2026高中数学：函数的极值（学生版）

专题08函数的极值

1.函数的极小值：

函数产於)在点x=X0的函数值,/Uo)比它在点％=顺附近其他点的函数值都小，/(xo)=0；而且在点X

=xo附近的左侧/(力<0,右侧/(©>().则xo叫做函数丁=人工)的极小值点，,/Uo)叫做函数1y=/(x)的极小值.如

图1.

图1图2

2.函数的极大值:

函数y=«r)在点X=M)的函数值人10)比它在点x=xo附近其他点的函数值都大，/(xo)=0；而且在点X

=必附近的左侧/a)>o,右侧/(/().则.％叫做函数)=/)的极大值点，yuo)叫做函数)，=")的极大值.如

图2.

3-极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

对极值的深层理解：

(1)极值点不是点;

(2)极值是函数的局部性质；

(2)按定义，极值点为是区间［a,/?］内部的点(如图)，不会是端点a,b\

(3)若人工)在(a,份内有极值，那么大幻在(〃，与内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.

(4)根据函数的极值可知函数的极大值y(xo)比在点KO附近的点、的函数值都大，在函数的图象上表现为极

大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值风丫0)比在点X0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现

为极小值对应的点是局部的“低谷一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极

小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极

大值不一定比极小值大；

(5)使/(x)=0的点称为函数人r)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点.驻点可能是极值点，也

可能不是极值点.例如大幻的导数/(幻=31在点x=()处有/(0)=(),即工=0是儿:)=_?的驻点，但从

府)在(-8,+ao)上为增函数可知，X=0不是府)的极值点.因此若/(xo)=(),则X0不一定是极值点，即J'(xo)

=0是/U)在x=出处取到极值的必要不充分条件，函数)=/(幻的变号零点，才是函数的极值点；

(6)函数7U)在［a,b~\上有极值，极值也不一定不唯一.它的极值点的分布是有规律的，如上图，相

邻两个极大值点之间必有一个极4、值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地，当函数

次处在［。，上连续且有有限个极值点时，函数yu)在［〃，/?］内的极大值点、极小值点是交替出现的.

考点一根据函数图象判断极值

【方法总结】

由图象判断函数)，=/u)的极值

(l)y=/(x)的图象与x轴的交点的横坐标为X。，可得函数y=/(x)的可能极值点xo；

(2)如果在xo附近的左侧/。)>0，右侧/(x)VO,那么/Uo)是极大值；如果在沏附近的左恻/。)4)，右

侧/V)K)，那么/Uo)是极小值.

【例题选讲】

[例1](1)函数人r)的定义域为R.导函数/(x)的图象如图所示，则函数«r)()

A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点

C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点

(2)设函数y(x)在R上可导，其导函数为了(X)，且函数y=(l—的图象如图所示，则下列结论中一

定成立的是()

A.函数/U)有极大值人2)和极小值41)B.函数人r)有极大值人一2)和极小值人1)

C.函数/tr)有极大值12)和极小值次-2)D.函数段)有极大值火-2)和极小值寅2)

(3)函数7U)+瓜2+cx+4的大致图象如图所示,x\,彳2是函数y=/U)的两个极值点，则后+.6等于

)

24

AaC/D.f

八・9B.yJ・9

(4)已知函数)，一平的图象如图所示(其中/(x)是定义域为R的函数/U)的导函数)，则以下说法错误的

是()

A./(1)=/(—1)=0B.当％=—1时，函数/(x)取得极大值

C.方程切。)=0与凡¥)=0均有三个实数根D.当x=l时，函数贝幻取得极小值

(5)(多选)函数y=/(x)导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有()

A.(—1,3)为函数.丫=凡¥)的递增区间B.(3,5)为函数y=/(x)的递减区间

C.函数y=/(x)在x=0处取得极大值D.函数)，=/5)在x=5处取得极小值

(6)(2018•全国III)函数y=一丁+/+2的图象大致为()

【对点训练】

1.如图是,/（X）的导函数/（X）的图象，则./U）的极小值点的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.设函数凡丫）在R上可导，其导函数为人幻，且函数g（x）=M（i）的图象如图所示，则下列结论中一定成立

的是（）

A.人工）有两个极值点B.{0）为函数的极大值

C.7U）有两个极小值D.八一I）为yu）的极小值

3.已知函数/U）=V+/u2+c.i的图象如图所示，则小+方等于（）

4.已知三次函数ADnaF+Ad+cx+d的图象如图所示，则播=.

5.（多选）函数y=y"）的导函数八X）的图象如图所示，则以下命题错误的是（）

A.-3是函数），=/*）的极值点B.一1是函数），=穴幻的最小值点

C.丁=/a）在区间（一3,I）上单调递增D.y=/U）在x=0处切线的斜率小于零

考点二求已知函数的极值

【方法总结】

求函数的极值或极值点的步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数/（x）；

（3）解方程/（x）=0,求出函数定义域内的所有根;

④检查/（力在方程/3）=0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么7U）在这个根处取得极大值;

如果左负右正，那么,/U）在这个根处取得极小值.

【例题选讲】

［例1］（1）函数儿r）=.Per的极大值为,极小值为.

2

（2）设函数人处=不A+1M,贝1」（）

A.x=T为段）的极大值点B.广段为危）的极小值点

C.x=2为4r）的极大值点D.4=2为凡T）的极小值点

⑶已知函数/）=2ef（e）ln.v-;,则危）的极大值点为（）

A.7B.1C.eD.2e

（4）已知e为自然对数的底数.设函数./U）=e—l）・（x—l»（A=l,2）,则（）

A.当2=1时，人工）在x=l处取到极小值B.当2=1时，/（x）在x=l处取到极大值

C.当女一2时，/U）在x-I处取到极小值D.当化一2时，式x）在4一1处取到极大值

（5）若x=-2是函数_/（%）=（f+如-1）6厂1的极值点，则./U）的极小值为（）

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

（6）设/（x）为函数7U）的导函数，已知力*）+观外=1.，贝1）=+则下列结论不正确的是（）

A.犹x）在（0,+功上单调递增B.求工）在（0,+8）上单调递减

C..3•）在（0,+劝上有极大值TD.求力在（0,+oo）上有极小值3

［例2］给出定义：设/（文）是函数），=/U）的导函数，/Q）是函数/（x）的导函数，

若方程/'（幻=0有实数解xo，则称点（xo,儿卬））为函数y=Av）的拐点.己知/U）=or+，5sinA—cosx.

（I）求证：函数产危）的拐点M®）,儿⑹）在直线y=ax上；

（2）xe（0,2兀）时，讨论_/U）的极值点的个数.

［例3］（2021•天津高考节选）已知〃>0,函数於）=依一方，

（1）求函数），=/）在点（0,曲））处的切点的方程;

（2）证明式刈存在唯一极值点.

【对点训练】

1.函数兀6=2x—Mnx的极值是（）

1B2

A-eB.eC.cD.c2

2.函数4r）=（f—l）2+2的极值点是（）

A.x=IB.x=-1C.x=l或一1或0D.x=0

3.函数凡t）=3/+lnx—Zt的极直点的个数是（）

A.0B.1C.2D.无数

4.函数人x）=（f—x—1）式其e=2.718…是自然对数的底数）的极值点是；极大值为

5.已知函数4^）=。小一饭+2的极大值和极小值分别为M,〃?，则M+机=（）

A.0B.1C.2D.4

6.若x=-2是函数人工）=*3—ad—2r+l的一个极值点，则函数凡6的极小值为（）

7.已知函数./（x）=2lnx十or2—3/在x=2处取得极小值，则凡r）的极人值为（）

5

A.2B.—2C.3+ln2D.-2+2ln2

8.已知函数/U）=xlnx,则（।

B.K"在（0,§上是减函数

A.凡6的单调递增区间为（e,+oo）

C.当x£（0,1］时，兀0有最小值一J

D../（X）在定义域内无极值

■X?x—I

9.（多选）已知函数火外=.，则下列结论正确的是（）

A.函数yu）存在两个不同的零点

B.函数yu）既存在极大值又存在极小值

C.当一e〈狂。时，方程7U）=A有且只有两个实根

D.若+oo）时，则，的最小值为2

10.若函数7U）=（l-x）（『+at+》）的图象关于点（一2,0）对称，不，也分别是7U）的极大值点与极小值点,

则及-11=.

11.已知函数.几¥）=8（工一1）一/"x2,a＜（）.

⑴求曲线），=/5）在点（0,#0））处的切线方程;

（2）求函数yu）的极小值.

v+?

12.已知函数/u)=—e7^.

人

(1)求函数4。的图象在(i,7U))处的切线方程;

(2)证明：函数火灯仅有唯一的极小值点.

考点三已知函数的极值(点)求参数的值(范围)

【方法总结】

由函数极值求参数的值或范围

讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论/a)=o根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式

求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0,而导数为。的点不一定是极值点，要检验导数为

。的点两侧导数是否异号.

【例题选讲】

［例i］(i)若函数y(x)=Mx—机产在工=1处取得极小值，则〃『.

(2)已知危•)=x3+3ar2+/a-+a2在工=一1处有极值0,则〃+力=.

(3)若函数凡¥)的导数人1)=@一|)(工一4人(应I4EZ),已知x=k是函数/U)的极大值点，则k=.

(4)设函数/U)—liiv—3or2—6，若x—1是/U)的极大值点，则。的取值范围为.

(5)若函数人幻=号一(l+2a)x+21nx(a>0)在区间1)内有极大值，则。的取值范围是()

A.色+8)B.(1,4-oo)c.(1,2)D.(2,+8)

(6)若函数yu)=/一x+4hu在［1,+oo)上有极值点，则实数。的取值范围为：

(7)已知函数/U)=x(lM—。丫)有两个极值点，则实数。的取值范围是.

(8)(2021.全国乙)设卬0,若x=a为函数〃)2(x—Z>)的极大值点，贝U()

A.a<bB.a>bC.ab<a~D.ab>a~

［例2］已知曲线fix)=xev——ax2,〃£R.

(1)当a=0时,求曲线产危)在点(1,。1))处的切线方程;

(2)若函数)，=/□)有三个极值点，求实数〃的取值范围.

【对点训练】

1.若函数火x)=(x+o)e'的极值点为1,则。=()

A.-2R.-1C.0D.1

2.已知函数4r)=Mx—c)2在x=2处有极小值，则实数。的值为()

A.6B.2C.2或6D.0

3.已知函数几t)=ad+〃f+cx—17m，b,。£对的导函数为了。)，/(工)4)的解集为{%|一23区3},若«r)的

极小值等于一98,则。的值是()

811

A.-22B.gC.2D.5

4.若函数凡1)=/-2(<+］有极值点，则实数c的取值范围为.

5.设a£R,若函数)，=1+6・，x£