陕西省汉中市部分校2025-2026学年高二第二学期7月期末考试联合测评数学试题 含答案解析

数学本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数，则（）A. B. C. D.33.若双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.64.已知，为单位向量，，则等于（）A.2 B. C.1 D.5.已知奇函数的定义域为，且当时，，则（）A. B. C.2 D.16.已知，则（）A. B. C. D.7.某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（）A.240种 B.360种 C.480种 D.600种8.已知是曲线上一点，直线经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.一组数据11，12，13，14，16，18的第60百分位数为14B.若随机变量服从正态分布，且，则C.若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强D.对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值为10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.的一个零点为 D.的最小值为11.已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上的动点，过点作的垂线，垂足为，若准线与圆相切，点为圆上的动点，则下列结论正确的是（）A.准线的方程为B.圆的半径C.当为正三角形时，直线与圆一定相交D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的最小值为______________.13.在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则角=______________.14.将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为______________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为与的交点，为棱的中点，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围.17.现需要对某人工智能芯片进行性能测试，规则如下：首次测试（测试Ⅰ）通过率为，未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为，仍未通过则报废.通过任意一次测试即为合格芯片.（1）若某批次生产了枚芯片，设其中的合格芯片个数为随机变量.当，时，求的期望与方差；（2）已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率.（结果用含，的式子表示）18.已知等差数列满足，，等比数列的首项为1，且，，成等差数列.（1）求的通项公式；（2）求的通项公式；（3）求数列的前项和.19.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极小值，且，求的取值范围.

数学本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因,，则.2.若复数，则（）A. B. C. D.3答案：D解析：解答过程：因，则，故.3.若双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.6答案：A解析：解答过程：双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为，由题中方程，得，即，所以，解得．4.已知，为单位向量，，则等于（）A.2 B. C.1 D.答案：C解析：解答过程：由两边取平方，得，因，，代入可得.5.已知奇函数的定义域为，且当时，，则（）A. B. C.2 D.1答案：D解析：思路：由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可.解答过程：因是定义在上的奇函数，则,即,解得,则当时，，故.6.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：应用诱导公式及二倍角公式计算求解.解答过程：已知，则.7.某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（）A.240种 B.360种 C.480种 D.600种答案：A解析：思路：先排4个节目，再按照定序插空排列即可求解.解答过程：先把除了舞蹈节目和合唱节目的4个节目排列有种排法，舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，插空有种，总共有种.8.已知是曲线上一点，直线经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求导，设，根据题意结合导数的几何意义列式求解即可.解答过程：因为，则，直线，即为，其斜率为，设，由题意可得：，解得.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.一组数据11，12，13，14，16，18的第60百分位数为14B.若随机变量服从正态分布，且，则C.若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强D.对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值为答案：ACD解析：思路：利用百分位数的定义可判断A，利用正态分布的性质可判断B，根据线性相关系数的性质可判断C，利用线性回归方程中的基本量可判断D.解答过程：对于A，因为，所以这组数据的第百分位数为第四个数，故A正确；对于B，因随机变量，且，则，则，故B错误；对于C,若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，故C正确；对于D，因为回归直线经过样本点的中心，则，解得，故D正确．10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.的一个零点为 D.的最小值为答案：AC解析：思路：利用正弦型函数的周期，对称轴，零点以及最值的性质逐一判断即得.解答过程：对于A，由可知，函数的最小正周期为，故A正确；对于B，当时，，故的图象不关于对称，故B错误；对于C，因，故的一个零点为，即C正确；对于D，对于，当时，即时，也即当时，，故D错误.11.已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上的动点，过点作的垂线，垂足为，若准线与圆相切，点为圆上的动点，则下列结论正确的是（）A.准线的方程为B.圆的半径C.当为正三角形时，直线与圆一定相交D.的最小值为答案：ABD解析：思路：对于A,利用抛物线方程求出焦准距，即得准线方程；对于B，由准线和圆相切，易求得圆的半径；对于C，设，由抛物线定义得，结合正三角形，列方程求出点坐标，即得，利用圆心到直线的距离公式即可判断；对于D，利用抛物线定义，结合三点共线时线段和最短的性质即可求得.解答过程：对于A，

由可得

，则其准线方程为

，故A正确；对于B，圆

的圆心为

，准线

，因准线与圆相切，则

，故B正确；对于C，设

，则，其中

.若

为正三角形，则

，又由，代入

，解得

或(舍去)，回代解得，则

.因圆心到直线的距离

，即直线与圆相离，故C错误；对于D，因

，对任意抛物线上任意点

，点为圆上的动点，有

，则由图知，，因此的最小值为

，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的最小值为______________.答案：1解析：思路：应用基本不等式计算求解.解答过程：已知，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为1.13.在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则角=______________.答案：解析：解答过程：由余弦定理，，因，则.14.将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为______________.答案：##解析：思路：根据铁球与正四棱台铁锭的体积相等列方程，即可求得铁锭的高.解答过程：依题意，正四棱台形状的铁锭的体积等于铁球的体积，设正四棱台形状的铁锭的高为，则得，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为与的交点，为棱的中点，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明：因为正方形的对角线与的交点，则，又因为棱的中点，则，由平面，平面，可得平面.（2）解析：思路：（1）根据条件证明，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）建系，写出相关点与向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得.（1）略（2）因为底面，，底面，所以，，易得，于是可建立如图所示的直角坐标系.则，，，，所以，，易知为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围.（1）依题意可得，，可得，则，故椭圆的标准方程为.（2）联立，消元整理得由，解得或.即实数的取值范围为.17.现需要对某人工智能芯片进行性能测试，规则如下：首次测试（测试Ⅰ）通过率为，未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为，仍未通过则报废.通过任意一次测试即为合格芯片.（1）若某批次生产了枚芯片，设其中的合格芯片个数为随机变量.当，时，求的期望与方差；（2）已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率.（结果用含，的式子表示）答案：（1），（2）解析：思路：（1）记事件：芯片合格，利用全概率公式求得，依题意，利用二项分布的期望与方差公式计算即得；（2）记事件：芯片合格，事件：通过测试Ⅰ，事件：通过测试Ⅱ.利用全概率公式求得，利用概率乘法公式求得，再由条件概率公式计算即得.（1）记事件：芯片合格，则事件包括测试Ⅰ通过与未通过测试Ⅰ且通过测试Ⅱ两种情况.因测试Ⅰ的通过率为，测试Ⅱ的通过率为，故.依题意，，则，.（2）记事件：芯片合格，事件：通过测试Ⅰ，事件：通过测试Ⅱ.由题意得，，则，故所求概率为.18.已知等差数列满足，，等比数列的首项为1，且，，成等差数列.（1）求的通项公式；（2）求的通项公式；（3）求数列的前项和.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用等差数列的基本量运算即可求得数列通项；（2）利用等比数列的基本量运算即可求得数列通项；（3）利用错位相减法计算即得.（1）设的公差为，由，得，又，故，所以.（2）设的公比为，由，，成等差数列，得，又，得，解得或（舍去），故.（3）由（1）和（2）可知，，则，，两式相减得.故.19.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极小值，且，求的取值范围.答案：（1）（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）解析：思路：（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求得切线方程；（