新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县多校联考2025-2026学年高一第二学期期末质量检测数学试题 含答案解析

数学考试时间：120分钟，考试满分：150分一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）1.下列说法正确的是（）A.在正方形中,B.已知向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上C.零向量可以与任一向量共线D.零向量可以与任一向量垂直2.若，则（）A.3 B.4 C.5 D.63.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.2 B. C.4 D.4.设为平面，，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则5.10，12，16，18，20，22，26，28的第分位数是（）A.22 B.24 C.25 D.266.在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（）A. B. C. D.7.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形8.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（）A.2 B.C. D.1二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分）9.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（

）A.若z为纯虚数，则 B.若，则C.若点M在第一象限，则 D.若为z的共轭复数且，则11.如图，在棱长都相等的三棱柱中，底面，，分别是棱，的中点，则下列叙述错误的是（）A.与是异面直线B.是等边三角形C.平面D.三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）12.在中，，，点在边上.若，，则的值为___________.13.边长为4的正三角形，为边的中点，若在边上运动（点可与重合），则的最小值为___________.14.一支探险队有男生24人，女生18人，按照性别采用分层随机抽样的方法从该探险队中抽取一个容量为7的样本，则女生被抽取的人数为_______．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，.（1）求；（2）如图，点M为边上一点，，，求的面积．16.中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数；（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．17.已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是棱上的动点.（1）求证：平面平面；（2）若平面，求的值.18.如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，求的余弦值．19.复数且，对应的点在第一象限内，若复数对应的点是正三角形的三个顶点，求实数，的值．

数学考试时间：120分钟，考试满分：150分一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）1.下列说法正确的是（）A.在正方形中,B.已知向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上C.零向量可以与任一向量共线D.零向量可以与任一向量垂直答案：C解析：思路：根据向量相等和向量共线的条件逐个分析即可.解答过程：对于A:与模长相等,方向不同,故不成立.对于B:向量共线指的是其方向相同或相反,不一定在同一条直线上,例如平行四边形中,但四点不共线;对于C、D:零向量与任意向量共线,但不能说零向量与任意向量垂直.向量垂直指的是两个非零向量成°.综上,应选C.故答案为:C.2.若，则（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：思路：根据复数除法、乘法、共轭复数等知识求得正确答案.解答过程：，所以，所以.故选：C3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.2 B. C.4 D.答案：D解析：思路：在长方体中还原立体图为四棱锥．解答过程：在长方体中还原立体图为四棱锥如下图所示，由此解得体积为，故选D方法提示：：由三视图还原几何体，当三角形比较多的时候，一般以长方体为模型，还原三视图．长方体的长、宽、高中的某个量可以对应几何体的高，求解很方便．4.设为平面，，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：B解析：思路：根据空间中线线、线面的位置关系一一判断即可.解答过程：对于A，当，时，与可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误，对于B，因为，，根据线面垂直的性质可得，故B正确；对于C，当，时，与可能平行，可能在内，故C错误，对于D，当，时，与可能平行，可能，可能相交不垂直，也可能在内，故D错误，故选：B5.10，12，16，18，20，22，26，28的第分位数是（）A.22 B.24 C.25 D.26答案：D解析：思路：先将数据按由小到大重新排序，根据不是整数，则取第7位数．解答过程：先将数据按由小到大重新排序10，12，16，18，20，22，26，28，共8个数据，，不是整数，所以第分位数是第7个数26.故选：D6.在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，由平面向量基本定理，代入计算，即可得到结果.解答过程：如图，，故选：C.7.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案：C解析：思路：由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果.解答过程：因为，由正弦定理可得，则，即，所以，即，又因为，则，即,所以是等腰三角形.8.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（）A.2 B.C. D.1答案：D解析：思路：首先根据线面平行的性质定理，作辅助线，找到包含的平面与平面的交线，即可计算的值.解答过程：连结，交于点，连结和，，因为平面，又平面，且平面平面，所以，又点是的中点，所以是的中点，所以故选：D二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分）9.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：解答过程：由，得，所以A正确；由，得，所以B错误；，所以C正确；，所以D正确.10.已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（

）A.若z为纯虚数，则 B.若，则C.若点M在第一象限，则 D.若为z的共轭复数且，则答案：AB解析：思路：根据纯虚数、复数的模、共轭复数的定义以及复平面内点所在象限的特征，分别对各选项进行分析判断.解答过程：对于A选项，已知为纯虚数，则，则，A选项正确.对于B选项，已知，即，这说明是一个非正实数，即，由可得，此时，满足条件，所以若，则，B选项正确.对于C选项，若点在第一象限，则，得，所以若点在第一象限，则，而不是，C选项错误.对于D选项，已知，则，即，所以，解得，而不是，D选项错误.故选：AB.11.如图，在棱长都相等的三棱柱中，底面，，分别是棱，的中点，则下列叙述错误的是（）A.与是异面直线B.是等边三角形C.平面D.答案：ABC解析：思路：根据异面直线定义可知A错误，由勾股定理易知可得B错误；利用线面平行判定定理可知C错误；由线面垂直判定定理以及性质定理可知D正确.解答过程：对于A，由异面直线定义可知，，平面，即与不是异面直线，所以A错误；对于B，不妨设三棱柱的棱长为，易知，又底面，所以可知，而，显然，所以不是等边三角形，即B错误；对于C，取的中点为，连接，如图所示：又是棱的中点，所以，因为与平面相交，所以与平面不平行，即C错误；对于D，取的中点，连接，又各棱长相等，所以，且底面，即平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，可得，即D正确.故选：ABC三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）12.在中，，，点在边上.若，，则的值为___________.答案：解析：思路：设，则，由题设可得关于和的方程组，从而可求的值.解答过程：设，故，即，故，，所以，两式相加可得，此式代入（1）式可得或（舍去），代入（1）式可得故答案为：.13.边长为4的正三角形，为边的中点，若在边上运动（点可与重合），则的最小值为___________.答案：##5.75解析：思路：根据向量的线性运算以及数量积的运算即可求解.解答过程：由于,所以,设，则，当时，取最小值，且最小值为，故答案为：14.一支探险队有男生24人，女生18人，按照性别采用分层随机抽样的方法从该探险队中抽取一个容量为7的样本，则女生被抽取的人数为_______．答案：3解析：思路：根据分层抽样的比例关系，列式求解即可.解答过程：女生被抽取的人数为．故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，.（1）求；（2）如图，点M为边上一点，，，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理将条件边化角，结合平方关系可得解；（2）根据（1）可求得，进而可求得，根据余弦定理，可求得，进而可求得，代入面积公式，即可求得答案.（1）由及正弦定理，得，因为，所以，所以，即，所以，因为，所以，所以.（2）设，易知，则，在中，由余弦定理，得，即，解得(负值已舍去)，所以，在中，，，即，又，则，所以.所以.16.中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数；（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．答案：（1）（2）300人（3）解析：思路：（1）由所有频率之和为1求解；（2）由年龄在内的频率计算求解；（3）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解.（1）由题可知组距为，则：解得：.（2）这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为：所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人.（3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为：.17.已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是棱上的动点.（1）求证：平面平面；（2）若平面，求的值.答案：（1）因为，所以，又，所以，因为平面，平面，所以，又，在平面内，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）.解析：思路：（1）证明，即可得平面，由面面垂直的判定定理即可求证；（2）连接，相交于点，由线面平行的性质定理可得，再由平行线分线段成比例即可求解.解答过程：（1）略（2）如图，连接，相交于点，因为平面，面，面面，所以，所以.18.如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，求的余弦值．答案：解析：思路：以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果．解答过程：