山西省长治市上党区第一中学校2025-2026学年高一第二学期7月期末数学试题 含答案解析

数学一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数（为虚数单位），则复数为（）A. B. C. D.3.若，则（）A. B. C. D.4.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A. B. C. D.5.从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（）A.88 B.90 C.123 D.1266.如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（）A.B.C.D.7.已知角，直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.8.如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（）A.是必然事件 B.是必然事件C.与一定互斥 D.与一定不互斥二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列图象中可以作为函数图象的是（）A. B.C. D.10.下列说法正确的是（

）A.小付同学本学期参与了次数学考试，则事件“至少有次及格”与事件“只有一次及格”互为对立事件B.若，，，则事件与事件相互独立C.高二年级准备从个班级中抽取个班级参与“附中好诗词”舞台搭建，采取抽签法和随机数法两种不同方法抽取时，每个班级被抽中的概率分别为、，则D.若，，则11.在锐角中，角所对的边分别为，则（）A. B.的取值范围是C.存在，其面积为1 D.边上的中线长的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线：与直线：平行，则实数________.13.若，则的最大值是______．14.棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有水，当侧面水平放置时，液面高为（如图1）；当转动容器至截面水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则___；_____．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.太原市某报社发起过建党105周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中的值；（2）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在的作者中选出参加座谈会的人数；（3）根据频率分布直方图，求这位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）．16.设．（1）求的最大值及取到最值时的取值集合；（2）求的单调区间；（3）若锐角满足，求的值.17.如图所示的四棱锥中，平面，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，建立如图示空间直角坐标系.（1）求球心的坐标；（2）求直线与直线所成角的余弦值．18.抛掷两枚质地均匀的骰子（标号为号和号），记下两枚骰子朝上的点数，求下列事件的概率：（1）“两个点数之和是5”；（2）“两个点数相等”；（3）“号骰子的点数大于号骰子的点数”．19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，.（1）求证：平面PAD：（2）设点G是的重心.（i）求直线GB与平面PBD所成角的正弦值；（ii）设平面，求.

数学一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：化简集合，，再根据集合的交运算，即可得答案；解答过程：，，，故选：A.2.已知复数（为虚数单位），则复数为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据复数除法运算法则直接求解即可.解答过程：.故选：B.3.若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据诱导公式进行计算.解答过程：由，则，所以.故选：B4.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：对于A，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，的定义域为R，满足，函数为偶函数，当时，单调递增，符合题意；对于C，在上单调递减，不符合题意；对于D，在上单调递减，不符合题意.5.从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（）A.88 B.90 C.123 D.126答案：A解析：思路：由百分位数的概念即可求解.解答过程：由题意，所以下四分位数为，故选：A6.如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（）A.B.C.D.答案：C解析：思路：根据空间向量的加减运算，结合空间向量的基本定理即可求得答案.解答过程：由题意得,结合可得，故，故选：C7.已知角，直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据倾斜角与斜率的关系建立方程，结合三角函数的性质，可得答案.解答过程：设直线的倾斜角为，则，故角的取值范围是.故选：D.8.如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（）A.是必然事件 B.是必然事件C.与一定互斥 D.与一定不互斥答案：B解析：思路：根据事件互斥、对立事件和必然事件的定义，逐一分析选项．解答过程：解：如图①所示，不是必然事件，是必然事件，与不互斥；如图②所示，是必然事件，是必然事件，与互斥．故选B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列图象中可以作为函数图象的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：根据函数的定义即可判断.解答过程：根据函数的定义，对于B中存在一个的值，有两个值与之对应，所以不是函数图象，ACD符合函数定义．故选：ACD.10.下列说法正确的是（

）A.小付同学本学期参与了次数学考试，则事件“至少有次及格”与事件“只有一次及格”互为对立事件B.若，，，则事件与事件相互独立C.高二年级准备从个班级中抽取个班级参与“附中好诗词”舞台搭建，采取抽签法和随机数法两种不同方法抽取时，每个班级被抽中的概率分别为、，则D.若，，则答案：BC解析：解答过程：对于A选项，小付同学本学期参与了次数学考试，则事件“至少有次及格”包含的事件有“次及格”、“次及格”、“次及格”，其对立的事件为“次及格或次全不及格”，因此，事件“至少有次及格”的对立事件为“至多有次及格”，A错；对于B选项，因为，，则，因为，则事件与事件相互独立，故事件与事件相互独立，B对；对于C选项，高二年级准备从个班级中抽取个班级参与“附中好诗词”舞台搭建，采取抽签法和随机数法两种不同方法抽取时，每个班级被抽中的概率分别为、，则每个班级被抽中的概率相等，故，C对；对于D选项，若，，则，D错.11.在锐角中，角所对的边分别为，则（）A. B.的取值范围是C.存在，其面积为1 D.边上的中线长的取值范围是答案：ACD解析：思路：对于A，由结合正弦定理及两角和与差的正弦公式化简判断即可；对于B，结合及锐角可得，，再根据正弦定理及二倍角公式可得，进而求解判断即可；对于C，表示出，求出面积的取值范围即可判断；对于D，设的中点为，根据平面向量的数量积可得，结合，，可得，利用换元法求出其范围，进而求解判断即可.解答过程：对于A，由，根据正弦定理，得，则，即，则，即，在锐角中，，则，则，即，故A正确；对于B，由，则，在锐角中，，即，则，由正弦定理，得，故B错误；对于C，由，，，，即，根据正弦定理，得，则，即，则，因为函数在上单调递减，且时，，时，，所以，则，则存在，其面积为1，故C正确；对于D，设的中点为，则，所以，又，而，则，则，令，则，令，则，因为函数在上单调递增，且时，，时，，则，即，则，所以，即边上的中线长的取值范围是，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线：与直线：平行，则实数________.答案：解析：解答过程：直线的斜率为，在轴上的截距为，因为两条直线平行，故直线的斜率存在，且与直线的斜率相等，在轴上的截距不为，故，所以直线的斜率为，在轴上的截距为，所以，且，解得，即实数.13.若，则的最大值是______．答案：解析：思路：将转化为，利用基本不等式求解.解答过程：令，因为，所以，所以，当且仅当，即，因为，所以时，等号成立.14.棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有水，当侧面水平放置时，液面高为（如图1）；当转动容器至截面水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则___；_____．答案：①.②.解析：思路：利用体积相等得出，进而算出，进而得出，通过面积的比值，进而求出的值，得到答案．解答过程：由题意，正三棱柱的棱长均为，所以，由题意可得，又由得，∴，∴∵，∴，∴在等边中，边上的高为因为，∴故答案为．方法提示：本题主要考查了空间几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，合理利用锥体的体积公式和三棱锥的结构特征求解是解答的关键，着重考查了空间想象能，以及推理与运算能力，属于中档试题．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.太原市某报社发起过建党105周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中的值；（2）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在的作者中选出参加座谈会的人数；（3）根据频率分布直方图，求这位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）．答案：（1）（2）人（3）解析：思路：（1）根据频率和为可构造方程求得结果；（2）根据年龄在的人数对应频率和分层抽样原则直接计算即可；（3）利用频率分布直方图估计平均数的方法可直接计算得到.（1）因为，所以；（2）应从选出参加座谈会的人数为：人；（3）由题意得：.16.设．（1）求的最大值及取到最值时的取值集合；（2）求的单调区间；（3）若锐角满足，求的值.答案：（1），；（2）单调增区间为，，减区间为，；（3）．解析：思路：（1）根据余弦函数的性质，直接得出结果；（2）由余弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出单调区间；（3）根据函数解析式，由题中条件，求出，得出，进而可求出结果.解答过程：（1）由题意，可得当且仅当，，即，时，取到最大值为；此时的集合为；（2）由得；由得；所以的单调增区间为，，减区间为，；（3）由题意，可得，∴，∴，∴，∴．方法提示：本题主要考查求余弦型三角函数的最值，以及余弦型三角函数的单调区间，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.17.如图所示的四棱锥中，平面，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，建立如图示空间直角坐标系.（1）求球心的坐标；（2）求直线与直线所成角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设球心，根据球的定义列方程组求解即可；（2）根据公式计算.（1）由题意得，，设球心，若在同一个球面上，则，得：解得，即，（2）由题意得，设直线与直线所成角为，∴故直线与直线所成角的余弦值为.18.抛掷两枚质地均匀的骰子（标号为号和号），记下两枚骰子朝上的点数，求下列事件的概率：（1）“两个点数之和是5”；（2）“两个点数相等”；（3）“号骰子的点数大于号骰子的点数”．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）判断出符合古典概型，列出样本空间，找到满足事件的样本点，求比值即可；（2）列出满足事件的样本点，求比值即可；（3）列出满足事件的样本点，求比值即可．（1）用表示号出现的点数为，用表示号出现的点数为，则用表示这个实验的一个样本点，样本空间，共有36个样本点．由于骰子的质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．，，；（2），，；（3）．19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，.（1）求证：平面PAD：（2）设点G是的重心.（i）求直线GB与平面PBD所成角的正弦值；（ii）设平面，求.答案：（1）在中，由余弦定理得，即，则，可知，因为平面ABCD，平面ABCD，则，且，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.（2）（i）