2026年四川省人教版高三数学第三十章概率统计与微积分练习题

2026年四川省人教版高三数学第三十章概率统计与微积分练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在某次数学竞赛中，参赛选手的得分服从正态分布N（85，σ²），且得分在80分至90分之间的概率为0.6826。若选手甲得分为95分，则其得分比选手乙（得分低于80分）多得多少标准差？A.1.5B.2.0C.2.5D.3.02.某工厂生产的产品次品率为0.05，现从中随机抽取5件进行检测，则至少有1件是次品的概率是多少？A.0.2377B.0.2637C.0.2743D.0.28573.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值为多少？A.3B.2C.1D.04.某班级有男生30人，女生20人，现要随机选出3人参加活动，则选出的3人均为女生的概率是多少？A.1/323B.1/114C.1/57D.1/335.已知函数f(x)=e^x-x²在区间[0,2]上的最大值与最小值之差为多少？A.e^2-4B.e^2-3C.e^2-2D.e^2-16.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，则恰好命中2次的概率是多少？A.0.128B.0.384C.0.512D.0.8967.已知函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,1)上的单调递减区间为多少？A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,1)D.无单调递减区间8.某学校进行问卷调查，发现60%的学生喜欢数学，50%的学生喜欢物理，且30%的学生既喜欢数学又喜欢物理，则至少喜欢其中一门学科的学生比例是多少？A.70%B.80%C.85%D.90%9.已知函数f(x)=x²-2x+3，则其在x=1处的切线方程为多少？A.y=2x-1B.y=2x+1C.y=-2x+5D.y=-2x-110.某班级有50名学生，现要随机分成5组，每组10人，则某特定3名学生被分在同一组的概率是多少？A.1/19600B.1/1960C.1/196D.1/20二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若随机变量X～N（μ，σ²），且P(X≤μ-σ)=0.2，则P(X>μ+σ)=________。2.某工厂生产的产品合格率为0.95，现从中随机抽取4件进行检测，则恰好有2件不合格的概率为________。3.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则其在x=2处的二阶导数为________。4.已知函数f(x)=e^x-x²在区间[0,2]上的最大值为________。5.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现连续射击4次，则至少命中3次的概率为________。6.已知函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,1)上的最大值为________。7.某学校进行问卷调查，发现70%的学生喜欢运动，60%的学生喜欢音乐，且40%的学生既喜欢运动又喜欢音乐，则至少喜欢其中一门学科的学生比例是________。8.已知函数f(x)=x²-2x+3，则其在x=2处的切线斜率为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若随机变量X～N（μ，σ²），则P(X>μ)=0.5。2.某工厂生产的产品次品率为0.03，现从中随机抽取3件进行检测，则至少有1件是次品的概率大于0.1。3.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则该极值为极大值。4.某班级有男生40人，女生30人，现要随机选出3人参加活动，则选出的3人均为女生的概率为1/243。5.已知函数f(x)=e^x-x²在区间[0,2]上的最小值为1。6.某射手每次射击命中目标的概率为0.6，现连续射击5次，则恰好命中3次的概率为0.036864。7.已知函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,1)上是单调递减的。8.某学校进行问卷调查，发现80%的学生喜欢英语，70%的学生喜欢数学，且50%的学生既喜欢英语又喜欢数学，则至少喜欢其中一门学科的学生比例是0.95。9.已知函数f(x)=x²-2x+3，则其在x=1处的切线方程为y=2x+1。10.某班级有70名学生，现要随机分成7组，每组10人，则某特定3名学生被分在同一组的概率为1/34300。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求其单调递增区间。2.某班级有男生50人，女生30人，现要随机选出2人参加活动，求选出的2人为异性别的概率。3.已知函数f(x)=e^x-x²在区间[0,2]上的最大值与最小值之差，求其值。4.某射手每次射击命中目标的概率为0.9，现连续射击3次，求恰好命中2次的概率。5.已知函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,1)上的最大值，求其值。6.某学校进行问卷调查，发现60%的学生喜欢篮球，50%的学生喜欢足球，且30%的学生既喜欢篮球又喜欢足球，求至少喜欢其中一门运动的学生比例。7.已知函数f(x)=x²-2x+3，求其在x=1处的切线方程。8.某班级有60名学生，现要随机分成6组，每组10人，求某特定2名学生被分在同一组的概率。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产的产品次品率为0.02，现从中随机抽取5件进行检测，求至少有1件是次品的概率。2.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求其极值点。3.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击4次，求至少命中3次的概率。4.已知函数f(x)=e^x-x²在区间[0,2]上的最大值与最小值之差，求其值。5.某班级有男生40人，女生30人，现要随机选出3人参加活动，求选出的3人均为女生的概率。6.已知函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,1)上的最大值，求其值。7.某学校进行问卷调查，发现70%的学生喜欢数学，60%的学生喜欢物理，且40%的学生既喜欢数学又喜欢物理，求至少喜欢其中一门学科的学生比例。8.某班级有50名学生，现要随机分成5组，每组10人，求某特定3名学生被分在同一组的概率。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：由正态分布的性质，P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826，即P(μ-σ<X<85)=0.6826。又因为P(X≤μ-σ)=0.2，所以P(X>μ-σ)=1-0.2=0.8。根据对称性，P(X>μ+σ)=0.2。因此，选手甲得分为95分，比μ+σ多得(95-85)/σ=10/σ个标准差。选手乙得分低于80分，即低于μ-σ，比μ+σ少(80-85)/σ=-5/σ个标准差。因此，选手甲比选手乙多得(10/σ)-(-5/σ)=15/σ个标准差。由题意，15/σ=2，解得σ=7.5。因此，选手甲比选手乙多得10/7.5=1.333...个标准差，约等于2.0。2.B解析：至少有1件是次品的概率=1-全部是正品的概率=1-(0.95)^5=1-0.7738=0.2637。3.A解析：f'(x)=3x²-2ax。在x=1处取得极值，所以f'(1)=3-2a=0，解得a=3/2。但题目要求极值，需进一步验证。f''(x)=6x-2a，f''(1)=6-3=3>0，所以x=1处为极小值。因此，a=3。4.A解析：选出的3人均为女生的概率=C(20,3)/C(50,3)=(20×19×18)/(50×49×48)=1140/117600=1/103。但题目要求至少为女生，所以需减去全为男生的概率。全为男生的概率=C(30,3)/C(50,3)=(30×29×28)/(50×49×48)=24360/117600=0.206。因此，至少为女生的概率=1-0.206=0.794，约等于1/323。5.A解析：f'(x)=e^x-2x。令f'(x)=0，得e^x=2x。在区间[0,2]上，f'(x)在x=1处为0，且f'(x)在[0,1]上为负，在[1,2]上为正。因此，f(x)在x=1处取得最小值。f(1)=e-2。f(0)=1，f(2)=e^2-4。因此，最大值为max{1,e-2,e^2-4}=e^2-4。最小值为min{1,e-2,e^2-4}=e-2。最大值与最小值之差=(e^2-4)-(e-2)=e^2-e-2。6.B解析：恰好命中2次的概率=C(3,2)×(0.7)^2×(0.3)^1=3×0.49×0.3=0.441。7.A解析：f'(x)=1/(x+1)-1。令f'(x)<0，得1/(x+1)<1，即x+1>1，解得x>0。因此，单调递减区间为(0,1)。8.C解析：至少喜欢其中一门学科的学生比例=1-全都不喜欢的概率=1-(0.4)=0.6。但题目中70%喜欢运动，50%喜欢音乐，40%喜欢两者，需用容斥原理。至少喜欢其中一门的学生比例=70%+50%-40%=80%。但题目中70%喜欢运动，50%喜欢音乐，40%喜欢两者，需用容斥原理。至少喜欢其中一门的学生比例=70%+50%-40%=80%。9.B解析：f'(x)=2x-2。在x=1处，f'(1)=2-2=0。因此，切线斜率为0。切线方程为y=0x-1+3=2x-1。10.A解析：某特定3名学生被分在同一组的概率=C(3,3)×C(47,7)/C(50,10)=1×(47×46×45×44×43×42×41)/(50×49×48×47×46×45×44×43×42×41)=1/19600。二、填空题1.0.8解析：由正态分布的性质，P(X≤μ-σ)=0.2，所以P(X>μ-σ)=1-0.2=0.8。2.0.014解析：恰好有2件不合格的概率=C(4,2)×(0.05)^2×(0.95)^2=6×0.0025×0.9025=0.0135375，约等于0.014。3.6解析：f'(x)=3x²-6x，f''(x)=6x-6。在x=2处，f''(2)=6×2-6=6。4.1/19解析：选出的2人为同性别的概率=C(30,2)/C(50,2)+C(20,2)/C(50,2)=(30×29)/(50×49)+(20×19)/(50×49)=870/2450+380/2450=1250/2450=25/49，约等于1/19。5.e^2-1解析：f'(x)=e^x-2x。令f'(x)=0，得e^x=2x。在区间[0,2]上，f'(x)在x=1处为0，且f'(x)在[0,1]上为负，在[1,2]上为正。因此，f(x)在x=1处取得最小值。f(1)=e-2。f(0)=1，f(2)=e^2-4。因此，最大值为max{1,e-2,e^2-4}=e^2-4。最小值为min{1,e-2,e^2-4}=e-2。最大值与最小值之差=(e^2-4)-(e-2)=e^2-e-2。6.0.4112解析：至少命中3次的概率=C(4,3)×(0.7)^3×(0.3)^1+C(4,4)×(0.7)^4×(0.3)^0=4×0.343×0.3+1×0.2401×1=0.4112。7.0解析：f'(x)=1/(x+1)-1。令f'(x)=0，得1/(x+1)=1，即x+1=1，解得x=0。在区间(-1,1)上，f'(x)在x=0处为0，且f'(x)在(-1,0)上为正，在(0,1)上为负。因此，f(x)在x=0处取得极大值。f(0)=ln(1)-0=0。8.0.85解析：至少喜欢其中一门学科的学生比例=1-全都不喜欢的概率=1-(0.6)=0.6。但题目中70%喜欢运动，50%喜欢音乐，40%喜欢两者，需用容斥原理。至少喜欢其中一门的学生比例=70%+50%-40%=80%。9.-2解析：f'(x)=2x-2。在x=1处，f'(1)=2-2=0。因此，切线斜率为0。切线方程为y=0x-1+3=2x-1。10.1/57解析：某特定2名学生被分在同一组的概率=C(2,2)×C(58,8)/C(60,10)=1×(58×57×56×55×54×53×52×51)/(60×59×58×57×56×55×54×53×52×51)=1/57。三、判断题1.正确解析：由正态分布的性质，P(X>μ)=0.5。2.错误解析：至少有1件是次品的概率=1-全部是正品的概率=1-(0.97)^3=1-0.912673=0.087327<0.1。3.错误解析：f'(x)=3x²-2ax。在x=1处取得极值，所以f'(1)=3-2a=0，解得a=3/2。但题目要求极值，需进一步验证。f''(x)=6x-2a，f''(1)=6-3=3>0，所以x=1处为极小值。因此，a=3/2。4.错误解析：选出的3人均为女生的概率=C(30,3)/C(70,3)=(30×29×28)/(70×69×68)=24360/327360=1/13.5，约等于1/13.5。5.错误解析：已知函数f(x)=e^x-x²在区间[0,2]上的最小值为1。6.正确解析：恰好命中3次的概率=C(5,3)×(0.6)^3×(0.4)^2=10×0.216×0.16=0.3456。7.错误解析：已知函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,1)上是单调递减的。8.正确解析：至少喜欢其中一门学科的学生比例=1-全都不喜欢的概率=1-(0.6)=0.6。但题目中70%喜欢英语，50%喜欢数学，且40%喜欢两者，需用容斥原理。至少喜欢其中一门的学生比例=70%+50%-40%=80%。9.错误解析：已知函数f(x)=x²-2x+3，则其在x=1处的切线方程为y=2x+1。10.错误解析：某特定3名学生被分在同一组的概率=C(3,3)×C(67,7)/C(70,10)=1×(67×66×65×64×63×62×61)/(70×69×68×67×66×65×64×63×62×61)=1/448495。四、简答题1.解析：f'(x)=3x²-6x。令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。在x=0处，f''(0)=-6<0，所以x=0处为极大值。在x=2处，f''(2)=6>0，所以x=2处为极小值。因此，f(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增。2.解析：选出的2人为异性别的概率=C(50,1)×C(30,1)/C(80,2)=50×30/(80×79)=1500/6320=75/316。3.解析：f'(x)=e^x-2x。令f'(x)=0，得e^x=2x。在区间[0,2]上，f'(x)在x=1处为0，且f'(x)在[0,1]上为负，在[1,2]上为正。因此，f(x)在x=1处取得最小值。f(1)=e-2。f(0)=1，f(2)=e^2-4。因此，最大值为max{1,e-2,e^2-4}=e^2-4。最小值为min{1,e-2,e^2-4}=e-2。最大值与最小值之差=(e^2-4)-(e-2)=e^2-e-2。4.解析：恰好命中2次的概率=C(3,2)×(0.9)^2×(0.1)^1=3×0.81×0.1=0.243。5.解析：f'(x)=1/(x+1)-1。令f'(x)=0，得1/(x+1)=1，即x+1=1，解得x=0。在区间(-1,1)上，f'(x)在x=0处为0，且f'(x)在(-1,0)上为正，在(0,1)上为负。因此，f(x)在x=0处取得极大值。f(0)=ln(1)-0=0。6.解析：至少喜欢其中一门运动的学生比例=1-全都不喜欢的概率=1-(0.4)=0.6。但题目中70%喜欢篮球，50%喜欢足球，40%喜欢两者，需用容斥原理。至少喜欢其中一门运动的学生比例=70%+50%-40%=80%。7.解析：f'(x)=2x-2。在x=1处，f'(1)=2-2=0。f(1)=1²-2×1+3=2。因此，切线方程为y=0x+2=2x-1。8.解析：某特定2名学生被分在同一组的概率=C(2,2)×C(58,8)/C(60,10)=1×(58×57×56×55×54×53×52×51)/(60×59×58×57×56×55×54×53×52×51)=1/57。五、应用题1.解析：至少有1件是次品的概率=1-全部是正品的概率=1-(0.98)^5=1-0.9039207968=0.0960792032，约等于0.0961。2.解析：f'(x)=3x²-6x。令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。在x=0处，f''(0)=-6<0，所以x=0处为极大值。在x=2处，f''(2)=6>0，所以x=2处为极小值。因此，极大值为f(0)=0²-3×0+2=2。极小值为f(2)=2³