陕西省西安市高新第一中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则＝（）A. B. C. D.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（）A. B.C. D.6.面积为S的△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则C＝（）A. B. C. D.7.已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（）A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.3.88.已知函数，的定义域均为Z，且，.若的图象关于直线对称，，则（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面向量，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若在上的投影向量为，则D.若与夹角为钝角，则10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（）A. B.B与C互斥C.A与B相互独立 D.A与D互为对立11.如图，在棱长为2的正方体中，E为棱CD的中点，动点P在侧面内（含边界）运动，则（）A.若P为BC的中点，则PE∥平面B.过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形C.若三棱锥的体积为，则动点P的轨迹长度为D.若P为棱的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.，则__________.13.据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥．现有一个“阳马”，底面，底面是矩形，且，，，则这个四棱锥外接球表面积为__________.14.已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求；（2）若，求面积的取值范围.17.某工厂抽取了100件电子元件进行检测，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下的频率分布直方图：（1）求第一四分位数和中位数；（2）现规定：质量指标值小于385的电子元件为二等品，质量指标值不小于385的电子元件为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100件产品中抽出5个电子元件进行检测.（i）求抽出5个电子元件中一等品和二等品分别有多少个；（ii）从这5个电子元件中随机抽取2个作进一步质量分析，试求这两个电子产品恰好有一个为一等品的概率.18.如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥.（1）设平面平面，证明：平面；（2）当时，求平面与平面的夹角的正弦值；（3）若点在平面上的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围.19.意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.（1）求的值；（2）令，对任意实数，都有，求实数k的取值范围；（3）若函数在区间上的值域是，求实数的取值范围.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则＝（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由集合的交集运算求解.解答过程：由，，得.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：由，对应的点为，位于第一象限.3.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由不等式可得，再根据题意可得，由此得到的取值范围.解答过程：由可知,是的必要不充分条件，4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：D解析：解答过程：对于A，若，则或，故A错误，对于B,若，若是的交线，此时，故B错误，对于C,如图：正方体中，若平面，平面，平面平面，但不平行，故C错误，对于D,若，则,D正确.5.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），可得的图象，令，得，可得，．6.面积为S的△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则C＝（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式化简求解.解答过程：在中，由及余弦定理、三角形面积公式，得，解得，而，所以。7.已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（）A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.3.8答案：B解析：思路：设男生人数为，女生人数为，根据平均数可得，再结合方差公式运算求解.解答过程：设男生人数为，女生人数为，且进球数的平均值和方差分别是和，其中男生进球数的平均值和方差分别是和，女生进球数的平均值和方差分别是和，由平均数可得，即，解得，由方差可得，即，解得.故选：B.8.已知函数，的定义域均为Z，且，.若的图象关于直线对称，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用函数图象关于直线对称的性质，推导的对称性表达式，判断A；联立已知的两个含和的等式，通过变量替换消去相关项，推导的递推关系，判断B；代入特殊值到已知等式中，结合的条件，计算，判断C；根据的递推关系确定其周期，计算一个周期内的和，再计算2026项的总和，判断D.解答过程：

①，

②，关于对称，故

③，从②式换元得，代入①式得：，即，代入③式得，得，换元得：

④，再将得，联立得，即周期为4，对应也满足，周期也为4.选项A：即，但由式④，得，故A错误；选项B：，故B错误；选项C：，由得，，故C错误；选项D：由得，又，故，解得，，，，.因为周期为4，且一个周期和为：，从到共506个完整周期（2024项），剩余，，所以，故D正确.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面向量，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若在上的投影向量为，则D.若与夹角为钝角，则答案：AD解析：思路：对于A，根据向量垂直的坐标表示求解即可；对于B，根据向量线性运算的坐标表示求解即可；对于C，根据投影向量求解即可；对于D，根据向量夹角的坐标表示求解即可.解答过程：对于A，若，则，即，解得，A正确.对于B，因为，所以，解得，B错误.对于C，因在上的投影向量为，则，即，所以，整理得，方程无实数解，C错误.对于D，若与夹角为钝角，则，解得且，即，D正确.10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（）A. B.B与C互斥C.A与B相互独立 D.A与D互为对立答案：ACD解析：思路：利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D．解答过程：设2个白球为，，2个黑球为，则样本空间为：，共12个基本事件.事件，共4个基本事件；事件，共6个基本事件；事件，共6个基本事件；事件，共8个基本事件，对于A，由，故A正确；对于B，因为，所以事件B与C不互斥，故B错误；对于C，因为，，，则，故事件A与B相互独立，故C正确；对于D，因为，，所以事件A与D互为对立，故D正确.11.如图，在棱长为2的正方体中，E为棱CD的中点，动点P在侧面内（含边界）运动，则（）A.若P为BC的中点，则PE∥平面B.过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形C.若三棱锥的体积为，则动点P的轨迹长度为D.若P为棱的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为答案：ABD解析：思路：对于A，连接，先证得∥，再利用线面平行的判定定理证明PE∥平面；对于B，结合正方体的特点及图形举例即可判断；对于C，由三棱锥的体积公式结合题设可得到平面的距离为，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量列方程求出点P的轨迹方程，进而求解判断即可；对于D，连接并延长交的延长线于点，连接，可得平面AEP截正方体所得截面为梯形，进而求解判断即可.解答过程：对于A，连接，由正方体得∥，由E、P分别为棱CD、BC的中点得∥，所以∥，又平面，平面，所以PE∥平面，故A正确；对于B，如图，点M、N、Q分别为上的点，且,此时过点E、P、M、N、Q的平面为五边形，故B正确；对于C，由于，则，所以，则，设到平面的距离为，由，则，以为原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，则，即，所以点P的轨迹为线段，而，则动点P的轨迹长度为，故C错误；对于D，连接并延长交的延长线于点，连接，而为的中点，P为的中点，则为与的交点，为的中点，即，所以平面AEP截正方体所得截面为梯形，而，则梯形的高为，所以梯形的面积为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.，则__________.答案：解析：思路：根据题意，利用诱导公式和余弦的倍角公式，即可求解.解答过程：由，则.13.据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥．现有一个“阳马”，底面，底面是矩形，且，，，则这个四棱锥外接球表面积为__________.答案：解析：思路：不妨将题中所求四棱锥放在长方体中，那么求出长方体的外接球半径从而算出外接球表面积即可得出答案.解答过程：如图，由题意可知，即求长方体的外接球表面积，由长方体外接球半径公式知，所以长方体的外接球表面积为，即这个四棱锥外接球表面积为.故答案为:14.已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______.答案：解析：思路：先作出函数的图象，结合图象可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案．解答过程：作出函数图象如图所示：令，则可化为，若有6个根，结合图象可知方程在上有2个不相等的实根，不妨设，，则，解得，故m的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）因为四边形是正方形，所以，因为平面，平面，所以，又因为平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）由四边形是正方形可得，由平面可得，进而根据线面垂直的判定定理求证即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.（1）略（2）由题意，以点为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，显然平面的一个法向量可以是，而，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.16.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求；（2）若，求面积的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助正弦定理将边化为角后，可得，即可得；（2）借助正弦定理与三角形内角和关系可将用表示，再利用三角形面积公式及的范围计算即可得.（1）因为，所以，因为，所以，所以，则，因为，∴；（2）因为，所以，，因为为锐角三角形，则，所以，则，故，，所以面积的取值范围为.17.某工厂抽取了100件电子元件进行检测，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下的频率分布直方图：（1）求第一四分位数和中位数；（2）现规定：质量指标值小于385的电子元件为二等品，质量指标值不小于385的电子元件为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100件产品中抽出5个电子元件进行检测.（i）求抽出5个电子元件中一等品和二等品分别有多少个；（ii）从这5个电子元件中随机抽取2个作进一步质量分析，试求这两个电子产品恰好有一个为一等品的概率.答案：（1）370，381（2）（i）2，3；（ii）解析：思路：（1）根据由频率分布直方图估计百分位数的计算公式即可求解；（2）（i）根据分层抽样的每层的样本数关系，即可求解；（ii）根据古典概型的计算公式，计算出样本空间中样本点的个数和事件中样本点的个数即可求解；（1）设第一四分位数为，由频率分布直方图可知，质量指标值在的电子元件的频率为,质量指标值在的电子元件的频率为，质量指标值在的电子元件的频率为，因此由题知，故，因此.设中位数为，质量指标值在的电子元件的频率为，因此由题知，，所以.（2）（i）由频率分布直方图可知，100个电子元件中，一等品、二等品的频率分别为，所以从一等品电子元件中抽取个，从二等品电子元件中抽取个.（ii）记抽取的3个二等品电子元件分别为a，b，c，2个一等品电子元件分别为A，B，从5个样品中抽取2个共有10种情况，分别为（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B），恰好有1个电子元件为一等品的情况有6种，分别为（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），这2个电子元件中恰好有1个电子元件为一等品的概率为.18.如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥.（1）设平面平面，证明：平面；（2）当时，求平面与平面的夹角的正弦值；（3）若点在平面上的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围.答案：（1）在中，由分别是的中点，得，又平面，平面，则平面，又平面平面平面，因此，而平面，平面，所以平面.（2）（3）解析：思路：（1）根据给定条件，利用线面平行的判定及性质推理得证.（2）取中点，利用线面垂直的判定结合已知求出，再利用定义法求解.（3）由（2）在平面内以点为原点建立平面直角坐标系，，求出球心及点坐标，利用数量积的几何意义求出范围.（1）略（2）在正中，取中点，连接交于点，由分别是的中点，则为的中点，连接，，又，则，即，平面，因此平面，平面，而平面，则，，又，，于是，因，则，在中，，，取中点