第一章 整式的乘除（压轴题专练）-北师版七年级数学下册复习

第一章整式的乘除（压轴题专练）

一.选择题（共22小题）

1.如图，先将图1中边长为。的大正方形纸片A8CD剪去一个边长为人的小正方形E8GF,

然后沿直线石尸将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙,

无重叠）,得到一个大的长方形AEGC.根据图1和图2的面积关系可以写出的等式是（）

（用含〃式子表示）

A

E

图1图2

A.(a+b)(a-b)=4-、B.(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2

C.(a・b)(a-/?)=(r-2(ib+b2D.(a+b)b=(ib+b2

2.观察(x-1)(x+1)=x2-1,(x-1)Cx2+x+\)=/-1,(x-1)(J+f+x+l)=x4-1

据此规律，当（X-1）（HZ+Ef+x+i）=（）时，/。23的结果是（）

A.1B.-1C.1或-1D.1或-2

3./+奴+121是一个完全平方式，则。为（）

A.22B.-22C.±22D.0

4.计算20232-2024X2022的结果为（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.下列能用平方差公式进行计算的式子，有()个.

①(a+2b)-2b)；②(，1)(1+x2)；

(3)(-3s+2t)(3s+2/)；④(2。+1)(-26/-1).

A.1B.2C.3D.4

6.如图①，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图②

所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可

表示为（）

b

7.如图，图1中的阴影部分移动成图2,根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪

个计算公式（）

22222

A.(Q+Z?)(。-b)=a-bB.(6?-b)=a-2ab+b

C.(。+〃)2=a2+2ab+b2D.(〃+〃)2=4M+(a-b)2

8.已知一个长方形的长为m宽为近它的面积为6,周长为12,则届+户的值为（）

A.30B.24C.25D.13

9.若计算（/+公+5）・（・2x）・6『的结果中不含有小项，则〃的值为（）

A.-3B.-AC.0D.3

3

10.如图所示,边长分别为。和〃的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为（）

A.-^-b2B.'a?C.-y（a+b）D.Ca+b）2

乙乙乙

11.有两个正方形A,B,现将5放在A的内部如图甲，将4,8并排放置后构造新的正方形

如图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为三和空，则正方形4,8的面积之和为

105

()

B

AB

图甲图乙

A.4B.4.5C.5D.5.5

12.如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2*个球

放入乙袋，再从乙袋中取出（2H2，）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，

此时三只袋中球的个数都相同，则2"，的值等于（）

A.128B.64C.32D.16

13.如图1是宽为a,长为的小长方形纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不

重叠地放在长方形八BCD内，已知CD的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影

部分（即两个长方形的面积）分别表示为Si,S2,若8=3-52,且S为定值，则m人满

足的数量关系（）

A.b=2aB.b=3aC.b=4aD.b=5a

14.如果（5-a）（6+a）=12,那么-2层-2a+8的值为（）

A.-28B.26C.28D.44

15.设〃、h是有理数，定义一种新运算：a*b=（4-6）2,下面有四个推断：①a*b=b*a；

②（a*。）三小店；③（-〃）%=〃*（-b）；④a*Cb+c）=a%+a*c.其中正确推断的

序号是（）

A.®®B.®@C.①②④D.①②③④

16.如图，四边形ABCQ和"G£都是正方形，这两个正方形的面积差是36,则图中阴影部

分的面积是（）

A.18B.20C.22D.24

17.已知2a-3=b,4/-3必+/=11，贝U2a2b-air的值为()

A.3B.6C.8D.11

18.计算(2+1)(22+l)(24+l)(28+l)...(264+l),结果是()

A.2M-1B.2MC.232-1D.2128-1

19.若一满足(x-2022)(2023-x)=0.25,则(x-2022)2+(20237)2=()

A.0.25B.0.5C.1D.-0.25

20.设(5。+3〃)2=(5a-3b)2+A,贝|JA=()

A.30。/?B.GOabC.\5aD.\2ab

21.在矩形A38内将两张边长分别为。和b（a>b）的正方形纸片按图1和图2两种方式

放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖

的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S,图2中阴影部分的面积为S2.当AD

-4B=4时，S2-Si的值为（）

A.4。B.4〃C.4a-4bD.5b

22.观察下列等式:

(x-1)(x+1)=『-I

(X-1)(f+x+1)=>?・1；

(x-1)(V+f+x+l)=x4-1：,

根据以上规律，则2,0+29+28+...+23+22+2+1的结果可以表示为（）

A.2"B.2"-1C.210D.210-

二.填空题（共10小题）

23.若ci+b=10,。/?=20,则cr+b^=.

24.已知实数满足。2+62=3+〃力，则（2〃-3/?）2+（〃+2/?）（〃-2b）的最大值为.

25.计算：（］-^）XXX…义（］^---^T）=-----------------------

22324220222

26.如图是用四个长和宽分别为。、力的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无

缝隙），写出代数式（4+8）2、（。・〃）2、H之间一个等量关系式：.

27.已知〃=2"，2=3*,c=533,2=622,那么a,b,c,d从小到大的顺序是.

28.已知在长方形纸片ABCD中，AB=6,AO=5,现将两个边长分别为。和匕的正方形纸

片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中

未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为N,图2中阴

影部分的面积为S2；若S2-SI=3时，则〃7值为.

29.观察下列各式及其展开式：

（4+力）2=屋+2"+/，

（。十。）3-。3+3。2。+3。。2十力3,

（〃+〃）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,

Ca+b）5=/+5。％+10/序+10a2b3+5ab4+b5,

请你猜想（。+匕）8的展开式第三项的系数是

30.如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4的正方形AEFG与正方形CHIJ,若如图

阴影部分的面积之和记为Si,长方形A8C/J的面积汜为S2,已知：352-6=96,则长方

形A38的周长为

31.已知：X+—=3,则X2+-^r=

X/

32.现有3张正方形甲卡片、10张正方形乙卡片、6张长方形丙卡片，其边长Cb>a）如图

所示.

（1）要求用这三种卡片（每种卡片至少取一张）紧密拼接成一个大正方形，

①若大止方形的边长为（/力），则需取内卡片张；

②大正方形的边长最长为（用含m匕的代数式表示）；

（2）若用这三种卡片紧密拼接成一个面积为〃+〃出汁6层的长方形，则满足条件的整数〃

的值为_______

三.解答题（共10小题）

33.如图，在边长为。的正方形中挖去一个边长为人的小正方形（〃>。），把余下的部分剪拼

（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：.

A.cr-2ab+b2=（a・b）2B.cr-lr=（〃+〃）（a・b）C.cr+ab=a（a+b）D./・/=

（67-b）2

（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题:

①已知；a-Z?=3,cr-tr=2\,求的值;

②计算：(1-^T)X(1-^-)x(1—y)X(1-^7)-

2232V52

34.将两数和（差）的平方公式：（。土b）2=序±2出?+/?2,通过适当的变形，可以解决很多数

学问题.

例如：若a-b=3,ab=\,求序+〃的值.

解：•:a-b=3,ab=1,

/.a2+b2=（a-b）2+2ab=32+2X1=11.

请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：

（1）若x+y=10,x2+y2=56,求xy的值；

（2）将边长为x的正方形ABC。和边长为y的正方形CEFG按如图所示放置，其中点。

在边CE上，连接AG,EG,若x+y=8,孙=14,求阴影部分的面积.

35.完全平方公式：（〃±〃）2=a2±2ab+b2,适当的变形，可以解决很多的数学问题.例如:

若〃+b=3,ab=I,求4+炉的值.

解：因为。+/?=3,

所以(a\b)2=9,即；a212a加〃2=9,又因为ab=l

所以a2^b2=7

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

⑴若x+y=8,f+)2=40,求xy的值;

(2)填空：若(47)(45)=-8,则(4-x)2+(x-5)2=.

(3)如图，点C是线段48上的一点，以AC、为边向两边作正方形，设AB=6,两正

方形的面积和5十%=18,求图中阴影部分面积.

36.如图①，正方形A8C7)是由两个长为a、宽为。的长方形和两个边长分别为〃、力的正方

形拼成的.

(1)利用正方形A8CO面积的不同表示方法，直接写出(a+b)2、a2+b\"之间的关系

式，这个关系式是;

(2)若〃z满足(2024-m)2+(in-2023)2=4047,请利用(1)中的数量关系,求(2024

_tn)(/n-2023)的值;

(3)若将正方形EFGH的边R7、G〃分别与图①中的PG、历G重叠，如图②所示，已知

PF=8,NH=32,求图中阴影部分的面积(结果必须是一个具体数值).

图②

37.将7张相同的小长方形纸片(如图1所不)按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD

内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为Si,S2,已知小长方形纸片的

长为宽为b,且。＞江

(1)当〃=9,b=2,40=30时,请求:

①长方形A3c。的面积;

②Si-S2的值;

(2)当4。=30时，请用含小的式子表示S2-S1的值.

S?

B

图1图2

38.【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为.

【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为.

【应用】(1)根据图②所得的公式，若。+6=1(),必=5,则。2+/=.

(2)若汇满足(11-R)(x-8)=2,求(11-x)2+(x-8)2的值.

【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地A8CD,ACL4力于点E,AE=DE,BE=CE.该

校计划在和△8EC区域内种花，在ACDE和△A8E的区域内种草.经测量种花区

39.阅读材料，回答问题.

材料一：因为23=2X2X2,22=2X2,所以23乂2?=(2X2X2)X(2X2)=25.

材料二：求寸+32+33+34+35+36的值.

解：设5=31+32+33+34+35+36①

贝ij3S=32+33+34+35+36+37@

用②-①得，357=(32+33+34+35+36+37)-(3,+32+33+34+35+36)=37-3

77

所以25=37-3,即5用萨，所以31+32+33+34+丁+36二皇.

这种方法我们称为“错位相减法”.

(1)填空：5X58=5,).

(2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基

米德要什么奖赏.阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒,

第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食,

就随口答应了.

①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放粒米.(用舞表示)

②设国王输给阿基米德的总米粒数为S,求S.

40.探究应用:

(1)计算：(〃-2)(。2+2〃+4)=.(2r-)，)(4_?+与，+)，2)=.

(2)上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你乂可以发现一个新的乘法公式，用以用含

b的字母表示为.

(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是

A、(。-3)-3。+9)B、(2m-n)(2m2+2mn+n2)

Cs(4-x)(16+4X+X2)D、Cm-n)(nr+2nuHtr)

(4)直接用公式计算：(版-2)，)(9f+6冲+4)，)=.

41.阅读理解:

若x满足(210-x)Cx-200)=-204,试求(210-x)2+(x-200)2的值.

解：设210-x=a,x-200=〃，则"=-204,且。+力=210-x+x-200=10.

因为Ca+b)2=cr+2ab+b2^所以。?+/=Ca+b)2-2ab=IO2-2X(-204)=508.

即(210-x)2+(x-200)2的值为508.

根据材料，请你完成下面这一题的解答过程：

若x满足(2024-x)2+(2022-x)2=4038,试求(2024-x)(2022-x)的值.

42.结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积,从而可以得到一个数学等式.

a

a

(1)如图1,用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式

是;

(2)我们可以利用(1)中的关系进行求值，例如，若x满足(2-1)(1-5)=1,可设

2-x=a,x-5=b,则ab=1,a+b=-3.则次+庐=；

(3)若x满足(x-10)(5-x)=3,则(%-10)2-(5-x)?的值为；

(4)小玲想利用图2中x张A纸片,)，张B纸片,z张C纸片拼出一个面积为(3a+h)(a+〃)

的大长方形，则x+y+z=；

(5)如图3,已知正方形A3C。的边长为x,E,产分别是A。、OC上的点，且AE=1,

CF=3,长方形的而积是24,分别以ME。尸为边作正方形，求阴影部分的面积.

第一章整式的乘除（压轴题专练）

一.选择题（共22小题）

1.如图，先将图1中边长为。的大正方形纸片A8CD剪去一个边长为人的小正方形EBGF,

然后沿直线石尸将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙，

无重叠）,得到一个大的长方形AEGC.根据图1和图2的面积关系可以写出的等式是（）

（用含〃式子表示）

图1图2

A.(。+。)(。-〃)=cr-b1B.(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2

C.(a-b)(a-/?)=(r-2(ib+b2D.((i+b)b=ab+lr

【答案】A

【解答】解：图1中的阴影部分面积为图2中的阴影部分面积为Sb)(o+b),

依题意，

根据图1和图2的面积关系可以写出的等式是(〃+"(a-h)=a2-b\

故选：A.

2.观察(x-1)(x+1)~x2-I,(x-1)(JT+X+I)—x3-1,(x・1)(J+.+x+l)~x4-1.......

据此规律，当(X-1)(/+/+小+/+户1)=。时，W°23的结果是()

A.1B.-IC.1或・1D.I或-2

【答案】C

【解答】解：:(x-1)(x+1)=f-1,

(X-1)(x?+x+l)=r-1,

(X-1)(V+/+X+1)-A4-1,

(%-1)(炉+v厂】+..............=y,+,-1,

(X-I)(/+/+小+f+工+1)

=x6-1

=0,

解得x=1或工=-1,

当X=1时，x2023=12023=].

当X=.1时，f023=(-J)2023=-],

故选：C.

3.r+预+121是一个完全平方式，则。为()

A.22B.-22C.±22D.0

【答案】C

【解答】解：v(x±ll)2=^±22%+121,

・••在f+or+121中，a=±22.

故选：C.

4.计算20232_2024X2022的结果为()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【解答】解：20232-2024X2022

=2023?-(2023+1)(2023-1)

=20232-20232+1

=1；

故选：A.

5.下列能用平方差公式进行计算的式子，有()个.

①(a+2b)(a-2b)；

②(x2-1)(1+X1)；

(3)(-3s+2力(3s+2r)；

④(2。+1)(・2a・1).

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解答】解：①(。+2。)(a-2b)=a2-(2b)2,则能用平方差公式进行计算;

②(/-1)(1+x2)=(x2)2-12,则能用平方差公式进行计算；

③(-3s+2r)(35+20=(2。2-(3s)2,则能用平方差公式进行计算；

④(2^+1)(・2。-1)=・(2。+1)(2"1)=-(2。+1)2,则不能用平方差公式进行计

算，

则能用平方差公式进行计算有3个,

故选：C.

6.如图①，将一个边长为。的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图②

所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可

表示为()

b

【答案】A

【解答】解：根据题意得：新矩形的长为。■从宽为a-3b,

则新矩形周长为2(a-b+a-3b^=2(2a-4b)=4a-84

故选：A.

7.如图，图1中的阴影部分移动成图2,根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪

个计算公式()

A.(〃+/?)(a-h)=a2-b2B.(.a-b)2=a2-2ab+b2

2

C.(。+〃)2=/+2必+〃D.(〃+〃)2=4R,+(a-b)

【答案】B

【解答】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为(。-0)-

图2中阴影部分的面积/-2"+/，

根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得(。・b),2"+心.

故选：B.

8.已知一个长方形的长为m宽为近它的面积为6,周长为12,则。2+及的值为()

A.30B.24C.25D.13

【答案】B

【解答】解；根据题意得；ab=6,aib=6,

：.a2+b2=（"〃）2・2曲=24.

故选:B.

9.若计算（f+”+5）・（-2幻-6炉的结果中不含有x2项，则。的值为（）

A.-3B-4C.0D.3

【答案】A

【解答】解：原式=-*-加-10.E-6F

=-2户+(-2。-6)x2-10x,

•・•结果中不含有％2项,

・・・-2a-6=0,

a=-3.

故选：A.

10.如图所示,边长分别为。和b的两个正方形拼接在一起,则图中阴影部分的面积为（）

E

B

D

2B.焉2

A.ybC.y(a+b)D.(a+b)2

2

【答案】A

［解答］解：图中阴影部分的面积为（a+b）b］b2—^a（a+b）—（b-a）=

乙乙乙

…21,2121u1uA2-12

ab+b-^b―z-a-ab-ab+ya一5ub»

故选：A.

11.有两个正方形A,B,现将8放在A的内部如图甲，将A,8并排放置后构造新的正方形

如图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为得和得’则正方形48的面积之和为

()

B

AB

图甲图乙

A.4B.4.5C.5D.5.5

【答案】B

【解答】解：设正方形A,A的边长分别为a,b,

由图甲可得，（a-b）2=cr+b2-2ab=—.

10

由图乙可得，（4+Z?）2-cr-b1=a1+b1+2ab-a2-b2=2ab=—,

5

cr+b2=2ab+—=—=4.5.

10510

故选：B.

12.如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2》个球

放入乙袋，再从乙袋中取出（2'+2，）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，

此时三只袋中球的个数都相同，则2巾的值等于（）

丙袋

©

27'+2y

甲袋乙袋

A.128B.64C.32D.16

【答案】A

【解答】解：由题意，得5・2卜+2"+2>'=29+2》--2*=29+2*-2X-2-v,

即5+2'=29+2・丫-2、=29-2-v,

.2X2x-2y=24,

•♦.

2X2y=2x,

解得产6，

nY=Q

.・.2,中=2、X23'=16X8=128，

故选：A.

13.如图1是宽为a,长为bQa〈b）的小长方形纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不

重叠地放在长方形A8C。内，已知CO的长度固定不变，8c的长度可以变化，图中阴影

部分（即两个长方形的面积）分别表示为Si,S2,若5=3-52,且S为定值，则〃，〃满

足的数量关系（）

A.b=2aB.b=3aC.b=4aD.b=5a

【答案】D

【解答】解：由题意知，面积为&的长方形一边为公设另一边为机；面积为S2的长方形

一边为5。，设另一边为〃，则S=Si-S2=bm-5an,

由图知：/〃+3。=/?+〃，即tn=b+n-3〃，

:.S=b（b+n-3a）-5an=b2+bn-3ab-5an=b2-3ab+（b-5a）n,

・・,s为定值，

:・b-5a=0,

即b=5a.

故选：D.

14.如果（5-。）（6+〃）=12,那么-2〃2-2a+8的值为（）

A.-28B.26C.28D.44

【答案】A

【解答】解：由（5-a）（6+a）=12,

得・。2“+30=12,

即-苏-a=-13,

贝ij-2a2-2Q=-36,

所以-2/-2a+8=-28.

故选：A.

15.设。、〃是有理数，定义一种新运算：a*b=（a-b）2,下面有四个推断：①

②（〃*〃）2=a2*b2：③（-〃）*〃=〃*（-/?）：④〃*（〃+c）=a*h+a*c.其中正确推断的

序号是()

A.®@B.①②C.①③④D.①®@④

【答案】A

【解答】解：①。％=(a-b)2,b*a=(b-a)2=(a-b)2,故①正确；

②(〃%)2=[(a-h)2]2=(a-b)4,a2^b2=(a2-h2)2=(〃+/?)2Ca-b)2,故②错

误；

③(-a)C-a-b)2=da+b)2,a*(-/?)=(。十。)2,故③正确；

21112

④a*(〃+c)=(a-b-c)=a+b+c-lab-2ac+2bc>a*b+a^c=(a-b)2+(a-c)

=cr-2ab+b2+cT-2ac+cr=2a2+b2+(r-2ab-2ac、故④错误；

即正确的为①@,

故选：A.

16.如图，四边形ABCQ和8FGE都是正方形，这两个正方形的面积差是36,则图中阴影部

分的面积是（）

A.18B.20C.22D.24

【答案】A

【解答】解：设正方形ABC。的边长为a,正方形BEG/的边长为乩

依题意得：AE=a-b,。2・/=36,

JS刚产S^AE+S^EFC=24E・BC+工AE・BF=2AE・(BC+BF),

222

即：SBi!t；=—"(a-b)(a+b)=—(/-/)=—X36=18.

222

故选：A.

17.已知2a-3=b,4a2-3时+序=11,贝U2crb-。序的值为()

A.3B.6C.8D.11

【答案】B

22

【解答]解：・"=2a-3,4a-3ab+b=\\f

：.4a2-3a⑵-3)+⑵-3)2,=11,

整理得2"-3a-2=0,

・•・(2(711)(a-2)=0,

，2。+1=0或CL2=0,

.\a=2或-2，

2

当。=2时，b=l,2a2b-alr=ab(2a・b)=2X3=6,

当时，b=-4,2(rb-ab2=ab(2a-b)=2X3=6,

2

：.2a2b・苏=6.

故选：B.

18.计算(2+1)(22+l)(24+l)(28+l)...(264+l),结果是()

A.2M-IB.2&C.232-1D.2,28-1

【答案】D

【解答】解：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)<264+1)

=(2-1)(2+1)(22+l)(24+l)C28+l)*(264+l)

=(22-1)(2?+l)(24+l)(28+1)*(264+1)

=(24-1)(24+l)(28+l)*(264+l)

=(28-1)(28+l)*(264+l)

=(2^-1)(264+l)

=2128-1,

故选；D.

19.若尤满足G-2022)(2023-x)=0.25,则(x-2022)2+(2023・x)2=()

A.0.25B.0.5C.1D.-0.25

【答案】B

【解答】解：.(x-2022)(2023-x)=0.25,

A2023x-x2-2022X20234-2022x=0.25.

/.-/+4045工-2022X2023-0.25.

・•・・f+4045x=2022X2023+0.25.

.(x-2022)2+(2023-x)2

=X2+20222-4044.V+20232+X2-4046工

=2?-8090X+20222+20232

=-2(一+4045工)+20222+20232

=-2X2022X2023-0.5+20222+20232

=(2022-2023)2-0.5

=1-0.5

=0.5.

故选：B.

20.设(5。+3/?)2=(5。-3b)2+4,则4=()

A.30abB.60abC.15aD.I2ab

【答案】B

【解答】解：*.*(5a+3b)2=(5a-3b)2+A,

・"=(5a+3b)2-(5a-3b)2

=25/+30M+9b2-(25cr-30岫+9/)

=25。2+30。8+9力2-25a2+30ab-9Z?2

=60。〃.

故选：B.

21.在矩形ABC。内将两张边长分别为。和b(a>b)的正方形纸片按图1和图2两种方式

放置(图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖

的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为图2中阴影部分的面积为S2.当AO

-八8=4时，S2-S1的值为()

A.4aB.4bC.4a-4bD.5b

【答案】B

【解答】解：由图可得，

Si=AD*AB-a2-hCAD-a\

S2=AD・AB-a2-b(AB-a),

S2-5I

=[AD*AB-cr-b(AB-a)]-[AD*AB-a2-b(AD-a)J

=AD*AB-a2-b(AB-a)-AD*AB+a2+b(AD-。)

=-b*AB+ab+b*AD-ab

=b(AD-AB\

VAZ)-AB=4,

：.b(AD-AB)=4Z?,

即S2・Si=4b,

故选：B.

22.观察下列等式：

(x-1)(x+1)=/-1

(X-1)(AT+X+1)=炉-1；

(X-1)(V+f+x+l)=x4-1：…

根据以上规律，则2,04-29+28+...+23+22+2+1的结果可以表示为()

A.2"B.211-1C.210D.2,0-1

【答案】B

【解答】解：原式=(2-1)(2,0+29+28+...+23+22+2+1)=2"-I.

故选：B.

二.填空题(共10小题)

23.若"8=10,他=20,则♦+/=60.

【答案】60.

【解答】解：:a2^-b2=a2-^2ab+b2-2ah

=(a+b)2-lab,

又,・Z+b=10,ab=20,

・••原式=102-2X20

=100-40

=60,

故答案为：60.

24.已知实数Q,b满足〃+f=3+ab,则(2a-3b)2+(a+2/?)(〃-2b)的最大值为22.

【答案】22.

【解答】解：・・・苏+。2=3+如

.*•(2a-3b)2+(a+2b)(a-2b)

=44+9店-12"+/,4/

=5a2+5b2-\2ab

=5(672+Z?2)-\2ab

=\5+5ah-\2ab,

=15-7ab,

22

•:a+b=3+abf

：.(〃+b)2=3+3",

/.ab=—(〃+/?)2-1,

3

.**ab的最小值为-1,

・•・-7-的最大值为7,

Z.C2a-3h)2+(〃+2Z?)(a-2b)的最大值为22.

故答案为：22.

-

25.计算:(1—y)x(1-^-)x(1-A)x…义(11x_2023

22324，20222—4044—

【答案】箫

【解答】解：原式=(1x

(「2022)*(1+2022)

4x|xfxfx|x-|x...x20212023

20222022

_12023

~22022

-2023

4044

故答案为：器

26.如图是用四个长和宽分别为心〃的全等长方形拼成的一个正方形(所拼图形无重叠、无

缝隙)，写出代数式(。+〃)2、(a-b)2、必之间一个等量关系式：("♦)2=(a-b)

2+4".

b

【答案】(〃+匕)2=(a-b)2+4".

【解答】解：如图所示，大正方形的面积=空白正方形的面积+4个长方形的面积,

即(a+b)2=(〃-〃)2+4出

故答案为：(。+。)2=(〃-b)2+4ab.

55443322〈

27.已知a=2,Z?=3,c=5,J=6,那么a,b,c,△从小到大的顺序是aVd<bc.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：a=255=(2?)"=32”,

/?=344=(34)"=81",

C=533=(53)”=125”,

d=622=(62)"=36",

V32<36<81<125,

:.a〈d〈b〈c,

故答案为：a<d<b<c.

28.已知在长方形纸片ABC。中，AB=6tAO=5,现将两个边长分别为a和b的正方形纸

片按图1、图2两种方式放置(图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠)，长方形中

未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S,图2中阴

影部分的面枳为S2；若S2-SI=3时，则力-1值为-4.

【答案】-4.

【解答】解：如图所示：

由题意可知：DE=a,CN=b,AE=AD-DE=5-a,GF=AB-EG=6-a,NF=DE-CN

=a-b,BM=AB-AM=6-b,BQ=BC-QC=AD-QC=5-a,SC=CD-DS=AB-DS

=6-a,QC—a,

•，・Si=5四边形AEFB+S四边形GHNF

-AB*AE+G『NF

=6(5-a)+(6・a)(a-Z?)

=30・6a+6a-6b-cr+ab

=30-6b-/+ab,

Si=S网边形A/OQB+S四边形

=8M・BQ+SC・QC

=(6-b)(5-a)+a(6-。)

=30-6a-5b\ab\6a-a2

=30・5b+ab-/,

VSi-S2=3

(30-6h-c^ab)-(3()-5b+ab-c2)=3,

30-6/?-a2+ab-30+5〃-ab+c1—3,

5b-6b=3,

-b=3,

b=-3,

1=-3-1=-4,

故答案为：-4.

29.观察下列各式及其展开式：

(。+。)2=*+2"+/，

Ca+b)3=a3+3a2b+3ab2+b\

(a+b)4—a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5,

请你猜想(〃+b)8的展开式第三项的系数是28

【答案】28.

【解答】解：*.*(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3-。3+3。2。+3。。2十力3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Ca+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10aV+5ab4+b5

・・・依据规律可得到：

(u+b)2第三项的系数为1,

(〃+〃)3第二项的系数为3=1+2,

4第三项的系数为6=1I2I3,

Ca+b)8第三项的系数为：1+2+3+…+6+7=28.

故答案为：28.

30.如图所示，长方形4BCQ中放置两个边长都为4的正方形AEFG与正方形C77/J,若如图

阴影部分的面积之和记为Si,长方形ABC。的面积汜为S2,已知：3s2-SI=96,则长方

【答案】24.

【解答】解：设/K=a,FL=b,

由题意得：四边形8//KE、四边形KFU、四边形。GL/都为长方形,

：.EK=BH=U=GD=4-mKH=EB=GL=DJ=4-b,

A5i=2(4-〃)(4-h)+nb=(32-8。-8〃+3劭)，Sz=(4+4-b)(4+4-a)=(64-8。

-Sb+ab),

V3S2-SI=96,

A3(64--Sb+ab)-(32・8。-8〃+3他)=96,

整理得：。+〃=4,

，长方形A8CO的周长=2(AB+BC)=2X(4+4-b+4+4-。)=2X(16-4)=24,

故答案为：24.

31.已知：x+—=3,则♦+3=7

xx2

【答案】见试题解答内容

【解答】解：・・・x+2=3,

x

(x+—)2=/+2+±=9,

T.2

，1+吃=7,

故答案为：7.

32.现有3张正方形甲卡片、10张正方形乙卡片、6张长方形丙卡片，其边长（b>a）如图

所示.

（1）要求用这三种卡片（每种卡片至少取一张）紧密拼接成一个大正方形，

①若大正方形的边长为（行力），则需取丙卡片2张;

②大正方形的边长最长为（4+3。）（用含4,8的代数式表示）；

（2）若用这三种卡片紧密拼接成一个面积为足+〃小6b2的长方形，则满足条件的整数〃

的值为5

【答案】（1）①2；

②（。+3/Q；

（2）5.

【解答】解：⑴①大正方形的面积为：（。+人）三-2"+户

・•・需要甲纸片1张，乙纸片1张，丙2张，

故答案为:2；

②・・・。2+6帅+9序=（a+3b）2,

・••大正方形的边长最长为（〃+38），

故答案为：（a+3〃）；

（2）；=b・6b=2b・3b,

，〃=1+6=7>6（舍去）或〃=2+3=5,

故答案为：5.

三.解答题（共1（）小题）

33.如图，在边长为。的正方形中挖去一个边长为〃的小正方形（〃>〃），把余下的部分剪拼

成一个矩形.

(1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是：B.

A.a2-2ab+b2=(a-b)~B.cr-lr=(o+Z?)(〃・b)C.a2+ab=a(a+b)D.a2-b2=

(6?-b)2

(2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：

①己知：a-b=3,a2-h2=2\,求的值；

②计算：(1-^7)X(1-^-)x(1—y)X(1-^7)-

22324’52

【答案】(1)&(2)①7；②

5

【解答】解：(1)第一个图形面积为标-序，第二个图形的面积为(4+8)(〃-。)，

・・・可以验证的等式是：a2-b2=(4+〃)(4・8)，

故答案为：B；

(2)①・・Z-b=3,层-匹？],

(a+b)(«-/?)=21,B|J3(a+h)=21,

〃+。=7；

②原式=(1-A)x(i+l)x(i-l)x(i+l)x(i-1)x(i+l)x(i-l)

2233