北师大版九年级数学上册 第2课时 矩形的判定（导学案）

第1章特殊平行四边形

1.3矩形的性质与判定

第2课时矩形的判定

【学习目标】

1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理；

2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.

学习重点：经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理.

学习难点：能应用矩形的判定解决简单的证明题和”•算题.

【复习导入】

问题1矩形的定义是什么？

问题2矩形有哪些性质？

【合作探究】

探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形

如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边

形的形状会公山"

（1）随着Na的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？

（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜

证一证

己知：如图，在口ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，旦AC=DB.

求证：口ABCD是矩形.j

知识要点

矩形的判定定理1:

几何语言描述:

议一议

你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的

绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流.

典例精析

例1如图，在DABCD中，对角线AC,BD相交于点0,且0A=0D,

ZOAD=50°.求NOAB的度数.

练一练

1.如图，在。ABCD中，AC和BD相交于点0,则下面条件能判定口ABCD是矩形

的是（）

A.AC=BDB.AC=BC

C.AD=BCD.AB=AD

2.如图,DABCD中,ZI=Z2,此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？

例2如图，在QABCD中，对角线AC与BD相交于点O,△ABO是等边三角形,

AB=4,求QABCD的面积。

探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形

想一想

至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？

(I)有一个角是直角的四边形是矩形吗？

(2)有两个角是直角的四边形是矩形吗？

(3)有三个角是直角的四边形是矩形吗？

证一证

己知：如图，在四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=90°.

求证：四边形ABCD是矩形.

An--------------------------

8b----------------------

知识要点

矩形的判定定理:

AD

几何语言描述:

B

思考一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直

的方向锯了两次，就能得到矩形踏板.为什么？

练一练

3.如图，UABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H,求证：四边形EFGH

为矩形.

当堂反馈

1.如图，要使QA8C。成为矩形，需添加的条件是()

XAB=BC/\/

B.ACLBD

C.NA8c=90。

D.Z1=Z2

2.判断(对的打“卡，错的打“x”)：

(1)内角都相等的四边形是矩形.—

(2)对角线相等的四边形是矩形.—

(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形..

(4)一组邻角相等的平行四边形是矩形.—

(3)对角互补的平行四边形是矩形.

3.如图，点0是菱形ABC。对角线的交点，CE"AC,CE//BD,连接0£若AC=12,

BD=16,则0£的长为

4.如图，已知8A=AE=DC,AD=EC,CE1AE,垂足为E.

(1)求证：△OCAg△EAC；

(2)只需添加一个条件，即—,可使四边形A8C。为矩形.请说明理由.

5.如图，口ABCD中，P是AB边上的一点(不与点4,8重合),。「=。。,过点尸作PQ1CP,

交AD于点Q,连接CQ.

(1)若CQ平分NOCP,求证：四边形A8CO是矩形；

(2)在(1)的条件卜，当AP=2,C8=4时，求CO的长.

APB

参考答案

【合作探究】

探究点1:对角线相等的平行四边形是矩形

证一证

证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

AAB=DC,AB〃DC.

又..・BC=BC,AC=DB,

・•・△ABC^ADCB.AZABC=ZDCB.

VAB/7CD,/.ZABC+ZDCB=180°.

・•・ZABC=90°.

・•・□ABCD是矩形（矩形的定义）.

典例精析

例1解：•・•四边形ABCD是平行四边形，

/.OA=OC=1AC,OB=OD=1BD.

又＜OA=OD,

/.AC=BD.

・•・四边形ABCD是矩形.

AZBAD=90°.

XVZOAD=50°,

・•・ZOAB=40°.

练一练1.答案：A

2.解：四边形ABCD是矩形.

理由如下：

•・・四边形ABCD是平行四边形，

AAO=CO,DO=BO.

又・・・N1=Z2,

AO=BO.AAC=BD,.\nABCD是矩形.

例2

解：•・•四边形ABCD是平行四边形，I.OA=OC,OB=ODo

又〈△ABO是等边三角形，

:.OA=OB=AB=4o

・•・OA=OB=OC=OD=4o

，AC=BD=2OA=2x4=8。

・・・。ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。

・・・NABC=90。（矩形的四个角都是直角）。

在RIAABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AO,

.\BC=>JAC2-AB2=V82-42=4百。

・'•SUABCD=•BC=4X4V5=16V3o

探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形

证一证

证明：VZA=ZB=ZC=90°,

AD

AZA+ZB=180°,ZB+ZC=180°.

・•・AD〃BC,AB//CD.

B

••・四边形ABCD是平行四边形.

・•・四边形ABCD是矩形.

练一练3.

证明：在□ABCD中，AD〃BC,

AZDAB+ZABC=1803.

•・,AE与BG分别为NDAB,ZABC的平分线,

AZBAF+ZABF=1zDAB+|zABC=90°.

・•・ZAFB=90°.AZGFE=90°.

同理可得NFEH=ZEHG=90°,

・•・四边形EFGH为矩形.

当堂反馈

1.C

2.(1)<(2)-⑶Y⑷Y⑸7

3.10.

(DC=EA,

4.(1)证明：在a。。和4胡。中，\AD=CE,

\AC=CA,

•••△OCA"E4C(SSS).

(2)解：理由如下：*：AB=DC,AD=BC,

・•・四边形ABC。是平行四边形.・・・C从LAE,

・•.NE=900.

VADCA^AEAC,・•・/£>=NE=90。.

・•・四边形ABCD为矩形(答案不唯一).

5.(1)证明：*：PQLCP,・・・/。？。=90。.・・・。。平分/。。尸，：.ZDCQ