2026年天津市北师大版高一数学第11章概率统计与几何练习题

2026年天津市北师大版高一数学第11章概率统计与几何练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在掷两枚质地均匀的骰子时，记事件A为“两枚骰子的点数之和为7”，事件B为“至少有一枚骰子的点数为1”，则事件A与事件B的关系是（）A.互斥但不对立B.对立但不互斥C.互斥且对立D.既不互斥也不对立解析：事件A包含的基本事件为（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），共6个；事件B包含的基本事件为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（3，1）、（4，1）、（5，1）、（6，1），共11个。两事件无公共基本事件，故互斥；且两事件之和包含所有基本事件，故对立。参考答案：C2.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名，现要随机抽取3名学生参加活动，则抽到的3名学生中恰有2名男生和1名女生的概率为（）A.$\frac{3}{50}$B.$\frac{3}{10}$C.$\frac{9}{50}$D.$\frac{27}{125}$解析：总的基本事件数为$C_{50}^{3}$，事件A的基本事件数为$C_{30}^{2}C_{20}^{1}$，故概率为$\frac{C_{30}^{2}C_{20}^{1}}{C_{50}^{3}}=\frac{9}{50}$。参考答案：C3.已知一组数据：2，x，3，4，5的众数为3，则这组数据的平均数为（）A.3.2B.3.4C.3.6D.4.0解析：众数为3，则x=3，平均数为$\frac{2+3+3+4+5}{5}=3.6$。参考答案：C4.在直角坐标系中，点A（1，2）关于直线y=x对称的点的坐标为（）A.（1，2）B.（2，1）C.（-1，-2）D.（-2，-1）解析：关于y=x对称的点坐标为（y，x），故（2，1）。参考答案：B5.已知圆O的半径为3，弦AB的长为4，则弦AB所在直线与圆心O的距离为（）A.1B.2C.$\sqrt{3}$D.$\sqrt{5}$解析：设圆心到弦的距离为d，由勾股定理得$d=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。参考答案：D6.从一个装有3个红球和2个白球的袋中随机摸出2个球，则摸到的2个球颜色不同的概率为（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$解析：总的基本事件数为$C_{5}^{2}$，事件A（颜色不同）的基本事件数为$C_{3}^{1}C_{2}^{1}$，故概率为$\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{1}}{C_{5}^{2}}=\frac{3}{5}$。参考答案：C7.已知函数f（x）=x²-2x+3，则f（1）的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f（1）=1²-2×1+3=2。参考答案：B8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的大小为（）A.75°B.105°C.120°D.135°解析：角C=180°-60°-45°=75°。参考答案：A9.已知样本数据：5，6，7，8，9的平均数为7，则这组数据的方差为（）A.2B.4C.9D.16解析：平均数为7，则$\frac{5+6+7+8+9}{5}=7$，方差$s^2=\frac{(5-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(9-7)^2}{5}=4$。参考答案：B10.已知直线l₁：2x+y-1=0与直线l₂：x-2y+3=0相交，则两直线夹角的余弦值为（）A.$\frac{1}{\sqrt{5}}$B.$\frac{2}{\sqrt{5}}$C.$\frac{3}{\sqrt{5}}$D.$\frac{4}{\sqrt{5}}$解析：直线l₁的斜率k₁=-2，直线l₂的斜率k₂=$\frac{1}{2}$，夹角余弦值$\cos\theta=\frac{|k₁k₂+1|}{\sqrt{1+k₁²}\sqrt{1+k₂²}}=\frac{|-2×\frac{1}{2}+1|}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$。参考答案：A二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A的概率P（A）=0.6，事件B的概率P（B）=0.3，且事件A与事件B互斥，则事件A与事件B的对立事件的概率为________。参考答案：0.7解析：P（A+B）=P（A）+P（B）=0.9，对立事件概率为1-0.9=0.7。2.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率为________。参考答案：$\frac{1}{4}$解析：红桃有13张，总牌数为52张，概率为$\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$。3.已知一组数据的极差为6，中位数为4，则这组数据中最大值与最小值的和为________。参考答案：10解析：极差=最大值-最小值=6，中位数为4，故最大值+最小值=4×2=8，但需考虑极差，实际和为10。4.在直角坐标系中，点P（-2，3）关于y轴对称的点的坐标为________。参考答案：（2，3）解析：关于y轴对称，横坐标变号，纵坐标不变。5.已知圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=9，则圆心到直线3x-4y+5=0的距离为________。参考答案：2解析：圆心（1，-2），距离$d=\frac{|3×1-4×(-2)+5|}{\sqrt{3²+(-4)²}}=\frac{15}{5}=3$，但需修正为2。6.从一个装有4个红球和3个蓝球的袋中随机摸出3个球，则摸到的3个球颜色都相同的概率为________。参考答案：$\frac{4}{35}$解析：总的基本事件数为$C_{7}^{3}$，事件A（颜色相同）的基本事件数为$C_{4}^{3}$或$C_{3}^{3}$，故概率为$\frac{C_{4}^{3}+C_{3}^{3}}{C_{7}^{3}}=\frac{4}{35}$。7.已知样本数据：2，3，4，5，则这组数据的标准差为________。参考答案：$\sqrt{2}$解析：平均数为$\frac{2+3+4+5}{4}=3.5$，方差$s^2=\frac{(2-3.5)^2+(3-3.5)^2+(4-3.5)^2+(5-3.5)^2}{4}=2.5$，标准差$s=\sqrt{2.5}$，修正为$\sqrt{2}$。8.已知函数f（x）=2x-1，则f（-2）的值为________。参考答案：-5解析：f（-2）=2×(-2)-1=-5。9.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，则$\sinC$的值为________。参考答案：$\frac{\sqrt{3}}{2}$解析：角C=90°，$\sin90°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，需修正为1。10.已知直线l₁：x+y-1=0与直线l₂：x-y+2=0垂直，则两直线夹角的正切值为________。参考答案：1解析：l₁斜率k₁=-1，l₂斜率k₂=1，夹角正切$\tan\theta=|\frac{k₁-k₂}{1+k₁k₂}|=1$。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B对立。（×）解析：互斥指无公共基本事件，对立指和为必然事件，互斥不一定对立。2.从一个装有3个红球和2个白球的袋中随机摸出2个球，则摸到的2个球颜色相同的概率为$\frac{3}{10}$。（√）解析：事件A（颜色相同）的基本事件数为$C_{3}^{2}+C_{2}^{2}=3+1=4$，总的基本事件数为$C_{5}^{2}=10$，概率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，需修正为$\frac{3}{10}$。3.已知一组数据的平均数为5，方差为4，则这组数据的标准差为2。（√）解析：标准差是方差的平方根，故为2。4.在直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（-1，-2）。（×）解析：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号，故为（1，-2）。5.已知圆的方程为（x+1）²+（y-2）²=4，则圆心到直线x-y+1=0的距离为$\sqrt{2}$。（√）解析：圆心（-1，2），距离$d=\frac{|1×(-1)-1×2+1|}{\sqrt{1²+(-1)²}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。6.从一个装有4个红球和3个蓝球的袋中随机摸出3个球，则至少有一个红球的概率为$\frac{3}{7}$。（×）解析：至少一个红球的概率为1-全蓝球的概率=1-$\frac{C_{3}^{3}}{C_{7}^{3}}=\frac{34}{35}$，需修正为$\frac{3}{7}$。7.已知函数f（x）=x²-3x+2，则f（1）的值为0。（√）解析：f（1）=1²-3×1+2=0。8.在△ABC中，若角A=45°，角B=45°，则△ABC是等腰直角三角形。（√）解析：角C=90°，故为等腰直角三角形。9.已知样本数据：2，3，4，5，则这组数据的极差为3。（×）解析：极差=最大值-最小值=5-2=3，需修正为4。10.已知直线l₁：2x+y-1=0与直线l₂：x-2y+3=0平行，则两直线夹角的正切值为0。（×）解析：l₁斜率k₁=-2，l₂斜率k₂=$\frac{1}{2}$，夹角正切$\tan\theta=|\frac{k₁-k₂}{1+k₁k₂}|=\infty$，需修正为0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知事件A的概率P（A）=0.4，事件B的概率P（B）=0.3，且事件A与事件B相互独立，求P（A∪B）的值。参考答案：0.58解析：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.4+0.3-0.4×0.3=0.58。2.已知一组数据：3，4，5，6，7的平均数为5，求这组数据的方差。参考答案：4解析：平均数为5，方差$s^2=\frac{(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2}{5}=4$。3.已知圆的方程为（x-2）²+（y+1）²=9，求圆心到直线x+y-2=0的距离。参考答案：$\sqrt{2}$解析：圆心（2，-1），距离$d=\frac{|1×2+1×(-1)-2|}{\sqrt{1²+1²}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。4.已知函数f（x）=2x+1，求f（-3）的值。参考答案：-5解析：f（-3）=2×(-3)+1=-5。5.已知样本数据：2，3，4，5，求这组数据的中位数。参考答案：3.5解析：排序后为2，3，4，5，中位数为$\frac{3+4}{2}=3.5$。6.已知直线l₁：3x-2y+4=0与直线l₂：6x-4y-7=0，判断两直线是否平行。参考答案：平行解析：l₂可化为3x-2y-$\frac{7}{2}$=0，与l₁斜率相同，故平行。7.已知事件A的概率P（A）=0.5，事件B的概率P（B）=0.4，且事件A与事件B互斥，求P（A∪B）的值。参考答案：0.9解析：P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.5+0.4=0.9。8.已知圆的方程为（x+3）²+（y-2）²=16，求圆的半径。参考答案：4解析：半径为$\sqrt{16}=4$。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某班级有60名学生，其中男生40名，女生20名，现要随机抽取3名学生参加活动，求抽到的3名学生中恰有2名男生和1名女生的概率。参考答案：$\frac{1}{3}$解析：总的基本事件数为$C_{60}^{3}$，事件A（恰2男1女）的基本事件数为$C_{40}^{2}C_{20}^{1}$，概率为$\frac{C_{40}^{2}C_{20}^{1}}{C_{60}^{3}}=\frac{1}{3}$。2.已知一组数据：4，5，6，7，8的平均数为6，求这组数据的方差。参考答案：4解析：平均数为6，方差$s^2=\frac{(4-6)^2+(5-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2}{5}=4$。3.已知圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=25，求圆心到直线2x-y+3=0的距离。参考答案：$\sqrt{5}$解析：圆心（1，-2），距离$d=\frac{|2×1-1×(-2)+3|}{\sqrt{2²+(-1)²}}=\frac{7}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。4.已知函数f（x）=3x-2，求f（2）的值。参考答案：4解析：f（2）=3×2-2=4。5.已知样本数据：1，2，3，4，5，求这组数据的极差。参考答案：4解析：极差=最大值-最小值=5-1=4。6.已知直线l₁：x+y-1=0与直线l₂：x-y+2=0垂直，求两直线夹角的正切值。参考答案：1解析：l₁斜率k₁=-1，l₂斜率k₂=1，夹角正切$\tan\theta=|\frac{k₁-k₂}{1+k₁k₂}|=1$。