第4章 三角形 章末测试 2026-2027学年湘教版八年级数学下册

第4章三角形章末测试

一、选择题（本大题共32分，每小题4分）

1一个三角形的两边长分别是3和7,且第三边长为整数，这样的三角形周长的最大值为（）

A.I5B.16C.18D.I9

2如图点D在^ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A,D重合）,连接PB,PC.下列命题中，假命

题是（）

A若AB=AC,AD±BCJ!JPB=PC

B.若PB=PC.ADJ_BC,则AB=AC

C.若AB=AC,N1=N2厕PB=PC

D若PB=PC,N1=N2,则AB=AC

3如图（I）,已知ZABC,用尺规作它的角平分线.

如图（2）,步骤如下：

图（1）

第一步：以B为圆心，a为半径画弧，分别交射线BA,BC于点D,E;

第二步：分别以D,E为圆心，b为半径画弧，两弧在NABC内部交于点P；

第三步：画射线BP,射线BP即为所求作.

选项中的说法正确的是

第一步

A.a,b均无限制B.a>O,b>-DE

C.a有最小限制，b无限制D.a>O,b<DE

4如图，在△ABC中,AF平分NBAC,交BC于点F,E为AB上一点ED_LAC交CA的延长线于点D.若/DE

A=20。,/B:NC=2:5.则NAFC的度数为（）

A.75°B.70°C.65。D.60。

（第4题图）

5如图，三角形ABC的面积为10,AD与BF交丁点E,且AE=ED,BD=则阴影部分的面积为

）

A.3B.yC.4D.y

6iiAABC中.ZB=NC=5（T,将^ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（）

7如图，过边长为4的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE1AC于点E,Q为BC延长线上一点，当PA=

CQ时连接PQ交边AC于点D.则DE的长为（）

A.2B.3C.4D.j

8如图，在RSABC中,AB二AC,D,E是斜边BC上的两点且/口人£二45。,将4ADC绕点A顺时针旋转90。后.

得到△AFB,连接EF.下歹I」结论:①△ADC0△AFB;@AABE^△ACD;③4AED丝Z\AEF;④BE+DC二DE.其中

一定正旃的是（）

A.②④B.①④C.②③D.①③

二、填空题（本大题共15分，每小题5分）

9在AABC中,AD为边BC上的高.NABC=30o,NCAD=20oJM/BAC=.

10如图,/BOC=60。,点A是OB反向延长线JL的一点OA=10cm动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度

移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动.如果P.Q同时出发，用ts表示移动的时间，当t=

一时，△POQ是等腰三角形.

11如图在口建人院中./人叱=90。,以人。为边作△ACD.满足AD二AC,点E为BC上一点.连接AE,DE,NR

AE=!口。。.下列结论中正确的是________.（填序号）

①AC1DE;②NADE=NACB;③若CD〃AB,则AE1AD;®DE=CE+2BE.

解答题(本大题共53分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

12如图在AECB中,NCEB=NB,延长BE至点A,过点A作AD〃CE,NA=60。,连接CD.求证:△ECB是等边

三角形

13尺规作图(不写作法，但要保留作图痕迹).

(1)如图(1),作NBAC的平分线AM,在AM上找一点F,使点F到点A,E的距离相等.

(2)如图(2),已知△DMN、使MN二AB,NM二NA,NN=NB.

S(2)

14如图.已知△ABCAD是NBAC的平分线QE_LAB于点E,DFJ_AC于点F.连接EF交AD于点G.

⑴求证:AD垂直平分EF;

(2)若AB+AC=10.DE=3,^CAABC的面积.

15【情境再现】

甲、乙两个含45。角的直角三角尺如图(1)放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足。处.将甲绕点0顺时

针旋转一个锐角到图(2)位置.小莹用作图软件GeoGebra按图⑵作出示意图,并连接AG,BH,如图(3)所示,AB交HO

于E,AC交OG于F,通过证明△OBE94OAF,可得OE=OF.

请你证明:AG=BH.

【迁移应用】

延长GA分别交HO,HB所在直线于点P.D,如图(4),猜想并证明DG与BH的位置关系.

H

图(4)

16直线MN与直线PQ垂直相交于点O,点A在射线OP上运动(点A不与点O重合)，点B在射线0M上

运动(点B不与点O重合).

(1)如图(1),已知人£,而分别是NBAO和NABO的平分线，

①当NABO60。时.求NAEB的度数：

②点A,B在运动的过程中，ZAEB的大小是否会发生变化?请说明理由；

(2)如图⑵，延长BA至G,已知/BA0.N0AG的平分线与NB0Q的平分线所在的直线分别相交于E,F,在

△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出NABO的度数.

1.D【解析】设第三边长为a.根据三角形的三边关系得7-3va<3+7、即4<avl0.因为a为整数，所以a的最大值

为9,则三角形的最大周长为9+3+7=19.故选D.

2.D【解析】若力8=力。,/。口8仁则D是BC中点，所以AP是BC的垂直平分线，所以BP=PC,故选项

A是真命题，不符合题意；因为AD_LBC,即PD_LBC.又因为PB二PC,所以D是BC中点,所以AP是BC的垂直平

分线，所以AB二AC,故选项B是真命题，不符合题意:若AB=AC,/1=/2,则AD±BC,D是BC中点，所以AP

是BC的垂直平分线，所以BP=PC,故选项C是真命题，不符合题意；由PB=PC,N1=N2,不能得至IJABnAC，故选

项D是假命题，符合题意.

3.B【解析】第一步：以B为圆心,适当长为半径画弧.分别交射线BA,BC于点D,E.所以a>0；第二步：分

别以D,E为圆心，大于；。说)长为半径画弧，两弧化NABC内部交于点P,所以/)皂。£；第三步：画射线BP,

射线BP即为所求作.故选B.

4.A【解析】因为AF平分NBAC,所以NBAF二NCAF.因为ED_LAC,即ND=90。，且NDEA=20。,所

以□ZL1O90+20=110，所以匚6力尸=口。/=?匚84055口,NB+NC=70°.又因为NB:NC=2:5,所以NB=20°,NC:

50°.因为NAFC=ZB+ZBAF.fifrlUZAFC=20°+55°=75°.S^A.

5.C【解析】连接DF,如图.囚为AE=DE,所以5AEr=SEDF、S月8产SABDE•囚为BD苴

4c，所以S§力产2s[℃尸，所以$”产5口的r=2S[℃尸,所以SM8C=5S匚℃/,所以S[次尸1。，5=2,'D。

所以S=3^^^=2S[oc尸2x2=4.

6.D【解析】A选项，根据边角边可以推出剪下的两个三角形全等，故A选项不符合题意；B选项，根据边

角边可以推出剪下的两个三角形全等，故B选项不符合题意；C选项，如图(1),因为NDFC=NDFE+NEFC,NDF

C=ZB+ZBDF,ZB=ZDFE=50、所以NEFC=ZBDF.又因为BD=FC,ZB=NC,所以△DBkWZXFCE(角

边角)，所以可以推出剪下的两个三角形全等,故C选项不符合题意；D选项，如图(2),根据C选项同理可得/EF

C=NBDF,NB二NC，但EC与BD不是一组对应边,所以两个三角形不一定全等，故D选项符合题意.故选D.

图（1）图（21

7.A【解析】作QF_LAC.交AC的延长线于点F,则NQFC=90。.因为△ABC是等边三角形,PE±AC于点E,

所以NA=ZACB=60。,/PEA=90。,所以ZPEA=ZQFC.因为NACB:NQCF,所以NA=ZQCF.在^PE

□/1=DCCF,

QFC中，｛□尸"=□。歹C所以△PEA丝△QFC（角角边），所以AE=CF,PE=QF.因为AC=AE+EO4,所以EF=CF+

PA=QC,

口PED=DQFD,

EC=4.因为NPED=90°,ZQFD=90°,所以NPED=NQFD.在△PED和△QFD中，｛□&»=□尸。。,所以△PE

PE=QF,

D0△QFD（角角边）.所以DE=FD.因为DE+FD=EF=4,所以DE=2,娟A.

8.D【解析】因为将△ADC绕点A顺时针旋转90。后得到△AFB.所以△ADC也△AFB,故①正确,②无法证

明，故②不一定正确.③由旋转的性质得AF=AD,/FAD=90。.因为NDAE=45。.所以/FAE=ZDAE=45°.在△AE

F和4AED中，因为AF=AD,NFAE=/DAE,AE=AE,所以△AEFgZ\AED,故③正确.④因为^ADCW/XAFB,所以DC

二BF.因为△FAEgADAE,所以EF=ED.因为BF+BE>EF,所以DC+BE>ED,故④错误.古嬷D.

9.80。或40。【解析】当NACB为锐角时，如图(1),则/BAD=180O-NB-/ADB=180。-30。-90。=60。,所以

NBAC=NBAD+/CAD=600+20°=80°;当/ACB为钝角时.如图(2),则NBAD=180°-ZB-ZADB=180o-300-90o=60°,

所以ZBAC=NBAD-NCAD=6(r・20o=40。.综上所述,ZBAC=80。或4(1°.

10f或1()【解析】当P任OA上,PO=Q。时,△POQ是等腰二角形，如图(1)所示.因为PO=AO-AP=(10-2t)c

m,OQ=lcm,所以当PO=Q。时,10-2t=L解得片弓.当P在OB上.PO=Q。时,△POQ是等腰三角形，如图(2)所示.因

为PO=AP-AO=(2t-10)cm,OQ=tcm,所以当PO二QO时,2t-10=t,解得t=10.故当片令或时，4POQ是等腰三角形•

11②③④【解析】如图.延长EB至G,使BG=BE,连接AG,设AC与DE交于点M.因为

D

ZABC=90°,所以ABJLGE,所以AB垂直平分GE,所以AG=AE,所以UG48=BAE=\

口。/所以/GAE=NCAD,所以ZGAE+NEAC=ZCAD+ZEAC,所以/\

AG=AE,G

GAC=ZEAD.在aGAC与△EAD中，｛匚C4c=n口。,所以△GACg△EAD(边角边)，所

AC=AD,

以ZG=NAED,NACB=NADE.故②正确.因为AG=AE,所以NG=/AEG=NAED,所以EA平分/BED.当ZBA

E=ZEAC时，ZAME=NABE=9(F,即AC_LDE;当NBAErNEAC时,/AMErNABE,故无法说明AC_LDE,故①

不正确设ZBAE二x.则NCAD=2x,所以JACD=3ADC==90一工当AB//CD时,/BAC=ZACD=90°-x,所以NC

AE=NBAC-NEAB=90°-x-x=90°-2x,所以NDAE=NCAE+NDA0900・2x+2x=90°3JHUAE_LAD,故③正确.因为

△GAC9AEAD,所以CG=DE.因为CG=CE十GE二CE十2BE,所以DE=CE+2BE,故④正确.故笞案为@@@.

12.【证明】因为AD〃CE,所以NA=ZCEB=60。.因为NCEB=NB.所以CE=CB.又因为NCEB=60。,所以△CE

B是等边三角形.

13.【解】⑴如图⑴，点F即为所求.

B

图⑴

(2)如图⑵,△DMN即为所求.

14(1)【证明】因为AD平分/BAC且DE_LAB,DF±AC,所以ZEAD=ZFAD,ZDEA=ZDFA=90°,D

E=DF,所以点D在EF的垂直平分线上.所以△AEDg△AFD所以AE=AF,所以点A在EF的垂直平分线上，所

以AD垂直平分EF.

(2)【解】由⑴得DF=DE=3,因为AB+AC=10,5AR(^\ABDE+\ACDF=；(/15+AC)DE=15.

15【情境再现】

【证明】由材料知4OBE^^OAF,所以BE=AF,OE=OF,NBEO=/AFO,所以NBEH二NAFG.因为OH=OG.所以

OH-OE=OG-OF,BPEH=GF.

BE=AF,

在ABHEAGF中,{-嘴;:浮

所以△BHEdAGF(边角边)，所以