均值不等式及其应用9大题型（原卷版）-2026高一数学（人教B版必修第一册）

均值不等式及其应用9大题型

题型一、直接法求最值

I.已知4,/）WR,且/+〃=],则而的最大值是（）

A.-1B.--C.1D.v

22

|X

2.设X>0/>0,工+—=1,则一的最大值为.

yy

3.己知a>0,b>0,则“。+8=2”是“。匕41”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.已知当x=3时，代数式4》+3（工〉0,。>0）取得最小值，则。=.

x

5.已知-3<x<0,则尸7的最小值为（）

993

A.--B.—C.——D.不存在

题型二、配凑法求最值

[的最大值为（）

6.已知0<x<2,求——

A-B.c-1

7.已知实数x>(),x>y,则卫--上的最小值为()

x-yx

A.73-2B.2V2-3C.0D.2-2x/2

则器的最小值是一‘此时，=_.

8.a6R

9.求下列各式的最值

4

(1)当x>l时，求X+---；的最小值:

x-1

⑵已知0<xv；,求V=x(l-3x)的最大值.

10.求下列函数的最值.

(1)已知0<x<；,求y=；x(l-2i)的最大值;

⑵已知x>-2,求y=1+7x+]4的最小值.

x+2

题型三、“1”的代换

，L已知正数“满足"2"3,则2黄v方1的最小值为()

A,上立B.2c,3273

333—

22

12.已知正实数a,b满足〃+：=l,则一+b的最小值为()

ba

A.8B.6C.4D.2

13.已知正数。力满足。+4力=1,则?取到最小值时，a=

ab

3i

14.已知0<x<l,求函数尸五+心的最小值.

22r

15.己知且〃?+〃=2,则上一+之二2的最小值为()

m-1n

A.8B.4+2&C.5+2>/2D.6+25/2

题型四、双换元法求最值

16.若。>0,b>0,则下列能成为“，的母小值为16”的充要条件是（）

2cr+6ab+4/厂

A.3a+5b=\B.3a+5b=2C.3a+5b=3D.3a+5b=-

2

\4

17.已知实数x与N满足x>y>0,且一+——=1,则2x+y的最小值为_.

x—yx+y

18.已知x,y都是正数.若」一+；=2,且x>y,则x+y的最小值为____.

x-y2y

19.已知x>-！，y>-\,--+r=l,则x+的最小值为

22x+ly+12------

题型五、条件等式有和有积求最值

20.已知。力>0,且"=。+6+8,则必的取值范围是（）

A.16,18）B.[4,IOO）C.（046]D.（0,4]

21.（多选）若实数。，力满足/+〃-〃砧=9，〃eR,则下列说法正确的为（）

A.当〃=1时，/+//的最大值为]6B.当〃=1时，”方的最小值为-6

1Q

C.当〃=3时，曲的最小值为一9D.当〃=3时，/+从的最小值为M

22.（多选）对实数X,满足％2+/-k=1,则（）

、2

A.x+y<\B.x+y>-2C.x2+y2>-D.x2+y2<2

23.已知正数a,b满足a+4b+ab=12,则ah的最大值为.

24.若实数a,b满足"一4"-6+1=0（〃>1）,则（〃+l）S+2）的最小值为.

题型六、多次基本不等式求最值

25.已知正数。，力满足。+2力=2,贝IJ/+4/+0+学的最小值为（）

ab

A.1()B.12C.14D.16

311

26.已知x>0,y>-l,z>0,2y+3z=2-x,则一+-7+-的最小值为()

x_y+1z

5

A7久7+V65+V6,/7

A.—+voB.-----Cr.----nD.—+vb

2222

27.已知正实数明人满足3a+/)=14,则，—+2-的最小值是____.

a+2bb+2

24卜2+1）

求"十启力的最小值.

28.已知%>2b>0

题型七、消元法求最值

29.若正数。，人满足〃Z)+a+Z)=8,则(〃+1『+优+1『的最小值是()

A.15B.18C.24D.36

222

30.己知X＞（），y＞。，x+-=\则一+盯---的最小值为(）

yXXV

17

A.TB.5C.2+2&D.2+五

31.若实数x,y满足2-—6x+y：=0,则/+/+2x+1的最大值是

32•若2+则的最小值为——

33.若实数X,），满足2/一个,_产=],则/_1的最大值为（）

-8x-旬，+5y

A.—B.|C.—D.•

224

题型八、恒成立问题

34.若正实数x，y满足(x-l)(y-4)=4,且x+q之力-3a恒成立，则实数〃的取值范围是.

35.若对仟意代[0,3].丫2一〃.°+3>0恒成立,则实数。的取值范围为.

36.已知x>l,y>3,且(x-l)(j-3)=2x+3jll,若不等式2x+yr〃>()恒成立，则实数〃?的取值范围

为.

37.已知左>。，若对任意正数》，九不等式+如之历恒成立，则实数”的最小值为()

6k2；

A.1B.yC.1D.2

38.已知：x,y>0,xy+x+y=S,求：

(I)K+J的最小值;

(2),+'+52/-20，恒成立，求实数。的取值范围.

xy2

Ir"4v"

39.（多选）对任意实数X>l,不等式F―2/恒成立，则实数4取值可能（）

2a（2^-1）a（x-l）

A.2B.4C.—D.25/2

2

题型九、实际问题

40.某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物.他先将10g的祛码放在天平的左盘，取一部分重物放

在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的祛码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使

天平平衡，则两次称得重物的总重量（）

A.等于20gB.小于20gC.大于20gD.与左右臂的长度有关

41.已知A、8两地的距离是200km.根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在50〜100km/h.假设

/2X

油价是8元/L,以工km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为3+三L/h,司机每小时的工资是56元，那么

I36（〃

最经济的车速是（）km/h.

A.24MB.55C.60D.80

42.如图，某居民小区要建一座人边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形力8c。和

EFG〃构成的十字形地域.四个小矩形力"QQ,MNPE,BCPN,PQ"G与小正方形MNPQ面积之和为

400m2,且AM=ME=3NB.计划在正方形MNP。上建一座花坛，造价为1000元/m?；在四个矩形（图中

阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元/m。在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元

/nr.则当总造价最低时，力。的长为111.

43.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面月钢筋网围成,

每间虎笼的长为。（单位：m）、宽为力（单位：m）（a,6都为正数）.

（1）现有36m长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

⑵若使每间虎笼面积为24m?，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

最小值为多少？

(3)若使用的钢筋网材料总长为28m,求空的的最小值.

ab

44.第19届亚运会于2023年9月23Fl至10月8Fl在杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，

决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销色8万件.

(1)据市场调查，若价格每提高I元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品

每件定价最多为多少元？

(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和

营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入，-600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传

费用，投入1万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量。至少应达到多少万件时，才可能使

改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.

1.已知b>0,则，+白+方的最小值为()

ah~

A.2B.25/3C.2>/2D.372

2.已知关于x的不等式M+云+。>0(。也ceR)的解集为(-4』)，则上二2的取值范围为()

a+h

A.[-6,+o>)B.(-00,6)C.(-00,-6]D.(-6,+00)

141

3.已知不等式/对满足2a+b(l-q)=0的所芍正实数9都成立，则正数x的最大值为

()

3

A.vB.1C.-D.2

22

4.已知正实数〃满足」+：=用，若(。+4]卜+，]的最小值为4,则实数机的取值范围是___.

ab\b八a)

5.max{a,6,c}表示。，b,c中最大的数字的值