2026七年级数学上册第一章《有理数》知识点总结+练习

【新七年级】上册数学知识点总结

第一章有理数

一、有理数：

1.定义：

凡能写成4（P,q为整数且P右0）形式的数，都是有理数，整数和分数统称

P

有理数.

注意：0即不是正数，也不是负数；

-a不一定是负数，+a也不一定是正数;

n不是有理数；

2.有理数的分类：

,

［正整数'正整数

正有理数・整数<

L正分数■整数

①有理数<零②有理数•

负有理数阔,正分数

分数1

负分数

Li

3.注意:

有理数中，1、0、7是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴

上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；

4.自然数6。和正整数：

a>0-a是正数；

a<0-a是负数；

a，0-a是正数或0一a是非负数；

aWO—a是负数或0—a是非正数。

二、数轴

数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。

三、相反数

1•只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还

是0。

2.注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；

3•相反数的和为0Ua+b=OUa、b互为相反数。

4.相反数的商为7。

5.相反数的绝对值相等。

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四、绝对值

1.正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0,负数的绝对值等于它的相反数;

注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

2,绝对值可表示为：,,

Ia(a>0)/、八、

团=<；0(a=0)或=a~

l-a(a<0)次[-a(a«0)'

|a||a|

--=1oa>0.—=—1<=>a<0.

3.a'a'

41al是重要的非负数,即|a|20；

五、有理数比大小

1,正数永远比0大，负数永远比0小；

2,正数大于一切负数；

3.两个负数比较，绝对值大的反而小；

4,数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

5.-1,-2,+1,+4,-0.5,以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越

接近标准。

六、倒数

1.定义：乘积为1的两个数互为倒数；

2•注意：(1)0没有倒数；

(2)若ab=1a、b互为倒数；

(3)若ab=Ta、b互为负倒数.

3.等于本身的数汇总：

⑴相反数等于本身的数：0

⑵倒数等于本身的数：1,-1

⑶绝对值等于本身的数:正数和0

⑷平方等于本身的数:0,1

⑸立方等于本身的数：0,1,-1.

七、有理数加法法则

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2.异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小

的绝对值；

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3.一个数与0相加，仍得这个数.

八、有理数加法的运算律

1.加法的交换律：a+b=b+a；

2.加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

九、有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+(-b).

十、有理数乘法法则

1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

2.任何数同零相乘都得零；

3.几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数

个负数为正。

十一、有理数乘法的运算律

1.乘法的交换律：ab=ba；

2.乘法的结合律:(ab)c=a(be)；

3.乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac.(简便运算)

十二、有理数除法法则

除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即/无意义。

十三、有理数乘方的法则

1.正数的任何次累都是正数；

2.负数的奇次幕是负数；负数的偶次鬲是正数；

十四、乘方的定义

1.求相同因式积的运算，叫做乘方；

2.乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫

做幕；

3.a?是重要的非负数,gpa2^0；若a?+|重=00a=0,b=0；0.12=0.01

4、据规律12=1底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动两位。

102=100

十五、科学记数法

把一个大于10的数记成aX1(r的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这

种记数法叫科学记数法。

十六、近似数的精确位

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一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。

十七、混合运算法则

1.先乘方，后乘除，最后加减；

2.注意：不省过程，不跳步骤。

十八、特殊值法

是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能

用于证明。常用于填空，选择。

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【第一章有理数课后八大题型突破】

题型一相反意义的量

【例1】（2023秋・湖南郴州・七年级统考期末）如果零上+5℃记作。C,那么

零下3℃记作℃.

巩固训练

1.（2023"江苏・七年级假期作业）如果生产成本增加5%记作+5%,那么生产

成本降低10%记作.

2.（2023秋・陕西渭南・七年级统考期末）在“生活中的数学”知识竞赛中，

若将加20分记为+20分，则扣15分记为分.

3.（2023-江苏・七年级假期作业）我国古代著名的数学专著《九章算术》中

有注：“今两算得失相反，要令正负以名之意思如下：“今有两数若其意义

相反，则分别叫做正数和负数如果收入100元记作+100元.那么-80元表

题型二有理数的分类

【例2】（2023•全国•七年级假期作业）把下列各数分别填入相应的集合内:

2,-3.14,-5,,-0.121221222.....,

37

⑴正数集合・,・}

⑵负数集合…}

⑶整数集合…}

（4）分数集合…}

图

1.（2023秋•全国•七年级专题练习）把下列各数填入相应的大括号内上：一,

0.618,-3.14,260,-2009,-0.010010001-,-n,0,-1.

有理数集合：｛

整数集合：｛

非正数集合：｛

2.（2023■江苏・七年级假期作业）把下列各数分别填入相应的集合:+26,0

-8,n,-4.8,-17,一2?，0.6,福5

/O

正有理数集｛｝;

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非负数集｛｝;

非负整数集｛｝;

分数集｛｝.

3.（2023-江苏-七年级假期作业）请把下列各数填在相应的集合内-5,

0.34,-2p20,-1,0.

正数集合｛……｝;

负整数集合｛……）；

整数集合｛……1;

分数集合｛……1;

非正数集合｛……｝;

非负整数集合｛……｝.

题型三求一个数的相反数、绝对值、倒数

[例3]（2023秋-黑龙江绥化-七年级校考期末）T相反数是;绝对

值是;倒数是.

巩固训练

1.（2023-江苏-七年级假期作业）-3的绝对值为,相反数为.

2.（2023春・上海宝山•六年级校考阶段练习-吊的相反数是,倒数

是.

3.（2023•江苏•七年级假期作业）-的相反数是是的倒数是.

4.（2023秋・湖北武汉・七年级统考期末）-9相反数是,绝对值

是,倒数是.

5.（2023秋・山东枣庄・七年级统考期末）|^|的相反数是,倒数

是.

6.（2023•江苏•七年级假期作业）|~||的相反数是|-||的倒数

是.

题型四用数轴上的点表示有理数

【例4】（2023秋■山西朔州•七年级统考期末）把下列各数-22,-|-3|,+（弓），

-（-2）在数轴上表示出来，并用“V”把它们连接起来.

-5-4-3-2-101234567

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巩固训练

1.（2023秋・辽宁沈阳・七年级沈阳市第一三四中学校考阶段练习）补全数

轴.表示下列各数，并用“/连接起来.

/、2

-㈠5）,0,--y,-4,+3.

itaiiiflaiai

-5-4-3-2-1012345

答：___________

2.（2023秋•七年级单元测试）用数轴上的点表示下列各数，并用“v”号把各数从小到大连起来.

-5,3,一卜3|,-(-5),3；.

-5-4-3-2-1012345

3.（2023秋•河北邢台•七年级校考阶段练习）已知6个有理数：j,0,-4,-卜；），-1,H,按要求

完成下列各小题.

（1）互为相反数的一组数是;

⑵将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上；

11111111III

.5-4-3-2-1012345

（3）在这6个有理数中，负数有个，最小的数是.

题型五数轴上两点间的距离

【例5】（2023•江苏•七年级假期作业）数轴上表示有理数-4.5与3.5两点的距离是.

巩固训练

1.（2023・江苏•七年级假期作业）数轴上数-5和-14的两点间的距离是,与-5相距9个单位的点

是.

2.（2023秋•河南洛阳•七年级统考期末）点/、B、C在同一条数轴上，其中点/、8表示的数分别为-4、

1,若BC=2,则力。等于.

3.（2023秋•山东枣庄•七年级校考期末）点/在数轴上表示数-3,点8在数轴上距离点力有5个单位

长度，则点8表示的数为.

题型六有理数的加减乘除乘方混合运算

【例6】（2023秋•河南许昌•七年级统考期末）计算：

⑴8+仁卜一用

（2）-（-3-5）+3x（1-3）；

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1f1Y/,\2022

（3）-2-x--+^--JX—1）.

巩固训练

1.(2023•全国•七年级假期作业)计算:

⑴(-8)x(-6)x(—L25)xg；(2)(-81)晨一2：卜?(一8).

2.(2022秋•广东深圳•七年级校考阶段练习)混合运算：

(1)-2?x：+4+《+(-1严J(2)T4+|2_(-3)2|+g.

3.(2023春•上海宝山•六年级校考阶段练习)计算下列各题：

⑴一5-(-11)+2；-(一,)；(2)3-2g[W)+(—0.5)；

(3)8+3#(一0/25)(下｝⑷勺卜欢以

⑸(-2呵—Xq)；(6)[-5|)X(-2)+(-5.6)X7-4X^5^|；

(7)-3?+5x(—6)-(-4)2-K-8)：(8)100+164-(-2)4-1-|-100|.

题型七有理数的加减乘除混合运算的应用

【例7】(2023・浙江•七年级假期作业)现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来

表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表

标准质量的差(单位：千克)-2-1.5-1022.53

箱数1322241

请解答下列问题：

(1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重_千克.

(2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？

(3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元?

巩固训练

1.(2023春•黑龙江哈尔滨•六年级哈尔滨德强学校校考期中)某仓库将运进货物记为正，运出货物记为

负，一周进出数的记录如下表(单位：吨)

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计

+26-16+42-30-25-9+6

表中星期五的进出数被墨水涂污了.

(1)请你算出星期五的进出数；

(2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？

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2.（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的

运营是在一条东西走向的大道上.如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米）+15,

-3,+14,-11,+10,-18,+14

（1）将最后••名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？

（2）离开下午出发点最远时是千米；

⑶若汽车的耗油量为0.15升/千米,油价为9.6元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？

题型八用科学记数法表示绝对值大于1的数

【例8】（2023春・江西南昌•九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为S923W。牛.将

5923000用科学记数法表示应为.

巩固训练

1.（2023•广东•统考中考真题）2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆

满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（）

A.0.186xl05B.1.86x10sC.18.6xl04D.186x6

2.（2022秋・山西忻州•七年级校考阶段练习）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年4月25日至

27日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款

约2500亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目.数据2500亿用科学记数法表示为.

3.（2023春•上海闵行•六年级校联考期末）4月28日，铁路上海站迎来今年以来单日最高客流，共计

发送旅客55.8万人次，这个数据用科学记数法表示为人.

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第一章有理数（八大题型突破）参考答案

题型一相反意义的量

【例1】（2023秋・湖南郴州•七年级统考期末）如果零上5C记作+5C,那么零下3C记作℃.

【答案】-3

【分析】先根据零上5℃记作+5℃,再根据正数和负数的表示方法，即可表示出零下3,C.

【详解】解：••・零上5℃记作+5℃,

・•・零下3c记作-3C,

故答案为：-3.

【点睛】本题考查了正数和负数的表示方法，解题的关键是能根据题意正确表示出具有相反意义的量.

巩固训练

1.（2023•江苏•七年级假期作业）如果生产成本增加5%记作+5%,那么生产成本降低10%记作.

【答案】-10%

【分析】审清题意，明确"正''和"负''所表示的意义，再根据题意解答即可.

【详解】解：•••成本增加5%记作」5%,

•••生产成本降低10%记作-10%；

故答案为：-10%.

【点睛】此题考查了正数和负数，解题关键是理解"正''和"负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义

的量.在一对具有相反意义的最中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

2.（2023秋•陕西渭南•七年级统考期末）在“生活中的数学”知识竞赛中，若将加20分记为+20分,

则扣15分记为分.

【答案】75

【分析】根据相反意义的量进行解答即可.

【详解】解:在“生活中的数学”知识竞赛中,若将加20分汜为+20分，则扣15分记为-15分.

故答案为：-15.

【点睛】本题主要考查了相反意义的量，解题的关键是理解题意，熟练掌握正、负数的意义.

3.（2023•江苏•七年级假期作业）我国古代著名的数学专著《九章算术》中有注：“今两算得失相反，

要令正负以名之.”意思如下：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数.”如果收入100元记作

+100元.那么-80元表示.

【答案】支出80元

【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，即可得.

【详解】解：根据题意得，-80元表示支出80元，

故答案为：支出80元.

【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是理解题意，掌握正负数的意义.

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题型二有理数的分类

【例2】(2023•仝国•七年级假期作业)把下列各数分别填入相应的集合内：2,-3.14,-5,%,y,

-0.1212212221...,

(1)正数集合：｛…｝;

(2)负数集合：｛…｝;

(3)整数集合：｛…｝;

(4)分数集合：｛...｝；

【答案】⑴2,py

(2)-3.14,-5,-0.1212212221...

⑶2，-5

22

(4)-3.14,—

【分析】根据有理数的分类方法求解即可.

【详解】⑴解：正数有：2,y,y,

故答案为：2,y,,；

(2)解：负数有：-3.14,-5,-0.1212212221...；

故答案为：-3.14,-5,-0.1212212221...；

(3)解：整数有：2,-5；

故答案为：2,-5；

(4)解：分数有：-3.14,y;

22

故答案为：-3.14,

【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键.

巩固训练

1.(2023秋•全国•七年级专题练习)把下列各数填入相应的大括号内上：

一；，0.618,-3.14,260,-2009,-0.010010001...,一乃，0,-1.

有理数集合：｛…｝;

整数集合：｛...｝;

非正数集合：｛…｝.

【答案】见解析

【分析】分别根据有理数、整数、非正数的定义进行判断填写即可.

【详解】解：有理数集合：｛-1,0.618,-3.14,260,-2009,1,0,-1);

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整数集合：｛260,-2009,0,-1）；

非正数集合：｛-1,-3.14,-2009,-0.010010001...｝.

【点睛】本题主要考查有理数的分类，注意无限不循环小数、兀不是有理数，分数中包括小数，理解带

"非''字的有理数是解答此题的关键.

775

2.（2023•江苏•七年级假期作业）把下列各数分别填入相应的集合：+26,0,-&-4.a-17,—,0.6.

/O

正有理数集｛｝:

非负数集｛｝;

非负整数集｛｝;

分数集｛｝.

?222225

【答案】+26,—,0.6；+26,0?71,—0.6；+26,0;-4.8,—,0.6,--

77f78

【分析】根据有理数的分类进行判断即可.

22

【详解】解：正有理数集｛+26,y,0.6｝；

非负数集｛+26,0,y,0.6｝；

非负整数集｛+26,0｝；

225

分数集｛-4.8,0.6,—｝.

/O

7722225

故答案为：+26,—,0.6；+26,0,兀，—,0.6；+26,0；-4.8,—,0.6,--.

77/o

【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的

定义与特点，解题的关键是注意整数和正数的区别，注意。是整数，但不是正数.

3.（2023•江苏♦七年级假期作业）请把下列各数填在相应的集合内：y,-5,0.34,-2^,20,-1,0.

正数集合｛……｝:

负整数集合｛……｝;

整数集合｛……｝;

分数集合｛……｝:

非正数集合｛……｝;

非负整数集合｛……｝.

【答案】y90.34,20；—5,-1；-5,0,20,-1；y,0.34,-2y；-5,-2—,0,-1；0,20.

【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解.

【详解】正数集合收，0.34,20,

负整数集合『5,-1,

整数集合上5,0,20,-1,

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分数集合,034,-2y

非正数集合｛-5,-21,0,-1,

非负整数集合｛0，20,...｝.

故答案为：y,0.34,20；—5,-1；—5,0,20,-I；y,0.34,-2y；—5,-2y,0,-1；0,20.

【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.

题型三求一个数的相反数、绝对值、倒数

【例3】（2023秋•黑龙江绥化•七年级校考期末）-：相反数是；绝对值是；倒数是.

【答案】

【分析】只有符号不同的两个数互为相反数.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的

相反数；。的绝对值是0.倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数,利用这些

知识即可求解.

【详解】解：］相反数是（，绝对值是g,倒数是-3.

故答案为：；，g,-3.

【点睛】本题考查了相反数和倒数的定义，以及绝对值的意义，解题的关键是熟记定义.

巩固训练

1.（2023•江苏•七年级假期作业）-3的绝对值为,相反数为.

【答案】33

【分析】负数的绝对值是它的相反数，绝对值相同、符号不同的两个数互为相反数，由此可解•.

【详解】解：-3的绝对值为3,相反数为3.

故答案为：3,3.

【点睛】本题考查绝对值和相反数，解题的关键是掌握绝对值和相反数的概念.

2.（2023春・上海宝山•六年级校考阶段练习）-4；的相反数是,倒数是.

【答案】|

【分析】根据倒数和相反数的定义进行求解即可.

1902

【详解】解：=-£的相反数是£，倒数是-5，

故答案为：?，­.

【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数和求一个数的相反数，熟知倒数和相反数的定义是解题的关

键：如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数，0的相反数是0；如果两个数的乘积为1,

那么这两个数互为倒数.

第13页共24页

3.（2023•江苏•七年级假期作业）的相反数是,是的倒数是.

【答案】夕0.5-2

【分析】根据相反数和倒数的定义即可解答.

【详解】解：-g的相反数是g，

・・・-我-2）=］，

・・・-；是的倒数是-2,

故答案为：y»-2.

【点睛】本题考查了相反数和倒数的定义，理解相反数和倒数的定义是解题的关键.

4.（2023秋•湖北武汉•七年级统考期末）-9相反数是,绝对值是，倒数是.

【答案】99

【分析1根据相反数、绝对值和倒数的定义进行解答即可.

【详解】解：根据题意得：

-9相反数是9,绝对值是9,倒数是-"，

故答案为：9,9,-1.

【点睛】本题考查了相反数、绝对值、倒数的定义，熟练掌握相反数、绝对值、倒数的定义是解题的

关键.

5.（2023秋•山东枣庄•七年级统考期末）的相反数是,倒数是.

【答案】~1

22

【分析】先根据绝对值的意义求出再根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两

个数互为倒数进行求解即可.

22

【详解】

g的相反数是-倒数是

故答案为：-

【点睛】本题考查了化简绝对值，相反数和倒数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键.

6.（2023•江苏•七年级假期作业）的相反3数3是,-:的倒数是.

【答案】|

【分析】①先计算的值，再根据相反数的定义求解即可.

第14页共24页

②先计算-々的值，再根据倒数的定义求解即可.

【详解】①,・・-白=,，:的相反数是

4的相反数是-最

故答案为：

②,・・_鸿,〈的倒数是】

・・・-4的倒数是；

故答案为：I

【点睛】本题主要考查了绝对值、相反数和倒数，掌握绝对值、相反数和倒数的定义是解题的关键.

题型四用数轴上的点表示有理数

【例4】(2023秋•山西朔州•七年级统考期末)把下列各数-2?,-1-31,+(-；),-(-2)在数轴上表示出

来，并用“V”把它们连接起来.

-5-4-3-2-101234567

【答案】-2晨-1-3|<+(-]<-(-2),详见解析

【分析】先通过计算乘方、化简绝对值、化简多重符号对给出的4个数进行化简，再在数轴上表示出

来，进而排序.

【详解】解：一2?=-4,-|-3|=-3,=«2)=2.

在数轴上表示为：

-2:-|-3|+(-2)-(-2)

1..」」•」1.」」」I」»

-5-4-3-2-101234567

观察数轴可知：-22<-|-3|<+f-1|<-(-2).

【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，比较有理数的大小，计算乘方，化简绝对值，化简多重

符号等知识点，解题的关键是能够利用数轴比较有埋数的大小.

巩固训练

1.(2023秋♦辽宁沈阳•七年级沈阳市第一三四中学校考阶段练习)补全数轴.表示下列各数，并用“>”

连接起来.

2

-(-1.5),0,~»-4,+3.

-5-4-3-2-1012345

答：.

第15页共24页

2

【答案】见解析，+3>-(-1.5)>0>--->-4

【分析】先将各数化简，然后在数轴上表示，用“)”连接起来即可.

【详解】解：-|-||=-|,

在数轴上表示如下：

-4

-5-4-3-2-1012345

2

用“〉”连接如下：+3>-(-1.5)>0>--->-4.

【点睛】题目主要考查绝对值的化简及有理数在数轴上的表示、大小的比较，熟练掌握有理数的大小

比较的方法是解题关键.

2.(2023秋•七年级单元测试)用数轴上的点表示下列各数，并用号把各数从小到大连起来.

-5,3,-|-3|,一(-5),3；.

-5-4-3-2-1012345

【答案】数轴见解析，-5<-|-3|<-|<3<31<-(-5)

【分析】将各点标记在数轴上，根据“右边的数总比左边的数大”即可得出结论.

【详解】解：-H=-3,-(-5)=5,

如图，

51

-5-|-3|-T3-(-5)

i:-3-2~4012345

.*.-5<-|-3|<-|<3<31<-(-5).

【点睛】本题考查了有理数的大小比较以及数轴，牢记“右边的数总比左边的数大”是解题的关键.

3.(2023秋•河北邢台•七年级校考阶段练习)已知6个有理数：1,0,-4,-卜£|,H,按要求

完成下列各小题.

(1)互为相反数的一组数是;

⑵将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上；

lilt1,11111

-5-4-3-2-1012345

(3)在这6个有理数中，负数有个，最小的数是.

【答案】(1)~4和IT

第16页共24页

（2）见解析

（3）2,-4

【分析】（1）,将各数化简，再根据相反数的定义确定即可；

（2）,将各数之间在数轴上描出即可；

（3）,根据负数的定义判断，再比较有理数的大小得出答案.

【详解】（1）由-|-4|=4,

可知-4和IT互为相反数.

故答案为：-4和IT;

（2）如图，

35

-4~20-（-2）2|-4|

--1111•！1--->

-5-4-3-2-1012345

（3）负数有-4,共2个；由T〈-£<0<?<卜4],

可知最小的数是-4.

故答案为：2,-4.

【点睛】本题主要考查了在数轴上表示点，相反数，有理数大小的比较等，掌握定义是解题的关键.

题型五数轴上两点间的距离

【例5】（2023•江苏•七年级假期作业）数轴上表示有理数-4.5与3.5两点的距离是.

【答案】8

【分析】根据数轴上两点距离公式进行求解即可.

【详解】解：由题意得，数轴上表示有理数45与3.5两点的距离是3.5-（-4.5）=8,

故答案为:8.

【点睛】本题主要考查了数轴上的两点距离公式，解题的关犍在于熟知对于数轴上的两个数。、b,这

两个数的距离为|"耳.

巩固训练

1.（2023・江苏•七年级假期作业）数轴上数-5和-14的两点间的距离是,与-5相距9个单位的点

是•

【答案】94和T4

【分析】直接根据数轴作答即可.

【详解】数轴上数-5和-14的两点间的距离是-5-（-14）=9,与-5相距9个单位的点是-5+9=4和

—5—9=—14,

故答案为：9；4和-14.

【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的求法，两点间的电离=右边的点表示的数一左边的点表示

第17页共24页

的数；或者两点间的距离=两数差的绝对值.

2.（2023秋・河南洛阳•七年级统考期末）点4、8、C在同一条数轴上，其中点/、8表示的数分别为-4、

1,若6c=2,则力。等于.

【答案】3或7/7或3

【分析】根据题意求出48,分点C在点〃的右侧和点。在点3的左侧两种情况计算.

【详解】・・,点4、B表示的数分别为-4、1,

AB=5f

第一种情况：点C在力8外，如图，JC=5+7.=7；

ABC

―I----1----1----1--1-----1I----1JI----L->

-53-3-2-1012345

第二种情况：点。在内，如图，"=5-2=3；

ACB

—J----1--1----1----1-----1----1----1----1----1----

-5-4-3-2-1012345

故答案为；3或7.

【点睛】本题考查了数轴的知识，灵活运用分情况讨论思想，掌握在数轴上表示两点之间的距离是解

题的关罹.

3.（2023秋•山东枣庄•七年级校考期末）点4在数轴上表示数-3,点8在数轴上距离点力有5个单位

长度，则点B表示的数为.

【答案】-8或2/2或-8

【分析】设点8表示的数为x,再由数轴上两点间的距离公式即可得出结论.

【详解】解：设点8表示的数为工，则

卜+3|=5,

解得：x=-8或x=2.

故答案为：-8或2.

【点睛1本题主要考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键.

题型六有理数的加减乘除乘方混合运算

【例6】（2023秋・河南许昌•七年级统考期末）计算：

⑴8+信卜+）

⑵-（-3-5）+3乂（1-3）；

⑶一2、—：+（一;）+（—1产2.

【答案】（呜7

第18页共24页

(2)2

(3)-|

【分析】(1)根据有理数的加减t-算即可.

(2)先算小括号里面的，然后进行乘法计算，再进行减法运算即可.

(3)根据平方、立方，绝对值的意义，进行计算即可.

【详解】(1)8+(--[-1)=(8-5)+(-；+1)=3+g=g

(2)-(-3-5)+3X(1-3)=8+3X(-2)=8-6=2

I1)十产一卜1)9

(3)-22x+

4<"2;8

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序是解题的关键.

巩固训练

1.(2023・全国•七年级假期作业)计算:

1/1、4

⑴(-8)K(-6)X(-L25)X§；⑵(-81)+卜21卜§子(-8).

【答案】(1)-20

(2)-2

【分析】(1)根据有理数乘法运算法则进行计算即可；

(2)根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可.

【详解】(1)解：(-8)x(-6)x(-1.25)x：=-8xl.25x6x；=-10x2=-20；

(2)解：(-81)f2；卜？(—8)=(—81)'(—《卜?(-1)=_8以3状=_2.

【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算法则，准确计算.

2.(2022秋•广东深圳•七年级校考阶段练习)混合运算：

⑴一26+4+3+(-产.(2)-14+|2-(-3)2|-

【答案】⑴7

可

【分析】(1)先算乘方，再算乘除法，最后算加减；

(2)先算乘方，再算除法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，

要先做绝对值内的运算.

141Q

【详解】(1)解：-22X-+4^-+(-1)20,3=-4X-+4X--1=-19-1=7

4944+;

(2)解：-I4+|2-(-3)2|4-^=-l+|2-9|-^x|=-1+7-1=-y.

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方,

第19页共24页

再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运

算，注意乘法运算定律的应用.

3.(2023春・上海宝山•六年级校考阶段练习)计算下列各题；

⑴-5-(-1++；

⑶8*卜扑(-0/25){斓；⑷4(-|卜卜。

⑸(-24)x(—⑹1_5|)X(-2)+(-5.6)X7-4X(_5?；

(7)-3?+5x(-6)-(-4)~H-司；(8)100+16-r-(—2)4———|—100|.

【答案】(1)9

⑵T

(3)-y

(4)-|

(5)13

(6)-5|

(7)-37

(8)|

【分析】(1)(2)根据有理数的加减计算法则求解即可;

(3)根据有理数的乘法计算法则求解即可；

(4)根据有理数的乘除混合计算法则求解即可；

(5)根据有理数乘法分配律求解即可；

(6)根据有理数四则混合计算法则求解即可；

(7)(8)根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可.

【详解】(1)解：原式=-5+11+2/彳=(-5+11)+2-+-=6+3=9;

(2)解：原式=/5一(2齐0.5)=2—3=7；

(3)解：原式=(一°.125X8)x(*x-^^=(-l)x-y

(4)解:原式二31|卜卜『［；

(5)解：原式=(一24)X-1^+(-24)x1x^-^^=20-9+2=13

(6)解：原式=(一5目>(-2+7_4)=151>1=_5}

(7)解：原式二一9+(-30)—16+(-8)=-9一30—(一2)=一9-30+2=—37；

第20页共24页

114

（8）解：原式=100+16+16——100=100+1——100=-.

555

【点睛】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键.

题型七有理数的加减乘除混合运算的应用

【例7】（2023・浙江•七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来

表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表

标准质量的差（单位：千克）-2-1.5-1022.53

箱数1322241

请解答下列问题：

（1）这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重一千克.

（2）与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？

（3）若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？

【答案】（1）最重的一箱比最轻的一箱重5千克.

（2）与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过8.5千克.

⑶这15箱苹果全部售出共可获利3068元.

【分析】（1）从表格中找出与标准质量差值中的最大与最小的数据，用最大数减去最小数，即可得到;

（2）用表中的差值乘对应的箱数，再求和，若结果为正，则超过标准；若结果为负，则不足标准；

（3）用单价乘以总质量，即可得到答案.

【详解】（1）解：3-（-2）=5（千克），

答：最重的一箱比最轻的一箱重5千克.

（2）解：-2+（-1.5x3）+（-lx2）+0x2+2x2+2.5x4+3x1=8.5（千克），

答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过8.5千克.

（3）解:25x15+8.5=383.5（千克）,

383.5x8=3068（元5

答：这15箱苹果全部伐出共可获利3068元.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解与标准质量的差值是关键.

巩固训练

1.（2023春•黑龙江哈尔滨•六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为

负，一周进出数的记录如下表（单位：吨）

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计

+26-16+42-30-25-9+6

第21页共24页

表中星期五的进出数被墨水涂污了.

(1)请你算出星期五的进出数；

(2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？

【答案】(1)星期五的进出数为+18吨

⑵1160元

【分析】(1)用这周进出数之和会减去除星期五的进出数，即可得；

(2)先求出这周总的装卸货物的重量，再乘10即可得.

【详解】⑴解:周五的进出数为6-(十26)-(-16)-(12)-(-30)-(-25)-(-9)

=6-26+16-42+30+25+9=+18(吨)，

答：星期五的进出数为+18吨.

(2)解：这一一周的装卸费为：(26+16+42+30+18+25+9)x10=1660(元).

【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握这些知识点.

2.(2023春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习)出租车司机小李某天下午的

运营是在一条东西走向的大道上.如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：(单位：千米)+15,

—3,+14,—11,+109—18,+14

(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？

(2)离开下午出发点最远时是千米；

⑶若汽车的耗油量为015升/千米,油价为9.6元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？

【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边

(2)26

⑶122.4元

【分析】(1)把所有的行程数据相加即可求出小李离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东

边，反之在西边；

(2)分别计算出小李每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可；

(3)耗油量=每千米的耗油量x总路程，总路程为所走路程的绝对值的和.

【详解】(1)解：小李离下午出车点的距离+15+(-3)+14+(-11)+10+(-18)+14=+21(千米).

答：将最后一名乘客送到