新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市地区2025-2026学年高二第二学期质量监测（问卷）数学试题 含答案解析

数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.设，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4.已知“，”是真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5.若，则（）A. B. C. D.26.已知数列是公比为2的等比数列，，则（）A. B. C. D.7.已知是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.8.一个棱长为2的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置一个圆锥，使得直线垂直圆锥的底面，当该圆锥底面面积最大时，圆锥体积为（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.某公司统计了连续5个月的利润（单位：万元），绘制如下表，若与线性相关，且经验回归方程为，则（）月份12345利润5891215A.样本数据的平均数为10 B.C.预测10月份的利润约为26.6万元 D.5月份利润的残差为0.4万元10.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则（）A.函数的最小正周期为B.是函数图象的一条对称轴C.函数在区间上单调递减D.函数在区间上有最大值和最小值时，实数的取值范围是11.已知函数，则（）A.函数在区间上单调递减B.函数有两个零点C.当时，方程有两个不相等的实数根D.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知向量，，若与共线，则________．13.已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则坐标原点到直线的距离为________．14.记为等差数列的前项和，若，，则在这1000项中，能被10整除的项的个数为________．四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，平面，．（1）求证：平面平面；（2）若，是的中点，求平面与平面夹角的大小．16.已知，，分别为三个内角，，的对边，．（1）求；（2）若，的面积为，求．17.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的．（1）求接收的信号为0的概率；（2）发送长度为的0-1序列（例如时，序列可以是1011，0100，…），各位传输相互独立．设个数字中被正确接收的个数为，接收的正确率．若的方差不超过千分之一，求正整数的最小值．18.动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）过点作直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，直线与直线相交于点．（ⅰ）若为等腰直角三角形，求的方程；（ⅱ）求四边形面积的最小值．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于，求的取值范围；（3）当时，证明：有两个零点．

数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：直接由补集及交集的运算可得.解答过程：全集，，所以.又，所以.因此.2.设，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：由题意得，对应复平面的点为，在第一象限.3.双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：可知，所以，则离心率为.4.已知“，”是真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为“，”是真命题，所以.所以实数的取值范围是.5.若，则（）A. B. C. D.2答案：D解析：解答过程：由可得，则.6.已知数列是公比为2的等比数列，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为数列是公比为2的等比数列，且，所以，所以.所以.7.已知是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意可知，，可得，即函数关于中心对称，所以，.8.一个棱长为2的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置一个圆锥，使得直线垂直圆锥的底面，当该圆锥底面面积最大时，圆锥体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：通过确定底面圆面积最大时的情况并求出该情况下各线段的长度，最后求出体积.解答过程：由于垂直圆锥的底面，由正方体的性质可知，当圆锥底面为过中点且垂直于的平面与正方体的截面时，底面积最大,如图，截面为正六边形，其顶点均为相应的棱的中点，边长为.正六边形的内切圆半径即为圆锥底面半径，根据正六边形性质，内切圆半径，因此圆锥的底面面积.又到底面距离，所以该圆锥的体积为.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.某公司统计了连续5个月的利润（单位：万元），绘制如下表，若与线性相关，且经验回归方程为，则（）月份12345利润5891215A.样本数据的平均数为10 B.C.预测10月份的利润约为26.6万元 D.5月份利润的残差为0.4万元答案：BCD解析：解答过程：对于A，，故A错误；对于B，因为，，将代入可得，故B正确；对于C，由B知，当时，，故可预测10月份的利润约为26.6万元，故C正确；对于D，当时，，所以5月份利润的残差为万元，故D正确.10.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则（）A.函数的最小正周期为B.是函数图象的一条对称轴C.函数在区间上单调递减D.函数在区间上有最大值和最小值时，实数的取值范围是答案：AC解析：解答过程：由题意可得.所以函数的最小正周期为，选项A正确；当时，，所以不是函数图象的一条对称轴，所以B错误；当，，所以函数在区间上单调递减，选项C正确；当函数在区间上有最大值和最小值时，，解得，所以D错误.11.已知函数，则（）A.函数在区间上单调递减B.函数有两个零点C.当时，方程有两个不相等的实数根D.答案：ACD解析：思路：对于B：令，解方程即可判断；对于AC：利用导数分析的单调性和最值，结合图象分析判断；对于D：令，利用导数可证.解答过程：因为的定义域为，对于选项B：令，解得，所以函数有且仅有1个零点，故B错误；对于选项AC：因为，令，解得；令，解得；可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A正确；则，且当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于，可得函数的图象如图所示，由图象可知，当且仅当时，方程有两个不相等的实数根，故C正确；对于选项D：令，则，当时，则，，可得，令，，则，可知函数在区间上单调递增，且，当时，，即；当时，，即；综上所述：当时，；当时，；可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，所以，故D正确.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知向量，，若与共线，则________．答案：解析：思路：直接根据向量共线的坐标运算可得.解答过程：因为向量，，且与共线，所以，解得.13.已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则坐标原点到直线的距离为________．答案：解析：解答过程：由题意，圆的圆心为，故抛物线的焦点，所以抛物线方程为，由可得，解得或，因为在第一象限，所以，所以，所以直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离为：.14.记为等差数列的前项和，若，，则在这1000项中，能被10整除的项的个数为________．答案：200解析：思路：根据给定条件，利用等差数列前项和公式求出，再按不是5的正整数倍、是5的正整数倍分类，结合整除思想求解.解答过程：依题意，等差数列的公差，，由是10的正整数倍，得为偶数，而是奇数，当不是5的倍数时，必为10的倍数，又，则有个；当是5的倍数时，令，则，因此是5的正整数倍，令，则，由，得，解得，，此时符合要求的有100个，所以在这1000项中，能被10整除的项的个数为200.四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，平面，．（1）求证：平面平面；（2）若，是的中点，求平面与平面夹角的大小．答案：（1）∵平面，平面，∴.又∵，，平面，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）解析：思路：（1）由线面垂直的性质推出，结合已知，可证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可完成证明.（2）以为原点建立空间直角坐标系，设，得到各点坐标，分别求解平面和平面的法向量，通过法向量的夹角即可求得两个平面的夹角大小.（1）略（2）以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴正方向，过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，.∵是的中点，∴，∴，，.设平面的法向量为，则，即，将代入得，令，得，∴.设平面的法向量为，则，即，将代入得，令，得，∴.设平面与平面的夹角为，，则，∴，即平面与平面的夹角为.16.已知，，分别为三个内角，，的对边，．（1）求；（2）若，的面积为，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）对题目等式进行平方变形，再根据同角三角函数关系，求出，进而判断结果；（2）根据正弦定理和三角形面积的正弦公式，求出，再根据余弦定理求出结果即可.（1）由得，化简得，即，解得或，因为，所以，即.（2）因为的面积为，得，因为，解得，由正弦定理可知，由，解得，所以，得.17.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的．（1）求接收的信号为0的概率；（2）发送长度为的0-1序列（例如时，序列可以是1011，0100，…），各位传输相互独立．设个数字中被正确接收的个数为，接收的正确率．若的方差不超过千分之一，求正整数的最小值．答案：（1）（或）（2）解析：思路：（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据二项分布求解的方差，即可根据方差的性质求解.（1）设A表示“发送的信号为0”，B表示“接收的信号为0”，则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”.由题意得，，，，，.由全概率公式有.（2）由于各位传输相互独立，且每个数字被准确接收的概率为，因此，故则，因此，即，故，解得，因此正整数的最小值为70.18.动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）过点作直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，直线与直线相交于点．（ⅰ）若为等腰直角三角形，求的方程；（ⅱ）求四边形面积的最小值．答案：（1）（2）(i)或(ii)解析：思路：（1）通过题目条件列出相应距离等式求解.（2）（i）通过联立直线与椭圆方程后，利用韦达定理求解坐标间的关系，表示出相应线段斜率求解垂直关系后，通过线段长度相等求解；（ii）通过将四边形面积转化为两个三角形面积之和以及点到直线距离公式求解面积.（1）由题意得，，，得到.（2）(i)设直线为，，，联立椭圆方程可知，，由韦达定理可知，，，则..因为为中点，所以，即，直线为，时，，即，所以直线斜率为，又直线斜率，，所以恒为.所以当为等腰直角三角形时，满足.，，若，解得，即.当时，，解得，所以，解得，直线为.当时，，解得，所以，解得，直线为.(ii)可将四边形面积分为和.点到的距离，点到的距离，.所以.所以最小值为，此时.19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于，求的取值范围；（3）当时，证明：有两个零点．答案：（1）；（2）；（3）由题意，，则，所以，令，则，因为，所以恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增，当时，，当时，，所以存在唯一使，所以当时，，所以单调递减，当时，，所以单调递增，故是的极小值点，由得，即，所以，因为，所以，移项得，又，所以，两边同除以，所以，两边取自然对数得，即，所以，又，，所以，当时，，所以，当时，，所以，由零点存在定理，可知在和上各有一个零点，综上所述，函数共有两个零点.解析：思路：（1）根据导数的几何意义，先求得切线斜率，再根据点斜式方程，即可求得切线方程；（2）先对函数求导，根据的取值进