反比例函数的概念课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

反比例函数的概念人教版九年级上册数学

我们已经学习过的函数有哪些？（1）一次函数：一般地，形如

y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数．当

b＝0

时，y＝kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．

我们已经学习过的函数有哪些？一般地，形如

y＝ax²＋bx＋c(a，b，c

是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数．其中，x

是自变量，a，b，c

分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．（2）二次函数：在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？

（1）京沪高铁全程为

1

318

km，某次列车的平均速度

v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间

t（单位：h）的变化而变化；（2）某住宅小区要种植一块面积为

1

000

m2

的矩形草坪，草坪相邻两边的一边

y（单位：m）随另一边长

x（单位：m）的变化而变化；（3）李明计划在一段时间内用完

5GB手机流量，平均每天使用的流量

Q（单位：GB）随使用总时间

t（单位：天）的变化而变化．思考思考：（1）每组问题中存在几个变量？当一个变量取确定值时，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应？（2）根据题目等量关系，尝试写出变量之间的解析式．（3）观察得到的三个解析式，它们具有怎样共同的结构特征？在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？

（1）京沪高铁全程为

1

318

km，某次列车的平均速度

v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间

t（单位：h）的变化而变化；思考

解：（1）变量间具有函数关系．根据“路程＝速度×时间”，得

．在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？（2）某住宅小区要种植一块面积为

1

000

m2

的矩形草坪，草坪相邻两边的一边

y（单位：m）随另一边长

x（单位：m）的变化而变化；思考（2）变量间具有函数关系．根据“矩形面积＝长×宽”，得

．在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？（3）李明计划在一段时间内用完

5GB手机流量，平均每天使用的流量

Q（单位：GB）随使用总时间

t（单位：天）的变化而变化．思考（3）变量间具有函数关系．根据“每日流量×总天数＝总流量”，得

．

它们的解析式有什么共同特点？

，

，

．

共同特点：三个解析式都具备

的形式，其中

k是非零常数．

一般地，形如

(k为常数，k≠0)的函数，叫作反比例函数．其中

x

是自变量，其取值范围是不等于

0

的一切实数．新知例如，在上面问题（1）中，当路程一定时，

，我们就说，速度

v是时间

t的反比例函数．大家注意表述顺序，分清自变量与函数．对于

，该如何规范表述？

下列函数是不是反比例函数？若是，请指出系数

k的值．解：

是反比例函数，可变形为，其中系数k＝3；

不是反比例函数，是一次函数；

，

，

，

．

是反比例函数，可变形为，其中系数k＝

；xy＝5是反比例函数，可变形为，其中系数k＝5．问题反比例函数解析式的三种表达形式

，

，xy＝k．(k为常数，k≠0)在反比例函数

中，自变量x的取值范围是x≠0，为什么？

在反比例函数解析式

中，自变量x是分式的分母，当x＝0时，分式无意义，所以自变量x的取值范围是不等于0

的一切实数．问题在反比例函数解析式

中，系数k≠0，为什么？由

变形可得

xy＝k，解析式中自变量满足

x≠0．若

k＝0，结合

x≠0，可以推出

y＝0．此时无论

x取任何不为0的值，y恒等于0，y不会随

x的改变而变化，属于常数函数，不再具备一个变量随另一个变量变化的特征，失去反比例函数的研究意义，因此规定系数

k≠0．问题

例1

已知反比例函数

，求

(m－2)2

026

的值．

解：因为

是反比例函数，所以

m2－2＝－1，且

m＋1≠0，解得

m＝1．当

m＝1

时，(m－2)2

026＝(1－2)2

026＝(－1)2

026＝1．

注意：利用反比例函数的概念求字母的值时，既要考虑自变量的次数，又要注意比例系数．本题易忽略

m＋1≠0

这一隐含条件．

例2

已知

y

是

x

的反比例函数，且当

x＝2

时，y＝6．（1）写出

y

关于

x

的函数解析式；（2）当

x＝4

时，求

y

的值．

分析：因为

y

是

x

的反比例函数，所以设

．把

x＝2，

y＝6

代入上式，就可求出常数

k

的值．

例2

已知

y

是

x

的反比例函数，且当

x＝2

时，y＝6．（1）写出

y

关于

x

的函数解析式；（2）当

x＝4

时，求

y

的值．

解：（1）设

．因为当

x＝2

时，y＝6，所以有

．

解得

k＝12．因此

．（2）把

x＝4

代入

，得

．求反比例函数解析式，至少需要知道几组

x，y对应值？为什么？（3）解：解方程，求出

k

的值．（4）写：将求出的

k

的值代回所设解析式中，即得到所求反比例函数的解析式．（1）设：设反比例函数的解析式为

(k≠0)．（2）列：把一组

x

与

y

的对应值代入

(k≠0)中，得到关于

k

的方程．

用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：

变式

已知

y

是

x

的反比例函数，且当

x＝－3

时，y＝4，求

y

关于x

的函数解析式．

解：设