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二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质（第2课时）人教版九年级上册数学二次函数a

的取值开口顶点坐标对称轴增减性最值当x＝0

时，y最小值＝k当x＞0

时，y

随x

的增大而增大；当x＜0

时，y

随x

的增大而减小

当x＞0

时，y

随x

的增大而减小；当x＜0

时，y

随x

的增大而增大当x＝0

时，y最大值＝ka＜0a＞0向下向上(0，k)x＝0

y＝ax2＋k

(a≠0)

二次函数a

的取值开口顶点坐标对称轴增减性最值当x＝h

时，y最小值＝0当x＞h

时，y

随x

的增大而增大；当x＜h

时，y

随x

的增大而减小

当x＞h

时，y

随x

的增大而减小；当x＜h

时，y

随x

的增大而增大当x＝h

时，y最大值＝0a＜0a＞0向下向上(h，0)x＝h

y＝a(x－h)2

(a≠0)

（1）画出二次函数

的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点．探究解：先列表（略），再描点（略），最后画出图象．－2Oy－224－42－6－4x－2Oy－224－42－6－4x函数开口方向对称轴顶点坐标向下x＝0x＝－1(0，0)(－1，－1)观察表格，两条抛物线的开口、对称轴、顶点有哪些相同点与不同点？－2Oy－224－42－6－4x抛物线

经过怎样的平移变换，能得到抛物线

？探究

（2）抛物线

与

有什么关系？向下平移1个单位长度向左平移1个单位长度－2Oy－224－42－6－4x向左平移1个单位长度向下平移1个单位长度－2Oy－224－42－6－4x两种顺序对应的中间抛物线解析式不同，但最终图象完全不变．向左平移1个单位长度向下平移1个单位长度抛物线形状完全相同，仅位置存在平移差异．－2Oy－224－42－6－4x归纳一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．归纳抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点：（1）当a＞0

时，开口向上；当a＜0

时，开口向下．（2）对称轴是x＝h．（3）顶点是(h，k)．（4）如果a＞0

，当x＜h

时，y

随x

的增大而减小；当x＞h

时，y

随x

的增大而增大；如果a＜0

，当x＜h

时，y

随x

的增大而增大；当x＞h

时，y

随x

的增大而减小．

例2要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6

m

处达到最高，高度为3

m，水柱落地处离池中心3.6

m，水管的长应为多少？解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x

轴，水管所在直线为y

轴，建立平面直角坐标系．点(1.6，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是

y＝a(x－1.6)2＋3

(0≤x≤3.6)．由这段抛物线经过点(3.6，0)，可得

0＝a(3.6－1.6)2＋3，

(0≤x≤3.6)．解得．因此当x＝0

时，y＝1.08，也就是说，水管的长应为1.08

m

．二次函数

y＝ax2(a≠0)的图象和性质向上（或向下）平移向左（或向右）平移a＞0

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