1=-1，f(0)=1，f(2)=8-6+1=3，f(-2)•f(0)<0，f(0)•f(2)>0，存在两个零点。4.函数f(x)=2x-1在区间[1,3]上的值域为________。参考答案：[1,5]解析：f(1)=1，f(3)=5，值域为[1,5]。5.若函数f(x)=x²+px+q的图像与x轴只有一个交点，则p²-4q=________。参考答案：0解析：Δ=p²-4q=0。6.函数f(x)=|x+1|+|x-1|的最小值为________。参考答案：2解析：|x+1|表示x到-1的距离，|x-1|表示x到1的距离，最小值为两点间距离，即√[(1-(-1))²]=2。7.某商品原价为100元，连续两次降价10%，则降价后的价格为________元。参考答案：81解析：第一次降价后为100×(1-10%)=90元，第二次降价后为90×(1-10%)=81元。8.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值为________。参考答案：2解析：f(-2)=-8，f(0)=0，f(2)=0，f(1)=-2，最大值为2。9.若函数f(x)=x²+px+q的图像经过点(1,0)和(2,3)，则p=________，q=________。参考答案：-5，-6解析：f(1)=1+p+q=0，f(2)=4+2p+q=3，解得p=-5，q=-6。10.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值为________。参考答案：5解析：f(-3)=|-3-1|+|-3+2|=4+1=5，f(3)=|3-1|+|3+2|=2+5=7，最大值为7。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,3]上的最小值是0。（×）解析：f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=0，最小值为-1。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为3。（×）解析：最小值为两点间距离，即√[(1-(-2))²]=3。3.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上有三个零点。（×）解析：f(-2)=-2³-3×(-2)=-8+6=-2，f(2)=2³-3×2=8-6=2，f(-2)•f(2)<0，存在一个零点。4.函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,3]上的最大值是3。（×）解析：f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=0，最大值为0。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值为5。（×）解析：f(-3)=4+1=5，f(3)=2+5=7，最大值为7。6.函数f(x)=x²-4x+3与g(x)=x+1的图像有两个交点。（√）解析：联立方程x²-4x+3=x+1，得x²-5x+2=0，Δ=25-8=17>0，有两个交点。7.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值为2。（√）解析：f(-2)=-2³-3×(-2)=-8+6=-2，f(0)=0，f(2)=2³-3×2=8-6=2，最大值为2。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为3。（√）解析：最小值为两点间距离，即√[(1-(-2))²]=3。9.函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,3]上的最小值是-1。（√）解析：f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=0，最小值为-1。10.函数f(x)=x²-4x+3与g(x)=x+1的图像有三个交点。（×）解析：联立方程x²-4x+3=x+1，得x²-5x+2=0，Δ=25-8=17>0，有两个交点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为0，最小值为-1。解析：f(x)=(x-2)²-1，对称轴x=2，区间[1,3]包含对称轴，最大值在端点取得，f(1)=0，f(3)=0，最小值为f(2)=-1。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值为3，取得最小值时x=1。解析：f(x)在x=-2处取得最小值，f(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3。3.求函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的零点。参考答案：零点为-√3，0，√3。解析：f(-√3)=0，f(0)=0，f(√3)=0。4.求函数f(x)=2x-1在区间[1,3]上的值域。参考答案：[1,5]。解析：f(1)=1，f(3)=5，值域为[1,5]。5.求函数f(x)=x²-4x+3与g(x)=x+1的图像交点的坐标。参考答案：(2,3)，(-1,-1)。解析：联立方程x²-4x+3=x+1，得x²-5x+2=0，解得x=2或x=-1，代入g(x)得y=3或y=-1。6.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为7，最小值为3。解析：f(-3)=5，f(1)=3，f(3)=7，最大值为7，最小值为3。7.求函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为0，最小值为-1。解析：f(x)=(x-2)²-1，对称轴x=2，区间[1,3]包含对称轴，最大值在端点取得，f(1)=0，f(3)=0，最小值为f(2)=-1。8.求函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为2，最小值为-2。：解析f(-2)=-2³-3×(-2)=-8+6=-2，f(0)=0，f(2)=2³-3×2=8-6=2，最大值为2，最小值为-2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元。若设产量为x件，求该工厂的利润y（单位：元）与产量x的函数关系式，并求产量为100件时的利润。参考答案：y=30x-10万，利润为2000元。解析：利润=收入-成本，收入为50x元，成本为10万+20x元，故利润y=50x-(10万+20x)=30x-10万，当x=100时，y=30×100-10万=2000元。2.某城市出租车的计费标准为：起步价10元（含3公里），之后每公里2元。若某人乘坐出租车行驶了x公里（x>3），求车费y（单位：元）与行驶距离x的函数关系式，并求行驶了10公里时的车费。参考答案：y=2x-6，车费为14元。解析：起步价10元含3公里，超出部分为x-3公里，每公里2元，故车费y=2(x-3)+10=2x-6，当x=10时，y=2×10-6=14元。3.某农场种植某种作物，亩产量y（单位：斤）与施肥量x（单位：斤）满足函数关系y=200+20x-0.5x²，求当施肥量为多少时，亩产量最大？并求最大亩产量。参考答案：施肥量为20斤时，亩产量最大，最大亩产量为300斤。解析：y=-0.5x²+20x+200，开口向下，最大值在对称轴x=-b/2a=-20/(2×(-0.5))=20，最大亩产量为y(20)=-0.5×20²+20×20+200=300斤。4.某商品原价为100元，连续两次提价10%，求提价后的价格。参考答案：提价后的价格为121元。解析：第一次提价后为100×(1+10%)=110元，第二次提价后为110×(1+10%)=121元。5.函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值分别为多少？参考答案：最大值为0，最小值为-1。解析：f(x)=(x-2)²-1，对称轴x=2，区间[1,3]包含对称轴，最大值在端点取得，f(1)=0，f(3)=0，最小值为f(2)=-1。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值分别为多少？参考答案：最小值为3，取得最小值时x=-2。解析：f(x)在x=-2处取得最小值，f(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3。7.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的零点分别为多少？参考答案：零点为-√3，0，√3。解析：f(-√3)=0，f(0)=0，f(√3)=0。8.函数f(x)=2x-1在区间[1,3]上的值域为多少？参考答案：[1,5]。解析：f(1)=1，f(3)=5，值域为[1,5]。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.C4.C5.A6.C7.A8.C9.C10.C二、填空题1.12.-3，-23.24.[1,5]5.06.27.818.29.-5，-610.7三、判断题1.×2.×3.×4.×5.×6.√7.√8.×9.√10.×四、简答题1.最大值为0，最小值为-1。解析：f(x)=(x-2)²-1，对称轴x=2，区间[1,3]包含对称轴，最大值在端点取得，f(1)=0，f(3)=0，最小值为f(2)=-1。2.最小值为3，取得最小值时x=-2。解析：f(x)在x=-2处取得最小值，f(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3。3.零点为-√3，0，√3。解析：f(-√3)=0，f(0)=0，f(√3)=0。4.值域为[1,5]。解析：f(1)=1，f(3)=5，值域为[1,5]。5.交点坐标为(2,3)，(-1,-1)。解析：联立方程x²-4x+3=x+1，得x²-5x+2=0，解得x=2或x=-1，代入g(x)得y=3或y=-1。6.最大值为7，最小值为3。解析：f(-3)=5，f(1)=3，f(3)=7，最大值为7，最小值为3。7.最大值为0，最小值为-1。解析：f(x)=(x-2)²-1，对称轴x=2，区间[1,3]包含对称轴，最大值在端点取得，f(1)=0，f(3)=0，最小值为f(2)=-1。