四川省德阳市2025-2026学年高二第二学期期末练习数学试题 含答案解析

数学满分150分，120分钟完成．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（

）A. B. C. D.3.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.4.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（）A. B.2 C. D.5.棣莫弗公式（其中i是虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）发现的，则“”是“复数在复平面内所对应的点位于第一象限”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.某同学一家决定暑假外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居吴奶奶帮忙照顾，如果这几天内吴奶奶记得浇水，那么花存活的概率为0.85，如果这几天内吴奶奶忘记浇水，那么花存活的概率为0.35，假设吴奶奶记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后该同学一家回来发现花还活着的概率为（）A.0.5 B.0.55 C.0.6 D.0.657.为弘扬中国优秀传统文化，某地教育局决定举办“经典诵读”知识竞赛．竞赛规则：每位参赛学生只能从《红楼梦》、《论语》、《史记》3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校必须都有选手参加每本书籍的知识竞赛．某校决定从2名女生、6名男生中，按性别比例采用分层抽样的方法抽取4名学生参加竞赛，每人都参加竞赛，则不同的安排方法共有（）A.1440种 B.240种 C.40种 D.36种8.下列判断中不正确的是（）A.已知变量与线性相关，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数a的值是B.一组从小到大排列的数据，去掉与不去掉，它们的第分位数都不变，则C.已知离散型随机变量，则D.已知随机变量，若，则二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知二项式，则下列说法正确的有（）A.展开式共有7项 B.展开式中各项系数之和是128C.展开式中的第6项为 D.二项式系数最大的项仅为第4项10.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.是偶函数C.的一个零点为 D.的一个极值点为11.设，则（）A. B. C. D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则______．13.设等差数列的前n项和为，若，则＝______．14.双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，实轴长为2，点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则|AB|的最小值为______．四、解答题：木大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.2026年全国两会即十四届全国人大四次会议和全国政协十四届四次会议分别于3月5日和3月4日召开，是“十五五”开局之年的关键会议，承前启后，擘画未来五年发展是其核心定位．会议取得了丰硕的成果．为了解各年龄层对两会的了解情况，随机调查50人（把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年），并把调查结果制成下表：年龄（岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)频数415111154了解2139921（1）请根据上表完成下面：2×2列联表，是否有95%的把握判断了解两会与年龄（中青年、中老年）有关联？了解两会不了解两会总计中青年中老年总计附：．其中n＝a＋b＋c＋d0.0500.0100.0013.8416.63510.828（2）若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解两会的人数为，求的分布列以及．16.如图，四边形，ADCB和是三个全等的直角梯形，D为公共直角顶点，其上底为，每个梯形的下底长和垂直于底边的腰长相等且为上底长的2倍．（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求平面与平面的夹角的正弦值．17.已知在等比数列中，＝2，且成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，设数列满足＝1，，求的前2n＋1项的和．18.已知圆，圆()．（1）证明圆与有公共点；（2）求两圆公共点的轨迹C的方程；（3）设O为坐标原点，过点的直线与轨迹C交于A，B两点（A，B不在x轴上），若，延长AO交轨迹C于点E，求四边形ADBE的面积取得最大值时直线AB的方程．19.设函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围；（3）已知且，求证：．

数学满分150分，120分钟完成．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：集合，，则2.已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．解答过程：半径为的半圆卷成一圆锥，则圆锥的母线长为，设圆锥的底面半径为，则，即，∴圆锥的高，∴圆锥的体积，故选:B.3.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.4.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（）A. B.2 C. D.答案：D解析：思路：利用三角形相似及抛物线定义求解.解答过程：抛物线C：的焦点，准线为，设准线与轴交于点，∵，由与相似得：，∵，∴.5.棣莫弗公式（其中i是虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）发现的，则“”是“复数在复平面内所对应的点位于第一象限”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：D解析：思路：结合新定义及充分必要条件定义判断求解.解答过程：时，复数在复平面内所对应的点为，不位于第一象限，所以充分性不成立；时，复数，在复平面内所对应的点为位于第一象限，但是不成立，所以必要性不成立，所以“”是“复数在复平面内所对应的点位于第一象限”的既不充分也不必要条件.6.某同学一家决定暑假外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居吴奶奶帮忙照顾，如果这几天内吴奶奶记得浇水，那么花存活的概率为0.85，如果这几天内吴奶奶忘记浇水，那么花存活的概率为0.35，假设吴奶奶记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后该同学一家回来发现花还活着的概率为（）A.0.5 B.0.55 C.0.6 D.0.65答案：C解析：思路：根据题意利用全概率公式求出花还活着的概率.解答过程：设事件B表示“邻居记得浇水”，表示“邻居忘记浇水”，A表示“花还活着”，则，，则，7.为弘扬中国优秀传统文化，某地教育局决定举办“经典诵读”知识竞赛．竞赛规则：每位参赛学生只能从《红楼梦》、《论语》、《史记》3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校必须都有选手参加每本书籍的知识竞赛．某校决定从2名女生、6名男生中，按性别比例采用分层抽样的方法抽取4名学生参加竞赛，每人都参加竞赛，则不同的安排方法共有（）A.1440种 B.240种 C.40种 D.36种答案：A解析：思路：先应用组合数分层抽样，再应用分组分配计算求解.解答过程：从2名女生、6名男生中，按性别比例采用分层抽样的方法抽取4名学生有C214位参赛学生从《红楼梦》、《论语》、《史记》3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，所以有种分组分配方法，所以不同安排方法为种.8.下列判断中不正确的是（）A.已知变量与线性相关，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数a的值是B.一组从小到大排列的数据，去掉与不去掉，它们的第分位数都不变，则C.已知离散型随机变量，则D.已知随机变量，若，则答案：C解析：思路：逐一验证线性回归性质、分位数计算、二项分布方差公式、正态分布对称性相关结论，判断各选项正误.解答过程：对选项A：线性回归直线恒过样本中心点，将代入，得，解得，A正确，对选项B：原数据共10个，，故原第80%分位数为第8、9位数据的平均值，去掉后共9个数据，，向上取整得第8位数据为10，令，解得，B正确，对选项C：若，则，代入，得，由方差性质，得，C错误，对选项D：，正态曲线关于对称，故，又已知，那么，D正确.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知二项式，则下列说法正确的有（）A.展开式共有7项 B.展开式中各项系数之和是128C.展开式中的第6项为 D.二项式系数最大的项仅为第4项答案：BC解析：思路：应用二项式展开式计算判断A，C，应用赋值法计算系数和判断B，应用二项式系数最大性质判断D.解答过程：对于A，二项式的展开式共有项，故A错误；对于B，令，得展开式各项系数之和为，故B正确；对于C，展开式第6项为，故C正确；对于D，为奇数，二项式系数最大的项为第4项和第5项，故D错误.10.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.是偶函数C.的一个零点为 D.的一个极值点为答案：AD解析：思路：先根据平移得出，再应用周期公式判断A，应用奇偶性判定B，应用零点定义判断C，应用极值点判定D.解答过程：，向左平移个单位长度得到函数，对于A：周期为，A选项正确；对于B：，为奇函数，B选项错误；对于C：的一个零点为，不是点，C选项错误；对于D：，所以的一个极值点为，D选项正确；11.设，则（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：利用对数函数和指数函数的性质可判断AB，通过作差法，构造函数，并利用导数讨论函数的单调性可判断CD.解答过程：由，得，即，所以，所以，则，即；A对，又，所以，B对，，令，∴，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴，∴，即，，C错，D对.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则______．答案：##解析：思路：先应用正弦定理化简，再结合二倍角正弦公式计算求解.解答过程：若，由正弦定理得，又因为，所以，所以，因为，所以，则.13.设等差数列的前n项和为，若，则＝______．答案：7解析：思路：先化简，再应用等差数列下标和性质求解.解答过程：等差数列的前n项和为，若，则，所以.则．14.双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，实轴长为2，点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则|AB|的最小值为______．答案：解析：思路：根据条件求出双曲线的方程为，根据四点共圆，直径为，由正弦定理得，，转化为求的最小值.解答过程：由，所以.，所以，所以，因此双曲线的方程为，两条渐近线方程分别为：，：.不妨设点在第一象限，如图，，显然四点共圆，直径为.设与的夹角为，因为渐近线的斜率为，所以.在中，由正弦定理得，，所以.设，由，所以，，因为，所以，即的最小值为1，因此的最小值为.四、解答题：木大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.2026年全国两会即十四届全国人大四次会议和全国政协十四届四次会议分别于3月5日和3月4日召开，是“十五五”开局之年的关键会议，承前启后，擘画未来五年发展是其核心定位．会议取得了丰硕的成果．为了解各年龄层对两会的了解情况，随机调查50人（把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年），并把调查结果制成下表：年龄（岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)频数415111154了解2139921（1）请根据上表完成下面：2×2列联表，是否有95%的把握判断了解两会与年龄（中青年、中老年）有关联？了解两会不了解两会总计中青年中老年总计附：．其中n＝a＋b＋c＋d0.0500.0100.0013.8416.63510.828（2）若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解两会的人数为，求的分布列以及．答案：（1）2×2列联表：了解两会不了解两会总计中青年24630中老年12820总计361450没有95%的把握判断了解两会与年龄有关联.（2）的分布列为：012解析：思路：（1）利用给定的数表完善2×2列联表，再求出的观测值，并与临界值比对作答.（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.（1）由给定的数表得2×2列联表：了解两会不了解两会总计中青年24630中老年12820总计361450，所以没有95%的把握判断了解两会与年龄有关联.（2）依题意，的所有可能值为，，所以的分布列为：012数学期望.16.如图，四边形，ADCB和是三个全等的直角梯形，D为公共直角顶点，其上底为，每个梯形的下底长和垂直于底边的腰长相等且为上底长的2倍．（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求平面与平面的夹角的正弦值．答案：（1）平面（2）解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，通过判断与平面法向量的关系判断.（2）利用向量法，先求出两平面夹角的余弦值，再求两平面夹角的正弦值.（1）因为为三个直角梯形公共直角顶点，所以以为原点，三条两两垂直的方向作为轴建立坐标系，如图，设梯形的上底边长为1，根据题意，下底边长、垂直底边的腰长均为2，所以.则则，设平面的法向量为，则，令，则，所以.，因此，又平面，所以平面.（2）因为平面，所以为平面的法向量，设两平面的夹角为，所以，所以.17.已知在等比数列中，＝2，且成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，设数列满足＝1，，求的前2n＋1项的和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据给定条件，列出方程求出公比，进而求出通项公式.（2）利用等差数列前n项和求出，进而求出，再利用并项求和法及裂项相消法求解.（1）设等比数列的公比为，由成等差数列，得，即，而，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得，显然数列是等差数列，则，由，得，所以.18.已知圆，圆()．（1）证明圆与有公共点；（2）求两圆公共点的轨迹C的方程；（3）设O为坐标原点，过点的直线与轨迹C交于A，B两点（A，B不在x轴上），若，延长AO交轨迹C于点E，求四边形ADBE的面积取得最大值时直线AB的方程．答案：（1）圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，两圆圆心距，且

，，由，得，即

，满足两圆有公共点的条件，得证；（2）（3）解析：思路：（1）通过判断两圆圆心距和半径和与差之间的大小关系即可判断两圆位置关系；（2）由椭圆定义可得两圆公共点的轨迹C是以为焦点的椭圆，即可得到轨迹方程；（3）分割四边形ADBE的面积为3个三