西藏自治区林芝市2025-2026学年高二第二学期质量监测数学试题 含答案解析

数学本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知随机变量服从两点分布，且，则（）A. B. C. D.2.根据5对数据，，，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且回归直线方程为，则（）A.3.9 B. C.4.2 D.3.已知某地青年男性的身高（单位：）服从正态分布，且，在该地区随机抽取1名青年男性，则该男性身高不低于的概率为（）A.0.05 B.0.15 C.0.25 D.0.354.在的展开式中，的系数是（）A.24 B.10 C.10 D.245.甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用局胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（）A. B.C. D.6.设，则的大小顺序为（）A. B.C. D.7.下列说法错误的是（）A.在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明模型的拟合效果越好B.成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的值越接近于C.独立性检验（卡方检验）只能在一定犯错概率下推断两个分类变量是否有关，属于概率性判断，无法做到精确判定D.一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内8.若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得分．9.若函数的导函数的图象如图所示，则以下正确的是（）A. B.是函数的极大值点C.不是函数的极值点 D.函数在处的切线斜率大于010.已知随机变量的分布列如下，且随机变量满足，若，则（）A. B. C. D.11.若，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若满足，则______．13.已知某随机试验有两种可能的结果：甲和乙．若某次试验结果为甲，则下次试验出现甲的概率为0.7，出现乙的概率为0.3；若结果为乙，则下次试验出现甲的概率为0.4，出现乙的概率为0.6．已知第一次试验结果为甲，求第三次试验结果为甲的概率为______.14.已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知二项式，求：（1）展开式中各项系数之和及各二项式系数之和；（2）展开式中含项的系数及常数项．16.已知函数（），当时，有极大值4．（1）求实数，的值；（2）求函数在区间上的最值．17.某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图．（1）求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）；（2）得分优秀的学生分为A组、B组两个区间段，按这两组人数比分层抽取10人开展赛前培训，再从这10名参训学生里任选3人组成校代表队；设随机变量为选出的3人中来自B组的学生人数，求的分布列与数学期望．18.台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光．白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力．某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表：白光黄光近视8060不近视4060（1）根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关；（2）用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，设随机变量为选出的3人中近视的人数，求的分布列与方差．0.050.010.0013.8416.63510.828附：，19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若存在，使得成立，求的取值范围；（3）若存在两个极值点，证明：．

数学本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知随机变量服从两点分布，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用两点分布概率和为1，列方程求解即可.解答过程：随机变量服从两点分布，.2.根据5对数据，，，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且回归直线方程为，则（）A.3.9 B. C.4.2 D.答案：B解析：思路：根据题意，由线性回归方程过样本中心点，代入计算，即可得到结果.解答过程：由已知，得，．又回归直线经过点，所以，解得．3.已知某地青年男性的身高（单位：）服从正态分布，且，在该地区随机抽取1名青年男性，则该男性身高不低于的概率为（）A.0.05 B.0.15 C.0.25 D.0.35答案：A解析：思路：由正态分布对称性结合题设可得答案．解答过程：由题可得：，则，，则.4.在的展开式中，的系数是（）A.24 B.10 C.10 D.24答案：C解析：解答过程：的系数为.5.甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用局胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先计算乙每局获胜的概率，再将乙获胜分为比赛2局获胜、3局获胜两类互斥事件，分别计算概率后求和即可.解答过程：由题意可知，每局比赛乙获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，乙战胜甲有两类互斥情况：第一类：乙连胜2局，那么第二类：比赛共进行3局，前2局乙胜1局且第3局乙胜，那么，故乙战胜甲的概率为6.设，则的大小顺序为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：通过构造函数，利用导数判断其单调性，再结合的大小关系，即可比较的大小.解答过程：设函数，则，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，而，，，又因为，且在上单调递减，所以，即.7.下列说法错误的是（）A.在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明模型的拟合效果越好B.成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的值越接近于C.独立性检验（卡方检验）只能在一定犯错概率下推断两个分类变量是否有关，属于概率性判断，无法做到精确判定D.一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内答案：B解析：解答过程：决定系数，越靠近1，代表残差平方和越小，模型对数据拟合效果越好，故A正确；样本相关系数，越接近1，代表正线性相关程度越强，越接近，代表负线性相关程度越强，线性相关性看趋近于1，不是的值越接近于，故B错误；独立性检验依靠卡方观测值与临界值对比判断相关性，会给定犯错概率，只能得出“有多大把握认为变量相关”的概率性结论，无法做到精确判定，故C正确；合格的一元线性回归模型，残差会均匀分布在直线上下，呈现以为对称轴的水平带状区域分布，故D正确．8.若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可．解答过程：，，所以当或时，，所以在，上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以当时取得极大值，所以要使函数在区间存在最大值，则可得：，即，解得：．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得分．9.若函数的导函数的图象如图所示，则以下正确的是（）A. B.是函数的极大值点C.不是函数的极值点 D.函数在处的切线斜率大于0答案：CD解析：解答过程：由的图象可得，时，单调递减；时，单调递增；区间在内，单调递增，故，故A错误；左右两侧导数均大于0，函数始终递增，故不是极大值点，故B错误；时导数为0，但左右两侧导数均大于0，故不是极值点，故C正确；时，导数大于0，即切线斜率，故D正确．10.已知随机变量的分布列如下，且随机变量满足，若，则（）A. B. C. D.答案：AB解析：思路：根据离散型随机变量的期望和方差的计算公式及性质依次判断即可.解答过程：由题意得，，解得；所以A正确；对于B，，所以B正确；对于C，由方差公式，所以C错误；对于D，由期望性质，所以D错误.11.若，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：通过分别令、、代入原式求出​、所有系数和、奇次项系数和，再对原式两边求导后令得到，逐一验证各选项.解答过程：对于A：令

，代入原式左边得：，因此

，A错误；对于B：令

，代入原式左边得：，因此

，B正确；对于C：设

​，​，由得：

（1）；

令

，代入左边得：，即：

（2）；（1）（2）得

，即

，C正确；对于D：对原式两边关于求导，左边导数为：

，右边导数为：，令

，代入左边导数得：

，

即

，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若满足，则______．答案：4解析：思路：利用组合数的性质分析求解即可.解答过程：由，由组合数性质可知：或，当时，解得：不满足；当时，解得：，此时，且满足.13.已知某随机试验有两种可能的结果：甲和乙．若某次试验结果为甲，则下次试验出现甲的概率为0.7，出现乙的概率为0.3；若结果为乙，则下次试验出现甲的概率为0.4，出现乙的概率为0.6．已知第一次试验结果为甲，求第三次试验结果为甲的概率为______.答案：0.61解析：思路：利用全概率公式，将第三次试验结果为甲的事件按第二次试验的两种互斥结果拆分，分别计算对应概率后求和.解答过程：设事件表示“第次试验结果为甲”，事件表示“第次试验结果为乙”，其中，由题意得，且条件概率满足，，根据全概率公式，第三次试验结果为甲的概率为，

因为，，所以.14.已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__．答案：解析：思路：根据导数与单调性及极值的关系，分，两种情况讨论计算即可.解答过程：的定义域为，.当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去；当时，在上单调递减，在上单调递增，因为有两个不同的零点，所以，解得.当时，，所以在上存在一个零点，因为，所以在上也存在一个零点.综上，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知二项式，求：（1）展开式中各项系数之和及各二项式系数之和；（2）展开式中含项的系数及常数项．答案：（1）1，64；（2）60，64．解析：思路：（1）根据赋值法求系数和应用定义可求二项式系数的和；（2）由展开式的通项公式可求的系数和常数项．（1）令，得，所以二项展开式中各项系数之和为1，二项展开式中各二项式系数之和为．（2）通项公式，令得，故的系数为，令得，故常数项为．16.已知函数（），当时，有极大值4．（1）求实数，的值；（2）求函数在区间上的最值．答案：（1）（2）最小值为0，最大值为4．解析：思路：（1）利用函数在极值点处的两个核心条件--函数值为4，导数值为0，列方程组求解参数，再验证该点确实为极大值点.（2）由（1）利用导数判断函数在上的单调性，求出极值和端点值，比较得解.（1），，当时，有极大值4，，，，令，可得或，当时，，则单调递减区间为，当或时，，则单调递增区间为，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以函数在取得极大值，满足题意，故．（2）由（1）可得，，令，可得或，当时，，则单调递减区间为，当或时，，则单调递增区间为，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，且，，，，综上可知，在上的最小值为0，最大值为4．17.某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图．（1）求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）；（2）得分优秀的学生分为A组、B组两个区间段，按这两组人数比分层抽取10人开展赛前培训，再从这10名参训学生里任选3人组成校代表队；设随机变量为选出的3人中来自B组的学生人数，求的分布列与数学期望．答案：（1），中位数为（2）数学期望.X0123P解析：思路：（1）根据频率分布直方图小矩形面积和为1即可求，再根据中位数的求法求解；（2）由题可知随机变量服从超几何分布，可求解的分布列与数学期望．解答过程：（1）由题知：，解得设中位数为，则，解得，要求精确到，故中位数为；（2）由题，参训10人中：A组6人，B组4人．的所有可能取值为0，1，2，3；，，，，所以X的分布列为X0123P数学期望．18.台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光．白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力．某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表：白光黄光近视8060不近视4060（1）根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关；（2）用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，设随机变量为选出的3人中近视的人数，求的分布列与方差．0.050.010.0013.8416.63510.828附：，答案：（1）学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色有关．（2）方差Y0123P解析：思路：（1）计算出卡方，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断即可．（2）利用二项分布的概率公式计算即可求解．解答过程：（1）零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关．（2）使用发出