四川省广安市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量评价数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.某班8名学生的数学测验成绩分别为92，95，96，98，100，105，108，110，则这组数据的第一四分位数是（）A.95 B.95.5 C.105 D.106.53.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的形状是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定4.已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.5.已知，，为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则6.如图，中，点N为边的中点，点M在边上，且，以为一组基底，则（）A. B. C. D.7.如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，则的长为（）A. B.2 C. D.8.在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A. B. C. D.10.小张统计了某超市2025年前10个月的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（）A.这10个月营业额的极差为39万元B.从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是九月份C.前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差D.这10个月营业额的平均数大于3011.如图，在正三棱台中，，P，D分别是线段，BC上的点，，是上、下底面的中心，M是底面ABC内一点，下列结论正确的是（）A.B.若，平面，则点M的轨迹长等于C.D.当时，四点、O、D、P构成的图形为直角梯形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为28，则应抽取的女生人数为________．13.圆锥底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为________．14.在三棱锥中，已知，，平面平面，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，点F在线段上运动（端点除外），当三棱锥的体积为时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数（i为虚数单位，）（1）若复数z对应的点在第四象限，求m的取值范围；（2）当时，复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．16.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的众数与平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）（3）该校准备对本次竞赛成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则据此频率分布直方图估计受嘉奖的学生分数不低于多少？17.已知锐角的角所对的边分别是，向量，（1）若，证明：为等腰三角形；（2）若，，的周长为，求角．18.如图，已知菱形的边长为，，平面外一点在平面内的射影是与的交点，是等边三角形．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）若点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值．19.如图，已知，，，，，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N．（1）求；（2）若点M在线段上（端点除外），且，求的面积；（3）当点M、B位于直线的异侧时，求的最小值．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：.2.某班8名学生的数学测验成绩分别为92，95，96，98，100，105，108，110，则这组数据的第一四分位数是（）A.95 B.95.5 C.105 D.106.5答案：B解析：思路：根据百分位数的定义和计算公式计算即可.解答过程：由于，所以92，95，96，98，100，105，108，110的第一四分位数是.3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的形状是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定答案：B解析：解答过程：由题设，结合大边对大角知中的最大角为，令，则，故，由，则为钝角，即为钝角三角形.4.已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题设，在方向上的投影向量的坐标为.5.已知，，为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则答案：B解析：思路：ACD可举出反例；B选项，由线面垂直和线面平行的性质和判定得到B正确.解答过程：A选项，若，，则或，所以A选项错误；B选项，若，则在内存在直线，使得，又，，故，则，所以B选项正确．C选项，若，，则与可以成任意角，所以C选项错误；D选项，若，，，则或m与n异面，所以D选项错误.故选：B．6.如图，中，点N为边的中点，点M在边上，且，以为一组基底，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：.7.如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，则的长为（）A. B.2 C. D.答案：A解析：思路：使用二面角的定义与余弦定理求解.解答过程：取中点，连接，，则，，二面角的平面角为，，由，得，，在三角形中，由余弦定理知，，所以.8.在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用向量加法的平行四边形法则可判断点的轨迹，由余弦定理求解边长，即可由等面积法求解内切圆半径，即可由三角形面积公式求解.解答过程：由，x，，根据向量加法的平行四边形法则可知：动点的轨迹是以为邻边的平行四边形及其内部，其面积为的面积的2倍.在中，设内角所对的边分别为，因为，所以，因为，所以，所以，设的内切圆半径为，则，解得，所以，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：BCD解析：思路：根据共轭复数的定义判断选项A；根据复数的乘法运算判断选项B：利用复数的四则运算及模长公式判断选项C和选项D.解答过程：选项A，由，则，所以A错误；选项B，由，则，所以B正确：选项C，由，则，所以C正确；选项D，，所以D正确.10.小张统计了某超市2025年前10个月的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（）A.这10个月营业额的极差为39万元B.从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是九月份C.前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差D.这10个月营业额的平均数大于30答案：ACD解析：思路：A由极差的定义用最大数据减去最小数据判断；B计算相邻月份营业额的变化量分析判断；C分别计算前5个月和后5个月营业额的方差并比较大小；D求出平均数即可判断.解答过程：A：极差为，正确；B：由图知，二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元，六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，错误；C：前5个月的平均数为，方差为，后5个月的平均数为，方差为，因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，正确；D：由10个数据的平均数为，正确.11.如图，在正三棱台中，，P，D分别是线段，BC上的点，，是上、下底面的中心，M是底面ABC内一点，下列结论正确的是（）A.B.若，平面，则点M的轨迹长等于C.D.当时，四点、O、D、P构成的图形为直角梯形答案：ABC解析：思路：对于A项，根据线面垂直的性质定理判断即可；对于B项，过作与平行的平面，平面，则故M的轨迹长度为QD，求QD的长即可判断；对于C项，根据锥体和台体的体积计算公式即可判断；对于D项，当P与重合，时，四点、O、D、P构成的图形不是直角梯形，即可判断.解答过程：A项，显然底面ABC，因为平面ABC，所以，取BC的中点E，连接则，因为为正三角形，所以，由正棱柱性质可知，因为，平面，所以平面，因为平面，所以故A选项正确；B项，，取AB的中点Q，连接DQ，，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故当M在QD上时，满足平面，故M的轨迹长度为QD，其中，由余弦定理得，故B选项正确；C项，，，，，又棱台的体积为：，所以，故C选项正确；D项，四边形为等腰梯形，当P与重合，时，，但此时与OB平行，故与OD不平行，此时四点、O、D、P构成的图形不为直角梯形，故D选项错误．故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为28，则应抽取的女生人数为________．答案：12解析：思路：利用分层抽样即可求解.解答过程：应抽取的女生人数为：.13.圆锥底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为________．答案：12π解析：思路：侧面积即为扇形面积，底面周长为扇形弧长，由此可得扇形半径，后可得答案.解答过程：因底面半径为2，则底面周长即扇形弧长为，又圆心角为，则扇形半径为：.则扇形面积即圆锥侧面积为：.14.在三棱锥中，已知，，平面平面，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，点F在线段上运动（端点除外），当三棱锥的体积为时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为________．答案：2π解析：思路：作出辅助线，得到外接球球心和半径，求出，故为的中点，，当截面与垂直时，截面面积最小，从而求出答案解答过程：取的中点，连接，因为，，所以，，故，所以为三棱锥的外接球球心O，三棱锥的外接球半径为，即为平面与平面的夹角，因为平面平面，所以，其中，故，又三棱锥的体积为，所以故为的中点，，过点F作球O的截面，当截面与垂直时，截面面积最小，此时截面半径为，截面面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数（i为虚数单位，）（1）若复数z对应的点在第四象限，求m的取值范围；（2）当时，复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据复平面的相关定义进行求解；（2）先将代入求出具体的复数值，再将这个复数值代入方程进行求解.（1）由题意得：，即，故（舍弃）或，综上解得，故m的取值范围是.（2）若，则．因为复数z是关于x的方程的一个根，所以．，．.16.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的众数与平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）（3）该校准备对本次竞赛成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则据此频率分布直方图估计受嘉奖的学生分数不低于多少？答案：（1）（2）众数为85分，平均数为76.5分（3）88分解析：思路：（1）利用频率和为1列方程求参数值；（2）由众数的定义及频率直方图求众数、平均数即可；（3）由题意求第83百分位数即可得.（1）由题意得，可得；（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的众数为分，估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为分；（3）∵，且，∴第83百分位数在内，记为m，则，∴估计受嘉奖的学生分数不低于88分.17.已知锐角的角所对的边分别是，向量，（1）若，证明：为等腰三角形；（2）若，，的周长为，求角．答案：（1）证明：∵，，∴，∴，∴，∴，即，，∴，∴为等腰三角形.（2）解析：思路：（1）根据向量共线的坐标运算及三角恒等变换可得；（2）先由向量的数量积可得，再由周长及正弦定理可得，再由正弦定理得，结合三角形为锐角三角形可得.（1）略（2）若，且，，所以，即，因为，则，∵，的周长为∴，由正弦定理，，(为的外接圆半径)则，故，所以，由，即，∵为锐角三角形，∴.验证：由余弦定理，由，代入计算得，再结合，解得或，所以三角形的三边为.所以最大边为，且，因此最大角为锐角，符合锐角三角形.因此.18.如图，已知菱形的边长为，，平面外一点在平面内的射影是与的交点，是等边三角形．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）若点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值．答案：（1）∵在菱形中，，∴，且在平面内的射影是点，∴平面，∵平面，∴，∵，平面，∴平面.（2）（3）解析：思路：（1）直接由线面垂直的判定定理可得；（2）直接根据等体积法计算点面的距离可得；（3）