实际问题与反比例函数（第1课时）课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

实际问题与反比例函数（第1课时）人教版九年级上册数学1．用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是什么？（2）列：把一组x

与y

的对应值同时代入

(k≠0)中，得到关于k

的方程．（1）设：设反比例函数的解析式为

(k≠0)．（3）解：解方程，求出k

的值．（4）写：将求出的k

的值代回所设解析式中，即得到所求反比例函数的解析式．2．一般地，反比例函数

的图象是双曲线，请说一说它的增减性．（1）当k＞0

时，在每一个象限内，y

随x

的增大而减小；（2）当k＜0

时，在每一个象限内，y

随x

的增大而增大．在实际问题中，自变量往往不能取全体非零实数，想一想，此时函数图象还是完整的双曲线吗？不是，只是双曲线在第一象限内的一支．拉面又叫甩面、扯面、抻面，是中国城乡独具风味的一种传统面食．如果要把体积为

15

cm3

的面团做成拉面，你能写出面条的总长度y

（单位：cm）关于面条横截面积S

（单位：cm2）的函数关系式吗？你还能举出日常生活、生产中具有反比例函数关系的实例吗？例1港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载

700t

货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了

9h．（1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸货速度v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间

t（单位：h）之间有怎样的函数关系？（2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过

6h

卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？分层提问：（1）题目中不变的量是什么？（2）速度、时间、总货物三者存在怎样等量关系？（3）“卸载时间不超过6h”意味着

t≤6，结合函数增减性分析，

v的取值有什么要求？例1港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载

700t

货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了

9h．（1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸货速度v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间

t（单位：h）之间有怎样的函数关系？分析：根据“平均装载速度×装载总时间＝货物总量”，可以先求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸载速度＝货物总量÷卸载总时间”，得到v

关于t

的函数解析式．所以

v

关于t

的函数解析式为

(t＞0)．解：（1）轮船上的货物总量为

700×9＝6300（t），从结果可以看出，如果全部货物恰好用

6h卸载完，那么平均每小时卸载

1050

t．对于函数

，当t＞0

时，t

越小，v

越大．因此，若货物不超过

6h卸载完，则平均每小时至少要卸载

1050t．（2）把t

＝6

代入

，得

＝1050（t/h）．解决这道题最核心的等量关系是什么？分析“至少”这类取值范围问题，我们利用了反比例函数的哪一条性质？古希腊科学家阿基米德（公元前287—前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．例2

某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1

200

N

和0.5

m．（1）动力F

（单位：N）与动力臂l

（单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为1.5

m

时，撬动石头至少需要多大的力？（2）若想使动力F

不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l

至少要加长多少？分层提问：（1）杠杆平衡公式是什么？（2）哪些量固定不变，哪些是变量？（3）题（2）中求动力臂至少加长多少，要注意区分“动力臂总长度”与“增加的长度”，解题关键点是什么？所以

F

关于

l

的函数解析式为

．解：（1）根据“杠杆原理”，得Fl

＝1

200×0.5，当l＝1.5

m

时，

（N）．对于函数

，当l＝1.5

m

时，F＝400

N，此时杠杆平衡．因此，撬动石头至少需要400

N

的力．将F＝400×

＝200

代入

，得200＝

，因此，若想用力不超过400

N

的一半，动力臂的长度就应该不小于

3m，则动力臂至少要加长

3－1.5＝1.5（m）．所以

（m）．（2）对于函数

，当

l＞0

时，F

随l

的增大而减小．因此，只要求出

F＝200

N

时对应的l

的值，就能确定动力臂l

至少应加长的量．用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？思考∴k＝Fl，∴

(k＞0)．在我们使用撬棍时，当阻力、阻力臂一定时，阻力×阻力臂是一个定值．不妨设阻力×阻力臂＝k

(k＞0)．∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，∵k＞0，l＞0，∴F随

l的增大而减小，∴动力臂越长，所需动力越小，越省力．对比例1、例2，两道题目建模存在什么共同特点？归纳用反比例函数解决实际问题的一般步骤：（1）审：审清题意，找出问题中的常量、变量（有时以图象的形式给出），并理清常量与变量之间的关系．（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示．（3）列：由题目中的已知条件列出方程（组），求出待定系数．（4）写：写出函数解析式，并注意自变量的取值范围．（5）解：运用函数的解析式和相关性质解决实际问题．实际问题中建立反比例函数解析式的常用思路：（1）已知函数属于反比例函数：使用待定系数法求解；（2）实际情境中未知函数类型：先寻找等量关系列出等式，整理变形得到函数解析式．归纳常见定值情境中的反比例数量关系：涉及的量反比例函数的解析式路程s（定值）、时间t、速度v

阻力×阻力臂乘积为定值k；动力F、动力臂l矩形的面积S（定值）、矩形的长a、宽b

或归纳（k为定值）或常见定值情境中的反比例数量关系：涉及的量反比例函数的解析式三角形的面积S（定值）、三角形的底边a、该底边上的高h

圆锥的体积V（定值）、圆锥的底面积S、高h

或或归纳跟踪训练

如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为120cm3（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗．（1）漏斗口的面积S（单位：cm2）与漏斗的深h（单位：cm）有怎样的函数关系？（2）如果漏斗口的面积不超过50

cm2，那么漏斗的深

h至少为多少？分层提问：（1）圆锥体积公式是什么？如何推导出

S

与

h

的关系式？（2）“面积不超过

50cm2”对应怎样的不等关系？结合函数增减性如何分析？整理，得

(h＞0)．解：（1）由圆锥体积公式

，V＝120，得

，（2）因为

h＞0，，所以

S

随

h

的增大而减小．漏斗口的面积不超过