2025-2026学年广东省深圳市南山区高一（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年广东省深圳市南山区高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。

l.z=（1+/）（2-Z）的共飘复数♦.为（）

A.-3-iB.-3+iC.3+，D.3-Z

2.样本数据2,4,2,12,11的中位数和极差分别为（）

A.2和9B.2和10C.4和9D.4和10

3.已知在平面直角坐标系中，点儿B,C,。如图所示，则2.旧,而=

)

A.(7,5)

B.(1,5)

C.(5,7)

D.(5,1)

4.已知P,。两点到平面a的距离分别为2和4,则线段尸。的中点到a的距离为（）

A.IB.2C.3D.1或3

5.已知△力8c的直观图夕。是等腰直角三角形，如图所示，其中

上8C,O'A'=A'C=v'2»贝ij48=（）

A.1

B.2

C.、2

D.3

6在△NBC中,角4,3所对的边长为a,b,则％=6”是“acos4=bcosB”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

7.在正四面体力4。。中，M,N分别为棱力C,。。的中点，则异面直线4V与8M所成角的余弦值为

（）

A.B.—C.：D.—

664I

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8.从0,1,2,3,4这5个数字中选3个不同的数字组成三位数，则该三位数能被3整除的概率为

()

I5「32

A.B.C.D.

312N3

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。

9.已知向量7T,石的夹角为60°,且|)|=2,则()

A.a>hB.b'=lC.|a+ft*|=3D.|a-

10.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件“两次投掷的点数之和为偶数”为4事件"两次投掷的

点数之和为3的倍数”为B,事件“第一次投掷的点数不超过4”为C,贝I」()

A.,4与8互斥B.〃(〃厂

*>

C.P(AUB)=P(C)D.力与C相互独立

11.已知正方体48CQ-小81Goi的棱长为2,E,b分别是棱8小，A\D

的中点，点G在正方体表面运动，且EG=2,设点4,A,E,G均在

动球。的球面上，则()

A.四面体SCO尸的体积为:

B.不存在点G,使得GG平面43C

C.点G的轨迹长度为、3

・5

D.球。的表面积最大值为1，7

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知某班级女生和男生人数之比为4：5,若某次考试的班级平均分为80,且男生平均分为78,则女生

平均分为—.

13.已知圆锥的母线长为6,其侧面展开图是一个圆心角为::的扇形，则该圆锥的表面积为

14.已知正三角形月夕C的边长为3,且3方-过点。且垂直于4C的直线交△力AC的外接圆于M,

N两点，若点P为边8c上的动点，则丙，.「反的最大值为一.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.（本小题13分）

已知在△44C中，AB=v'3»BC=2,cosB=.

⑴求sinC；

（2）设。为力。的中点，求sii叱D8C

16.（本小题15分）

如图，在正三棱柱小31cl中，。为的中点.

（1）证明：力9||平面4G。：

（2）若/小=3,4B=2,求直线8G与平面44CC所成角的正弦值.

17.（本小题15分）

某学校开展了数学建模比赛活动，从全体参赛者中随机选出100人作为样本，并将这10（）人按成绩分成6

组：[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）,制作出如图所示数据不完

整的频率分布直方图，并计算出：成绩在[60,100）内的学生的平均成绩为「倘.25分.

（1）求”的值；

（2）由频率分布直方图估算全体参赛者成绩的第80百分位数：

（3）先按成绩进行分层，通过分层随机抽样的方法，从区间[50,60）,[70,80）,[90,100）抽取5

人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求恰有1人测试成绩位于区间[70,80）的概率.

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18.(本小题17分)

如图，在四棱锥尸-48CO中，40,平面P8O,」口而，.1。—V'3，PA=2PB=2.

(1)证明：平面尸/也上平面ABCD；

(2)若40=1,求点C到平面尸的距离：

(3)若1_00：、2,求二面角8-尸儿。的正切值的取值范围.

19.(本小题17分)

以法国数学家布洛卡命名的布洛卡点是三角形内部的特殊点，其定义如下：设尸是△力8C内一点，若

乙PAB—乙FBC—乙PCA—S,则称点尸为△月6c的布洛卡点，角。为△月6C的布洛长角.如图，在△.48。中,

BC=a工C=b,/lB=c,点、P为△/^BC的布洛卡点、,。为△48C的布洛卡角.

(1)若a=b,且PB=>/：，PA,求上历IC的大小；

P4PHPC

(2)证明：—•j-=2cos0；

cap

(3)若乙BAC=।,求tan。的最大值.

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1.【答案】D

2.【答案】。

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】A

7【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】BD

10.【答案】BCD

11.【答案】AC

12.【答案】82.5

13.【答案】167r

14.【答案】5

15.【答案】

niixLDBC

H

16.【答案】证明：连结SC,交BG于O,连结OQ,

A

•••正三棱柱43C-N山iC中,。为AC的中点,

•••O是8c的中点，•••ODII4囱，

平面BC\D,OOu平面BC\D,

••MSII平面BC\D

V；附

~13~

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17.【答案】0.03

86

3

5

18.【答案】因为平面尸8D,P8u平面PBD,

所以4。_1_尸从

由.1〃/，，PA=2PB=2,ABr+PB^PA2,BPABA.PB,

而,4。口力8=力，AD.jBu平面4BCD,

所以P81平面”CQ,

又P8u平面PAB,

所以平面PN8_L平面力8co

[也2V；2]

19.【答案】LBAC

AB

在A48P中,由正弦定理可得

SHIZABP>UI2APH)

乂AB=c,乙”8=兀-8-乙48尸=兀，力BC,故

PAftin(/.ARC—0\niiiZ.AR(rn>M—cr>«Z.4/?f'/did)nittO

-----------------=__________________________________=mzd—

■c.«tn(7—/.ARC)sinlAHCttuiZARC"

PBPCinO

同理可得=COtiQ---------———,———<Y#M

tanZ.BCAhtanZ.CAB'

PBPCcq一，11

MJ--—-3coMk"训-(---/.c+------,-.

btanZ.ABCt(mZ.BCAtatiZ.CAB

由正弦定理可wACACAC

在△力6中,

fftnZ.APC£APC)■in(。4ZP-IC)mn^BAC'

b-s

即有/M

八1

又T

Min^ABC

b•.••inB>tn.\li('nf>0CY/5.ABCahiO

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人MbiZn.AC-=sin/8C4sin乙48CcosO-sin44C4cosz^5CsinO,

即有，’‘•・“E,,3饵+小山川—