四川省绵阳市三台中学2025-2026学年高一第二学期7月教学质量检测数学试题 含答案解析

数学考试时间：120分钟总分：150一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.3.如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（）A. B. C. D.4.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，且m，，则B.若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C.若，，则D.若，，则5.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为（）A. B. C. D.6.如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（）A. B. C. D.7.在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（）A. B. C. D.8.如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时天气的温度大约是（）(参考数据，)A. B.C. D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，以下结论正确的是（）A.的虚部是 B.C.是纯虚数 D.在复平面内，复数对应的点位于第四象限10.如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于点），记平面平面，则下列判断正确的有（）A.异面直线与所成角为 B.C.存在点使得平面 D.三棱锥的体积不变11.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.在方向上的投影向量为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上.12.已知向量的夹角为，则__________.13.若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________.14.如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______．四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是平面内两个不共线的向量．（1）若，求证：，，三点共线；（2）若，求实数的值．16.海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为，．（1）救援出发时，船距离雷达站的距离为多少？（2）判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（通过计算说明理由）？(参考数据)17.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点，点是的中点.（1）证明：，，，四点共面；（2）证明：直线平面；（3）若直线与平面的夹角的正切值为，求四棱锥的体积.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A；（2）若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长；（3）若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值．19.如图，在四边形中，，，，，、分别在、上，，现将四边形沿折起，使．（1）证明：（折叠后）；（2）若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）折叠后，当三棱锥的体积最大值时，求出此时点到平面的距离．

数学考试时间：120分钟总分：150一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由向量减法与加法的三角形法则可得.2.已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，可得：，，，.3.如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由向量的线性运算求解即可.解答过程：因点E是的中点，点D是的中点，所以.4.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，且m，，则B.若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C.若，，则D.若，，则答案：D解析：思路：由线面，面面关系判断各选项即可.解答过程：对于A，注意到当m，n平行时，直线l不垂直于平面，故A错误；对于B，当这三点有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧时，平面与平面不平行，故B错误；对于C，若，则直线不平行于平面，故C错误；对于D，因，则在平面内的任意直线均与直线n垂直，又，则在平面内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直定义可知，故D正确.故选：D5.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由圆锥的表面积公式和侧面展开图，列出等式求得半径和母线长，即可求解.解答过程：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，侧面展开图是一个半圆，，即，圆锥的表面积为，，，，圆锥的高.6.如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据图形和角边关系求出结果即可.解答过程：设树的高度为，由已知，得，在中，.化简得，解得.所以树的高度为m.故选：C.7.在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：取的中点，连接、、、，即可证明、，从而得到为平面与平面的夹角，利用锐角三角函数计算可得.解答过程：取的中点，连接、、、，在正三棱柱中，，所以，又平面，平面，所以，，，不妨令，则，所以，所以为平面与平面的夹角，又，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.故选：A8.如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时天气的温度大约是（）(参考数据，)A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用图象求出函数解析式，然后将代入解析式求解即可.解答过程：对于函数，由图象可知：，解得：，设函数的最小正周期为，则，所以，即，解得：，所以又函数的图象经过，所以，即，所以，解得，因为，所以，，所以，当时，.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，以下结论正确的是（）A.的虚部是 B.C.是纯虚数 D.在复平面内，复数对应的点位于第四象限答案：ABC解析：解答过程：复数，则，所以的虚部是，A选项正确；，B选项正确；是纯虚数，C选项正确；在复平面内，复数对应的点，位于第二象限，D选项错误．10.如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于点），记平面平面，则下列判断正确的有（）A.异面直线与所成角为 B.C.存在点使得平面 D.三棱锥的体积不变答案：BD解析：解答过程：对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与所成角为，故A错误；对于B，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，因为，所以，故B正确；对于C，因为，平面，，所以平面，又因为平面，所以，同理可得，又因为，平面，，所以平面，因为过点有且只有一条直线与平面垂直，故C错误；对于D，因为，平面，平面，所以平面，所以直线上任意一点到平面的距离都相等，因为点在线段上，且直线到平面的距离为定值，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.11.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.在方向上的投影向量为答案：ACD解析：解答过程：对A，，将点绕点逆时针旋转得到点，则，故A正确；对B，由题知，，所以是等边三角形，则，故B错误；对C，设，则，所以，解得，则，所以，故C正确；对D，在方向上的投影向量为，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上.12.已知向量的夹角为，则__________.答案：解析：解答过程：由题意可得，可知.13.若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________.答案：解析：思路：由圆台侧面积公式可得母线长，再求出圆台的高，利用圆台的体积求解即可.解答过程：设圆台母线长为，则，所以，所以圆台的高为，所以圆台的体积为.14.如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______．答案：解析：思路：取的中点的中点的中点，连接，由面面平行的性质定理，即得截面多边形，分析可得多边形为正六边形，求出边长后计算面积即可.解答过程：取的中点的中点的中点，连接，则正六边形为对应的截面，又正六边形的边长为，所以截面的面积为：.故答案为：.四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是平面内两个不共线的向量．（1）若，求证：，，三点共线；（2）若，求实数的值．答案：（1）因为，，，所以所以，则有，因为与有公共点，所以，，三点共线.（2）.解析：思路：（1）通过求证，即可证明；（2）通过向量垂直的坐标表示即可求解.（1）略（2）因为，，所以，，又因为，所以，即，因此实数的值为.16.海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为，．（1）救援出发时，船距离雷达站的距离为多少？（2）判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（通过计算说明理由）？(参考数据)答案：（1）60海里（2）能在小时内赶到救援解析：思路：（1）在中，求出，利用正弦定理求解即可；（2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断.（1）在中，因为，,所以,.又,所以由正弦定理可得，即，解得,所以A船距离雷达站C的距离为60海里.（2）在中，根据正弦定理可得,即,解得,在中，由余弦定理可得,解得,因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而,所以能在小时内赶到救援.17.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点，点是的中点.（1）证明：，，，四点共面；（2）证明：直线平面；（3）若直线与平面的夹角的正切值为，求四棱锥的体积.答案：（1）证明：因为，分别是，的中点，所以.因为四边形是矩形，所以，则，所以，，，四点共面.（2）证明：因为是等边三角形，是的中点，所以，由四边形为矩形，得，又平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面，所以，因，平面,所以平面.（3）解析：思路：（1）由条件证明，即得，，，四点共面；（2）先由面面垂直证明平面，得，再证，由线面垂直的判定定理即可得证；（3）取中点，连接，证明，分别过点与作，，证明平面，平面，即得是直线与平面所成的角，借助于求出，进而求得，最后利用四棱锥的体积公式计算即得.（1）略（2）略（3）取中点，连接，则，又因，所以，，则得，故，分别过点与作，，垂足分别为，因平面平面，平面平面，平面，故平面，平面，所以是直线与平面所成的角，是四棱锥的高.因为是等边三角形，，则，，，在中，依题意，解得.在中，，解得，所以，故四棱锥的体积是.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A；（2）若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长；（3）若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理与和角公式化简条件等式，借助于内角范围即可求解角；（2）利用三角形面积公式求出边，再由等面积即可求得；（3）利用余弦定理与关于中线的向量数量积的运算求得，结合图形，分别求出，再将所求式利用数量积的转化即可求得.（1）由及正弦定理，得.又因为，代入整理得.因为，所以，则，即，解得或，由，则；（2）由，解得.又因为，所以.因为角A的平分线交边于点E，所以.由，可得，解得.（3）在中，由余弦定理，得①，由边上的中线，则，两边平方得，则，即②，联立①和②，解得，设边的中点分别为，由点为的外接圆圆心，则，，，，所以.19.如图，在四边形中，，，，，、分别在、上，，现将四边形沿折起，使．（1）证明：（折叠后）；（2）若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）折叠后，当三棱锥的体积最大值时，求出此时点