二次函数的概念课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

二次函数的概念人教版九年级上册数学一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x

与y，并且对于x

的每一个确定的值，y

都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x

是自变量，y

是x

的函数．

1．函数的定义是什么？

2．目前，我们已经学习了哪几种类型的函数？正比例函数：y＝kx（k是常数，k≠0）．一次函数：y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）．

分析：矩形另一边长为

(20－x)m，根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为

y＝x(20－x)．

用长为40m

的细绳围成一个矩形区域，设矩形一边长为x（单位：m），矩形的面积y（单位：m2）会随边长x

的变化而变化。y

与x

之间有什么关系？问题1将式子展开、整理，得

y＝－x2＋20x．

①

对于x

的每一个确定的值，y

都有唯一确定的值与其对应，即y

是x

的函数．问题2

n

支球队参加比赛，每两队之间进行

1

场比赛．比赛的场次数m

与球队数n

之间有什么关系？

分析：每支球队要与其他

(n－1)支球队各比赛

1

场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数，即．②

②②式表示比赛的场次数m

与球队数n

的关系，对于n

的每一个确定的值，m

都有唯一确定的值与其对应，即m

是n

的函数．问题某种产品现在的年产量是20

t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x

倍，那么两年后这种产品的产量y

（单位：t）将由x

的值确定，

y

与x

之间的关系应怎样表示？分析：这种产品的原产量是20

t，一年后的产量是20(1＋x)t，再经过一年后的产量是20(1＋x)(1＋x)t，即两年后的产量y＝20(1＋x)2，即y＝20x2＋40x＋20．③

y＝20x2＋40x＋20③③式表示了两年后的产量y

与每年的计划增产的倍数x

之间的关系，对于x

的每一个确定的值，y

都有唯一确定的值与其对应，即y

是x

的函数．思考观察函数①y＝－x2＋20x，②，③y＝20x2＋40x＋20，

它们有什么共同点？n2

y＝－x2＋20x

y＝20x2＋40x＋20函数都是用自变量的二次式表示的．x2

x2n2

新知

一般地，形如y＝ax2＋bx＋c

(a，b，c

是常数，a≠0)

的函数，叫作二次函数．其中，x

是自变量，a，b，c

分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．

y＝a

x2

＋b

x

＋c

（a，b，c

是常数，a≠0）二次项常数项一次项二次项系数一次项系数

xx2x2x2x2x2x2这也是二次函数，可以看作b＝0，c＝0

的特殊形式．正方体的六个面是全等的正方形（如图），设正方体的棱长为x，表面积为y，写出y

与x

的关系式．思考

y＝6x2

（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S

关于半径r

的函数解析式．（2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x．写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x

的函数解析式．例题思考：（1）圆柱表面积由哪几部分组成？底面积、侧面积公式是什么？（2）一年后的销量怎么表示？两年后的销量又是在一年后基础上再次下降，如何列式？（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S

关于半径r

的函数解析式．例题解：（1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，底面积：πr²，两个底面面积和：2πr²；侧面积＝底面周长×高＝2πr·r．所以

S＝2πr²+2πr·r，整理，得

S＝4πr²．这个函数里，二次项系数是什么？有没有一次项、常数项？（2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x．写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x

的函数解析式．例题解：（2）一年后产品的年销售量为

8(1－x)万件，两年后的年销售量为

8(1－x)(1－x)万件，所以

y＝8(1－x)²，展开整理，得

y＝8x²－16x＋8．这里自变量x

表示下降率，结合实际，x

取值范围有什么限制？如果不展开，y＝8(1－x)²能不能直接判断它是二次函数？（1）实际问题列出关系式后，通常展开整理成

y＝ax2＋bx＋c的标准形式；（2）判断二次函数优先看整理后的整式形式；（3）实际情境下，自变量往往存在取值限制，后续解题需要留意．（1）y＝－5x2；（2）

y＝x3＋2x2＋1；

例1下列函数中，哪些是关于x

的二次函数？（3）y＝(x－1)2－(x＋1)(x－2)；（5）y＝x2－

．（4）y＝ax2＋4x＋5；分析：根据二次函数的定义来判断：（1）y＝－5x2是关于x

的二次函数；（2）y＝x3＋2x2＋1

中x

的最高次数是3，不是二次函数；（3）y＝(x－1)2－(x＋1)(x－2)＝－x＋3，不是二次函数；（4）y＝ax2＋4x＋5

中a可能为0

，不一定是二次函数；（5）y＝x2－中有分式，不是二次函数．解：只有（1）是关于x

的二次函数．判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为最简形式，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件：（1）等号右边是整式；（2）自变量的最高次数必须是2；（3）二次项系数不为0．（3）．（1）y＝9x2；（2）y＝(2x＋1)2－6x；

例2请指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．分析：判断各项系数前，一定要先把函数的解析式整理成标准形式

y＝ax2＋bx＋c；重点观察第（2）题，不能直接从原式读取系数；第（3）题需要先把式子调整成“二次项在前”的规范顺序，避免符号看错．函数二次项系数一次项系数常数项y＝9x2y＝(2x＋1)2－6x（3）．（1）y＝9x2；（2）y＝(2x＋1)2－6x；

例2请指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．9004－21－10解：观察

y＝9x2，一次项系数、常数项都是0，这还是二次函数吗？

例3若函数

是二次函数，求m

的值．思考：想要该函数为二次函数，需要同时满足哪两