浙江省温州市2025-2026学年高一第二学期期末质量评价题库（B类）数学试题 含答案解析

数学选择题部分（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，则（）A. B. C. D.2.设，则（）A. B. C. D.3.如果直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，那么与的位置关系是（）A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面4.现有一组数据：1，3，4，4，4，6，6，若在这组数据中删去一个4，则发生变化的统计量是（）A.平均数 B.中位数 C.标准差 D.极差5.已知事件相互独立，且，，则（）A.0.12 B.0.58 C.0.7 D.0.826.若，为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（）A.，的夹角为 B.，的夹角为C. D.7.满足，，的三角形恰有两解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知三棱锥的六条棱长分别为，，，，，，则三棱锥的外接球半径为（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列说法正确的是（）A. B.在复平面上对应的点在第二象限C. D.是方程的根10.从某班级中随机抽取2名同学，调查他们的出生月份．设事件“2人恰好同一月份出生”，事件“2人出生月份互不相同”，事件“至少1人在上半年出生”．则下列说法正确的是（）A. B.C.事件与是对立事件 D.事件与相互独立11.如图，正方体的棱长为，点为的中点，动点满足，，且，，则下列说法正确的是（）A.若，则直线与平面可能平行B.若，则平面截该正方体的截面可能是三角形C.若，，则平面截该正方体的截面是五边形D.若，则点到线段距离的最小值为非选择题部分（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12.在正四棱台中，，高为4，则该棱台的体积为_________．13.已知正方形，在中任取两个向量，能构成一个基底的概率是_________．14.已知等边的边长为2，，，则的最小值为_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15.在平行四边形中，，，，，分别是，中点，设，．（1）用向量，表示，；（2）求向量与的夹角的余弦值．16.在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，．（1）若为的中点，求证：平面；（2）求点到平面的距离．17.2026年3月温州龙湾半程马拉松顺利举办，为了解大众跑者完赛水平，从本次龙湾半马完赛选手中随机抽取100名选手，统计其完赛时间（单位：分钟），绘制频率分布直方图．（1）求的值，并利用频率分布直方图估计这100名选手完赛时间的第一四分位数（计算结果保留一位小数）；（2）赛事规定：完赛时间在110分钟内的选手可获得纪念奖章．用频率估计概率，求任意2名完赛选手中至少有1人获得纪念奖章的概率．18.在中，．（1）求；（2）设的角平分线交于点，且．（ⅰ）求面积的最小值；（ⅱ）求的最小值．19.已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．

数学选择题部分（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意得，2.设，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：3.如果直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，那么与的位置关系是（）A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面答案：D解析：思路：结合图形，分别讨论与是从同一点出发的对角线和与不是从同一点出发的对角线时即可得结论.解答过程：如图：长方体中，直线，分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，当与是从同一点出发的对角线时，如图和，此时与相交，当与不是从同一点出发的对角线时，如图和，此时与异面，所以与相交或异面.4.现有一组数据：1，3，4，4，4，6，6，若在这组数据中删去一个4，则发生变化的统计量是（）A.平均数 B.中位数 C.标准差 D.极差答案：C解析：思路：根据题意写出新的数据，分别求出原数据和新数据的平均数、中位数、标准差、极差即可做出判断.解答过程：解：由题可知，原数据为1，3，4，4，4，6，6，共7个数据，删去一个4后，新数据为1，3，4，4，6，6，共6个数据，则原数据平均数为，新数据的平均数为，因此平均数不变；原数据中位数为4，新数据中位数为，因此中位数不变；原数据标准差为，新数据的标准差为，因此标准差发生变化；原数据的极差为，新数据的极差也为，因此极差不变.5.已知事件相互独立，且，，则（）A.0.12 B.0.58 C.0.7 D.0.82答案：B解析：思路：首先根据独立事件的定义得出，再根据概率的性质求解.解答过程：事件相互独立，可得，所以.6.若，为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（）A.，的夹角为 B.，的夹角为C. D.答案：C解析：思路：A，通过投影的定义计算可得.B，利用数量积计算.C，通过整体平方后的数量积计算.D，通过整体平方后的数量积计算.解答过程：选项A，因为在上的投影向量为，所以a→·cosa,b解得，所以夹角为，错误.选项C，，正确.选项B，cosa→,选项D，，错误.7.满足，，的三角形恰有两解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：若三角形有两解，则，即，所以的取值范围是.8.已知三棱锥的六条棱长分别为，，，，，，则三棱锥的外接球半径为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：通过棱长关系证明侧棱两两垂直，将三棱锥补成长方体，利用长方体外接球的性质求解半径；解答过程：证明侧棱两两垂直：在中，，，，，由勾股定理逆定理得；在中，，，，，得；在中，，，，，得.因此两两垂直.求外接球半径：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球，与以为长宽高的长方体的外接球完全相同，外接球直径等于长方体体对角线长度。设外接球半径为，则，解得故选：B.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列说法正确的是（）A. B.在复平面上对应的点在第二象限C. D.是方程的根答案：ACD解析：解答过程：对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以在复平面上对应的点在第四象限，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，将代入方程左边得：，满足方程，故是该方程的根，故D正确.10.从某班级中随机抽取2名同学，调查他们的出生月份．设事件“2人恰好同一月份出生”，事件“2人出生月份互不相同”，事件“至少1人在上半年出生”．则下列说法正确的是（）A. B.C.事件与是对立事件 D.事件与相互独立答案：ABC解析：思路：对于AB，结合组合数的性质，通过古典概型计算.对于C，利用对立事件的定义判断.对于D，利用独立事件的定义判断.解答过程：选项A，，正确.选项B，，正确.选项C，根据题目可知，两人月份要么相同，要么不同，且，因此和对立，正确.选项D，，，，因此不相互独立，错误.11.如图，正方体的棱长为，点为的中点，动点满足，，且，，则下列说法正确的是（）A.若，则直线与平面可能平行B.若，则平面截该正方体的截面可能是三角形C.若，，则平面截该正方体的截面是五边形D.若，则点到线段距离的最小值为答案：ABD解析：思路：利用向量法和平面延展来逐个选项分析.解答过程：如图，建立空间直角坐标系，则，因为，，所以，对于A，若，则，，故，则，又平面，平面，所以平面，若平面，且平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，因为点为的中点，所以时，即可使得平面，A正确；对于B，若时，为与交点，为与交点，根据与可得，此时截面即为三角形，B正确；对于C，若，，则，点即为点，在上，平面延伸与无交点，则截面图形最多四个顶点，C错误；对于D，若，则，，所以，则，令点到线段距离为，的夹角为，则，，所以三角形的面积，解得，且，令，即，解得，符合，D正确.非选择题部分（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12.在正四棱台中，，高为4，则该棱台的体积为_________．答案：##解析：思路：先求出正四棱台的上下底面积，再代入棱台体积公式计算即可得到结果.解答过程：由题干条件，可得下底面正方形边长，上底面正方形边长，因此下底面积，上底面积.已知棱台的高，代入棱台体积公式.故答案为：.13.已知正方形，在中任取两个向量，能构成一个基底的概率是_________．答案：解析：思路：先计算从6个向量中任取2个的总基本事件数，再找出共线的向量对（即不能构成基底的事件数），结合古典概型公式计算概率.解答过程：从6个向量中任取2个，基本事件有，，共计15个，在给定向量集合中，共线的向量仅有，共2对，即不能构成基底的基本事件数为2，因此能构成基底的基本事件数为，由古典概型概率公式得所求概率为.14.已知等边的边长为2，，，则的最小值为_________．答案：##解析：思路：建立平面直角坐标系，根据已知条件，求出，两点的坐标，进而求出和的坐标，再利用数量积的坐标表示公式，将数量积表示为关于的二次函数，最后求出数量积的最小值.解答过程：解：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为等边的边长为2，所以，，，则，，又，，则，，，所以，，因此，又，所以当时，取最小值.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15.在平行四边形中，，，，，分别是，中点，设，．（1）用向量，表示，；（2）求向量与的夹角的余弦值．答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据平面向量基本定理求解.（2）根据平面向量数量积的性质求向量夹角的余弦.（1）如图：，.（2）因为，所以，，所以.所以.16.在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，．（1）若为的中点，求证：平面；（2）求点到平面的距离．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用向量法证明线面平行即可；（2）利用向量法直接求解点到平面的距离.（1）由题知，因为平面，平面，且，所以两两互相垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，，又，令平面的一个法向量，则，解得，取，则，所以，则，所以平面.（2）由（1）知，平面的一个法向量，又，则点到平面的距离为.17.2026年3月温州龙湾半程马拉松顺利举办，为了解大众跑者完赛水平，从本次龙湾半马完赛选手中随机抽取100名选手，统计其完赛时间（单位：分钟），绘制频率分布直方图．（1）求的值，并利用频率分布直方图估计这100名选手完赛时间的第一四分位数（计算结果保留一位小数）；（2）赛事规定：完赛时间在110分钟内的选手可获得纪念奖章．用频率估计概率，求任意2名完赛选手中至少有1人获得纪念奖章的概率．答案：（1），第一四分位数约为（2）解析：思路：（1）根据频率和为1列式可求的值，根据第一四分位数的概念估计第一四分位数的值.（2）利用对立事件的概率公式求值.（1）因为，解得.因为，，所以估计这100名选手完赛时间的第一四分位数在区间内，估计为：.（2）根据频率分布直方图，从完赛选手中任选1人，估计能获得纪念奖章的概率为，因为任意2名完赛选手，2人都未能获得纪念奖章的概率为，所以任意2名完赛选手中至少有1人获得纪念奖章的概率为.18.在中，．（1）求；（2）设的角平分线交于点，且．（ⅰ）求面积的最小值；（ⅱ）求的最小值．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）由正弦定理得，根据余弦定理求得，求出；（2）（ⅰ）根据的面积相等，得；再根据基本不等式，求得，最后根据面积公式求出面积的最小值；（ⅱ）由余弦定理得，结合，得，从而求得的最小值.（1），由正弦定理得.由余弦定理得；，.（2）由（1）得.令，.是的角平分线，.（ⅰ），，.，得.，，（当且仅当时等号成立）；，得.，即面积的最小值为.（ⅱ）在中，由余弦定理得.由（ⅰ）得，；；，当时，取得最小值，即；，即的最小值为.19.已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．答案：（1）等边的边长为3，，.，.由余弦定理得，解得；，，；为直角三角形，即..平面平面，平面平面，平面平面；平面，.（2）（3）解析：思路：（1）由余弦定理求出，根据三角形三边满足勾股定理，证得，由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直证得线线垂直；（2）由面面垂直得到线面垂直，从而确定线面的夹角，根据直角三角形的边的关系，求得线面夹角的正弦