2025-2026年浙江省苏教版高二数学第三十二章复数应用练习题

2025-2026年浙江省苏教版高二数学第三十二章复数应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在复平面内，复数z=3+2i对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：复数z=3+2i的实部为3，虚部为2，且实部和虚部均为正数，因此对应的点位于第一象限。复平面的划分规则是实部为横轴，虚部为纵轴，第一象限满足实部和虚部均为正。2.若复数z满足|z|=5且arg(z)=π/3，则z的代数形式为（）A.5+5√3iB.5√3+5iC.5√3/2+5/2iD.5/2+5√3/2i解析：复数的极坐标形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。已知|z|=5，arg(z)=π/3，则z=5(cos(π/3)+isin(π/3))=5(1/2+√3/2i)=5√3/2+5/2i。选项C正确。3.计算(1+i)³的值为（）A.-2iB.2iC.-2D.2解析：利用二项式定理展开(1+i)³=1+3i+3i²+3i³+1³=1+3i-3-3i+1=-1。但需注意i²=-1，i³=-i，因此正确计算为(1+i)³=1+3i-3-3i=-2。选项C正确。4.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足z²=4i，则z的辐角主值arg(z)为（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4解析：设z=a+bi，则z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi=4i。比较实部和虚部得a²-b²=0且2ab=4，解得a=b=±1。当a=1,b=1时，arg(z)=π/4；当a=-1,b=-1时，arg(z)=5π/4。题目未指定正负，取主值π/4。选项A正确。5.在复平面内，以原点为圆心，半径为2的圆内，复数z=x+yi（x,y∈R）满足|z|<2的点的集合表示为（）A.{(x,y)∣x²+y²<4}B.{(x,y)∣x²+y²=4}C.{(x,y)∣x²+y²>4}D.{(x,y)∣x²+y²≤4}解析：复数z=x+yi的模长|z|表示为√(x²+y²)，|z|<2即√(x²+y²)<2，平方后得x²+y²<4。选项A正确。6.若复数z₁=1+i，z₂=3-2i，则z₁•z₂的模长为（）A.√10B.5C.√13D.2√5解析：z₁•z₂=(1+i)(3-2i)=3-2i+3i-2i²=3+2+3i=5+3i，模长|z₁•z₂|=√(5²+3²)=√34。但选项无√34，需重新计算。实际计算为|z₁•z₂|=|z₁||z₂|=√2•√13=√26。选项D正确。7.已知复数z满足z+2=1/z，则z的实部为（）A.1/2B.-1/2C.1D.-1解析：设z=a+bi，则a+bi+2=1/(a+bi)，去分母得(a+bi)(a+bi+2)=1，展开后a²+b²+2a=1且2ab=0。由2ab=0得b=0或a=0。若b=0，则a²+2a=1，解得a=1/2；若a=0，则b²=1，解得b=±1，但此时不满足原方程。故实部为1/2。选项A正确。8.若复数z=1+i，则z⁴的虚部为（）A.0B.2C.-2D.4解析：z⁴=(1+i)⁴=[(1+i)²]²=(2i)²=-4，虚部为0。选项A正确。9.在复平面内，点A对应复数z₁=2+i，点B对应复数z₂=1-3i，则向量AB对应的复数为（）A.1-4iB.1+4iC.-1-4iD.-1+4i解析：向量AB对应的复数为z₂-z₁=(1-3i)-(2+i)=-1-4i。选项C正确。10.若复数z满足|z-1|=1且arg(z)=π/6，则z的代数形式为（）A.1/2+√3/2iB.3/2+√3/2iC.1/2-√3/2iD.3/2-√3/2i解析：设z=x+yi，则|z-1|=|x-1+yi|=1，即(x-1)²+y²=1。又arg(z)=π/6，即tan(π/6)=y/(x-1)=√3/3，解得y=√3/3(x-1)。代入方程得(x-1)²+(√3/3(x-1))²=1，解得x=3/2，y=√3/2。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=1+i，则z的共轭复数z̄为________。参考答案：1-i解析：复数z=a+bi的共轭复数为z̄=a-bi，故z̄=1-i。2.计算(√2-√2i)²的值为________。参考答案：-4解析：(√2-√2i)²=(√2)²-2√2√2i+(√2i)²=2-4i-2=-4。3.若复数z满足|z|=2且arg(z)=π/4，则z的三角形式为________。参考答案：2(cos(π/4)+isin(π/4))解析：复数的三角形式为r(cosθ+isinθ)，故z=2(cos(π/4)+isin(π/4))。4.若复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，则z₁•z₂的实部为________。参考答案：10解析：z₁•z₂=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i²=3+8=11。但需注意原题z₂=1-2i，实际计算为z₁•z₂=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i²=3+8=11。选项有误，正确答案为11。5.若复数z满足z²=9，则z的模长|z|为________。参考答案：3解析：z²=9即z=±3，模长|z|=3。6.在复平面内，点A对应复数z₁=2+i，点B对应复数z₂=4-3i，则向量BA对应的复数为________。参考答案：-2+4i解析：向量BA对应的复数为z₁-z₂=(2+i)-(4-3i)=-2+4i。7.若复数z=1+i，则z³的虚部为________。参考答案：2√3解析：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+3i³=1+3i-3-3i=-2。但需注意原题z=1+i，实际计算为z³=(1+i)³=1+3i-3-3i=-2。选项有误，正确答案为-2。8.若复数z满足|z|=1且arg(z)=π/3，则z²的辐角主值为________。参考答案：2π/3解析：z²=r²(cos(2θ)+isin(2θ))，故z²的辐角主值为2π/3。9.若复数z₁=2+i，z₂=1-3i，则|z₁+z₂|的值为________。参考答案：√17解析：z₁+z₂=(2+i)+(1-3i)=3-2i，|z₁+z₂|=√(3²+(-2)²)=√13。但需注意原题z₂=1-3i，实际计算为z₁+z₂=(2+i)+(1-3i)=3-2i，|z₁+z₂|=√(3²+(-2)²)=√13。选项有误，正确答案为√13。10.若复数z满足z+2=1/z，则z的模长|z|为________。参考答案：√5解析：设z=a+bi，则a+bi+2=1/(a+bi)，去分母得(a+bi)(a+bi+2)=1，展开后a²+b²+2a=1且2ab=0。由2ab=0得b=0或a=0。若b=0，则a²+2a=1，解得a=1/2；若a=0，则b²=1，解得b=±1，但此时不满足原方程。故z=1/2，模长|z|=1/2。但需注意原题z+2=1/z，实际计算为z=1/2，模长|z|=1/2。选项有误，正确答案为1/2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，则z₁•z₂的虚部为6。（×）解析：z₁•z₂=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i²=3+8=11，虚部为-2，故错误。2.若复数z的模长为5，辐角为π/4，则z的代数形式为5√2/2+5√2/2i。（×）解析：z=5(cos(π/4)+isin(π/4))=5(√2/2+√2/2i)=5√2/2+5√2/2i，但需注意原题z的模长为5，辐角为π/4，实际计算为5√2/2+5√2/2i。选项有误，正确答案为5√2/2+5√2/2i。3.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂=2。（√）解析：z₁•z₂=(1+i)(1-i)=1-i²=1+1=2，故正确。4.若复数z满足|z|=1且arg(z)=π/3，则z²的模长为2。（√）解析：z²=r²(cos(2θ)+isin(2θ))，故z²的模长为1²=1，但需注意原题z的模长为1，辐角为π/3，实际计算为z²的模长为1。选项有误，正确答案为1。5.若复数z₁=2+i，z₂=1-3i，则|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|。（×）解析：|z₁+z₂|=√(3²+(-2)²)=√13，|z₁|=√5，|z₂|=√10，|z₁|+|z₂|=√5+√10≠√13，故错误。6.若复数z满足z²=4i，则z的辐角主值为π/4。（×）解析：设z=a+bi，则z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi=4i。比较实部和虚部得a²-b²=0且2ab=4，解得a=b=±1。当a=1,b=1时，arg(z)=π/4；当a=-1,b=-1时，arg(z)=5π/4。题目未指定正负，取主值π/4。选项有误，正确答案为π/4或5π/4。7.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂的模长为√2。（×）解析：z₁•z₂=(1+i)(1-i)=1-i²=1+1=2，模长为√2，故正确。8.若复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z的代数形式为1+√3i。（×）解析：z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+√3/2i)=1+√3i，但需注意原题z的模长为2，辐角为π/3，实际计算为1+√3i。选项有误，正确答案为1+√3i。9.若复数z₁=2+i，z₂=1-3i，则z₁•z₂的实部为3。（×）解析：z₁•z₂=(2+i)(1-3i)=2-6i+i-3i²=2+3=5，实部为5，故错误。10.若复数z满足z+2=1/z，则z的模长为1。（×）解析：设z=a+bi，则a+bi+2=1/(a+bi)，去分母得(a+bi)(a+bi+2)=1，展开后a²+b²+2a=1且2ab=0。由2ab=0得b=0或a=0。若b=0，则a²+2a=1，解得a=1/2；若a=0，则b²=1，解得b=±1，但此时不满足原方程。故z=1/2，模长|z|=1/2，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.复数z=a+bi（a,b∈R）的模长|z|如何计算？参考答案：|z|=√(a²+b²)。解析：复数z=a+bi的模长|z|表示为√(a²+b²)，是其实部和虚部的平方和的平方根。2.复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，求z₁•z₂的值。参考答案：z₁•z₂=11-2i。解析：z₁•z₂=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i²=3+8=11-2i。3.复数z=1+i，求z²的值。参考答案：z²=2i。解析：z²=(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i。4.复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，求z的代数形式。参考答案：z=1+√3i。解析：z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+√3/2i)=1+√3i。5.复数z₁=2+i，z₂=1-3i，求|z₁+z₂|的值。参考答案：|z₁+z₂|=√13。解析：z₁+z₂=(2+i)+(1-3i)=3-2i，|z₁+z₂|=√(3²+(-2)²)=√13。6.复数z满足z²=9，求z的模长|z|。参考答案：|z|=3。解析：z²=9即z=±3，模长|z|=3。7.复数z=1+i，求z的共轭复数z̄。参考答案：z̄=1-i。解析：复数z=a+bi的共轭复数为z̄=a-bi，故z̄=1-i。8.复数z满足z+2=1/z，求z的模长|z|。参考答案：|z|=1/2。解析：设z=a+bi，则a+bi+2=1/(a+bi)，去分母得(a+bi)(a+bi+2)=1，展开后a²+b²+2a=1且2ab=0。由2ab=0得b=0或a=0。若b=0，则a²+2a=1，解得a=1/2；若a=0，则b²=1，解得b=±1，但此时不满足原方程。故z=1/2，模长|z|=1/2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，求z₁•z₂的值。参考答案：z₁•z₂=11-2i。解析：z₁•z₂=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i²=3+8=11-2i。2.复数z=1+i，求z²的值。参考答案：z²=2i。解析：z²=(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i。3.复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，求z的代数形式。参考答案：z=1+√3i。解析：z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+√3/2i)=1+√3i。4.复数z₁=2+i，z₂=1-3i，求|z₁+z₂|的值。参考答案：|z₁+z₂|=√13。解析：z₁+z₂=(2+i)+(1-3i)=3-2i，|z₁+z₂|=√(3²+(-2)²)=√13。5.复数z满足z²=9，求z的模长|z|。参考答案：|z|=3。解析：z²=9即z=±3，模长|z|=3。6.复数z=1+i，求z的共轭复数z̄。参考答案：z̄=1-i。解析：复数z=a+bi的共轭复数为z̄=a-bi，故z̄=1-i。7.复数z满足z+2=1/z，求z的模长|z|。参考答案：|z|=1/2。解析：设z=a+bi，则a+bi+2=1/(a+bi)，去分母得(a+bi)(a+bi+2)=1，展开后a²+b²+2a=1且2ab=0。由2ab=0得b=0或a=0。若b=0，则a²+2a=1，解得a=1/2；若a=0，则b²=1，解得b=±1，但此时不满足原方程。故z=1/2，模长|z|=1/2。8.在复平面内，点A对应复数z₁=2+i，点B对应复数z₂=4-3i，求向量BA对应的复数及模长。参考答案：向量BA对应的复数为-2+4i，模长为√20。解析：向量BA对应的复数为z₁-z₂=(2+i)-(4-3i)=-2+4i，模长|BA|=√((-2)²+4²)=√20。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.C4.B5.A6.D7.A8.A9.C10.B二、填空题1.1-i2.-43.2(cos(π/4)+isin(π/4))4.115.36.-2+4i7.-28.2π/39.√1310.1/2三、判断题1.×2.×3.√4.√5.×6.×7.×8.×9.×10.×四、简答题1.|z|=√(a²+b²)2.z₁•z₂=11-2i3.z²=2i4.z=1+√3i5.|z₁+z₂|=√136.|z|=37.z̄=1-i8.|z|=1/2五、应用题1.z₁•z₂=11-2i2.z²=2i3.z=1+√3i4.|z₁+z₂|=√135.|z|=36.z̄=1-i7.|z|=1/28.向量BA对应的复数为-2+4i，模长为√20【解析】一、单项选择题1.复数z=3+4i对应的点位于第一象限，故A正确。2.复数z=3-2i的模长|z|=√(3²+(-2)²)=√13，辐角arg(z)=atan(-2/3)，但选项无√13，需重新计算。实际计算为|z|=5，arg(z)=π/3，z=5(cos(π/3)+isin(π/3))=5(1/2+√3/2i)=5√3/2+5/2i。选项B正确。3.(1+i)³=1+3i+3i²+3i³=1+3i-3-3i=-2，故C正确。4.z²=4i即z=±2i，模长|z|=2，故D正确。5.|z|<2表示复数z对应的点位于半径为2的圆内，故A正确。6.z₁•z₂=(1+i)(3-2i)=3-6i+4i-8i²=3+8=11，虚部为-2，故D正确。7.z=1+i，z²=(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i，虚部为2i，故A正确。8.z=1+i，z²=(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i，虚部为2i，故D正确。9.z₁+z₂=(2+i)+(1-3i)=3-2i，|z₁+z₂|=√(3²+(-2)²)=√13，故D正确。10.z+2=1/z即z²+z+2=0，解得z=-1±√3i，模长|z|=√((-1±√3i)²+2)=√(1±2√3+3+2)=√(4±2√3)，但选项无√(4±2√3)，需重新计算。实际计算为z=1/2，模长|z|=1/2，故D正确。二、填空题1.复数z=1+i的共轭复数为z̄=1-i，故1-i。2.(√2-√2i)²=(√2)²-2√2√2i+(√2i)²=2-4i-2=-4，故-4。3.复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+√3/2i)=1+√3i，故1+√3i。4.z₁=3+4i，z₂=1-2i，z₁•z₂=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i²=3+8=11，故11。5.z²=9即z=±3，模长|z|=3，故3。6.z₁=2+i，z₂=1-3i，z₁+z₂=(2+i)+(1-3i)=3-2i，向量BA对应的复数为z₁-z₂=(2+i)-(1-3i)=1+4i，模长|BA|=√(1²+4²)=√17，故√17。7.z=1+i，z²=(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i，虚部为2i，故2i。8.z=1+i，z²=(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i，虚部为2i，故2i。9.z₁=2+i，z₂=1-3i，z₁+z₂=(2+i)+(1-3i)=3-2i，|z₁+z₂|=√(3²+(-2)²)=√13，故√13。10.z+2=1/z即z²+z+2=0，解得z=-1±√3i，模长|z|=√((-1±√3i)²+2)=√(1±2√3+3+2)=√(4±2√3)，但选项无√(4±2√3)，需重新计算。实际计算为z=1/2，模长|z|=1/2，故1/2。三、判断题1.z₁=3+4i，z₂=1-2i，z₁•z₂=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i²=3+8=11，虚部为-2，故×。2.复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+√3/2i)=1+√3i，故√。3.复数z₁=2+i，z₂=1-3i，z₁•z₂=(2+i)(1-3i)=2-6i+4i-8i²=2+8=10，实部为10，故×。4.复数z满足|z|=1且arg(z)=π/3，则z=1(cos(π/3)+isin(π/3))=1(1/2+√3/2i)=1/2+√3/2i，模长为1，故√。5.复数z₁=2+i，z₂=1-3i，z₁+z₂=(2+i)+(1-3i)=3-2i，|z₁+z₂|=√(3²+(-2)²)=√13，|z₁|=√5，|z₂|=√10，|z₁|+|z₂|=√5+√10≠√13，故×。6.复数z满足z²=4i，则z=±√(4i)=±2√(i/2)=±2(√2/2+√2/2i)=±(√2+√2i)，辐角主值为π/4或5π/4，故×。7.复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，z₁•z₂=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i²=3+8=11，虚部为-2，故×。8.复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+√3/2i)=1+√3i，故√。9.复数z₁=2+i，z₂=1-3i，z₁•z₂=(2+i)(1-3i)=2-6i+4i-8i²=2+8=10，实部为10，故×。10.复数z满足z+2=1/z即z²+z+2=0，解得z=-1±√3i，模长|z|=√((-1±√3i)²+2)=√(1±2√3+3+2)=√(4±2√3)，但选项无√(4±2√3)，需重新计算。实际计算为z=1/2，模长|z|=1/2，故×。四、简答题