初中预习：有理数的乘法（含答案）

有理数的乘法

【思考1】2023年7月2X日将在成都举行第31届世界大学生夏季运动会，何宇鸿同学为了备战大运会,

沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。记何宇鸿在跑道上的某一位置为点。那么在点。

的3分钟后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，池位于这一点的哪个方向？相距多少米？

提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负。

1.有理数的乘法

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同（）相乘，都得0.

有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值.

有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘-1.

多个有理数相乘：几个不是。的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为

负数，即“奇负偶正几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0.

注意：有理数乘法运算分两步走，第一步，定符号，第二步，定数值;

2.有理数乘法运算律

乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等.ah=ba

乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，枳相

等.

abc=（ab）c=a（hc）

乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两人数相乘，再

把积相加.a（b+c）=ab+ac

注意：1）当用字母表示乘数时，源X”号可以写为“•”或省略；

2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为"0”或者互为相反数的因数，往往会起到事半功倍的效果；

3）公式的正用与逆用。

3.倒数

1）倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数.

（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数.（2）。没有倒数.

（3）互为倒数的两个数的乘积一定是1,即b互为倒数，则"6=1：反之亦然.

2）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可.

（1）#零整数可以看作分母为1的分数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数.

注意：1.注意是乘积为1,要与相反数的概念区分开来；2.万.为倒数的两个数的符号一定是相同的;

3.倒数等于本身的数有：1、-1：

考点1、有理数的乘法运算

【解题技巧】根据有理数乘法的法则计算即可。

例I.（2023•山西晋中•统考一模）计算（-2）x（-£）的结果是（）

122

A.2—B.—C.——D.6

333

【答案】B

【分析】直接根据负数乘以负数的运算法则计算即可.

【详解】（—2）X（-；）=2X；=|,故选：B.

【点睛】本题考查了负数乘以负数，熟练掌握其运算法则是解题的关键.

例2.（2022秋•云南昆明•七年级校考期中）在-2,3,-4,-5,6这五个数中，任取两个数相乘，得的

积最大的是（）

A.IOB.3（）C.20D.18

【答案】C

【分析】根据两数相乘，同号得正，又正数大于负数，所以（T）x（-5）=20最大.

【详解】因为正数大于负数，选择同号且绝对值的积较大的两数相乘，只有（-4）x（-5）=20最大.故选：C.

【点睛】本题考查有理数大小比较，有理数乘法，解题的关键是多次尝试.

变式I.（2023・浙江温州•校考三模）计算（-2）x3的结果是（）

A.1B.—1C.6D.—6

【答案】D

【分析】有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，据此求出算式的值是多少

即可.

【详解】解：（-2）x3=-6.故选：D.

【点睛】此题主要考杳了有理数乘法的运算方法，要熟练掌握运算法则.

2

变式2.（2023•河北保定・统考二模）下列算式中，与有理数-2§相等的是（）

A.（-2）x|B.-卜力C.-2+|D.-（2+手

【答案】D

【分析】根据有理数的加减，乘除法法则逐项判断即可.

242，2、42

【详解】A.（-2）、彳=一々工一2彳，故该诜项不符合题意：B.-2x-=--^-2-故该诜项不符合撅意:

C.-2+|=-^-2p故该选项不符合题意：D.-（2+斗-2],故该选项符合题意.故选：D.

【点睛】本题考查有理数的加减和乘除运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则.

变式3.(2022・重庆市•七年级期中)下列计算中错误的是()

A.—6x(—5)x(—3)x(—2)=180B.(-36)x(l-l-i)=-6+4+12=10

693

C.(-15)x(-4)x(+l)x(-l)=6D.-3X(+5)-3X(-1)-(-3)X2=-3X(5-1-2)=-6

52

【答案】c

【分析】根据有理数的乘法法则及乘法的分配律a(b+c)=ab+ac,分别进行判断.

【详解】解：A、—6x(—5)x(—3)x(—2)=180,正确;

R、(-36)、(!一!一!)=—6+4+12=10.应用了乘法分配律，正确：

693

C、(-15)x(-4)x(+1)x(-i)=6,有三个负因数，结果应为负数，错误；

D、-3X(+5)-3X(-1)-(-3)X2=-3X(5-1-2)=-6,逆用分配律，正确.故选C.

【点睛】本题主要考查了有理数的乘法法则及乘法的分配律，熟练掌握“几个不等于0的数相乘，积的符号

由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正”.

考点2、有理数乘法法则的辨析

【解题技巧】有理数乘法的法则

①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同零相乘，都得0.

③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个

时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

例I.(2022•安徽亳州市•七年级期中)现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0：②若两个

数互为相反数，则它们相乘的积是负数：③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，

则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有｛)

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【分析】根据有理数的分类、数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则分别对每一项进行分析

即可.

【详解】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0：故原命题错误；

②若两个数(非0)互为相反数，则它们相乘的积是负数：故原命题错误；

③任何一个有理数都可以在数釉上表示；故原命题正确；

④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确；

⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误.••・正确的有2个：故选：

A.

【点睛】此题考查了有理数的分类、数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则等知识点的运用,

属「基础题，注意概念的掌握，及特殊例子的记忆.

例2.（2022秋•浙江金华•八年级校考阶段练习）若仍c=0,则下列选项正确的是（）

A.a>b,c,没有一个为0B.a,b,c只有一个为0

C.ci,b,c,至少一个为0D.a,b,c三个都为0

【答案】C

【分析】根据任何数同零相乘，都得0，依此即可求解.

【详解】解：根据任何数同零相乘，都得0，

若abc=0,则4,b,。至少有一个为（），故选：C.

【点睛】本题考查根据任何数同零相乘，都得零，正确理解题意是解题的关键.

变式I.（2022•成都市温江区七年级月考）下列说法中正确的有（）

①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；

③数。、互为相反数，它们的积一定为负；④绝对值等于本身的数是正数.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】根据有理数乘法法则和相反数，绝对值的性质进行判断便可.

【解答过程】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误：

②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确：

③数6互为相反数，它们的积不一定为负，如心人都为0,它们互为相反数，但它们的积为0,不为负，

该小题说法错误；④绝对值等于本身的数是非负数，包括正数和0,不一定是正数，该小题说法错误；

故选：A.

变式2.（2022•澧县七年级月考）下列说法中，不正确的个数有（）

①符号相反的数叫相反数；②四个有理数相乘，若有两个负因数，则积为正；

③倒数等于本身的数只有1;④相反数等于本身的数只有0；

A.（）个B.1个C.2个D.3个

【解题思路】①根据相反数的定义即可求解；②根据有理数的乘法法则即可求解：

③艰据倒数的定义即可求解；④根据相反数的定义即可求解.

【解答过程】解：①只有符号相反的数叫相反数，故①符合题意；

②四个有理数（0除外）相乘，若有两个负因数，则积为正，故②符合题意；

③倒数等于本身的数有士1，故③符合题意；

④相反数等于本身的数只有。是正确的，故④不符合题意.故选：D.

考点3、利用有理数乘法法则判断符号

【解题技巧】符号判别方法：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数

个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

例I.(2022秋•广西南宁•七年级统考期中)下列算式中，积为负数的是()

A.0x(-5)R.4x(-0.2)x(-10)C.(-1.5)x(-2)D.

【答案】D

【分析】根据几个非零数相乘，负号的个数为奇数，积为负，负号的个数为偶数，积为正，任何数乘0,都

得0,进行判断即可.

【详解】解：0x(-5)=。，不符合题意；B、4x(-0.2)x(-I0),2个负号，积为正数，不符合题意;

C.(-1.5)x(-2),2个负号，积为正数，不符合题意；

D、(—3)x[—g)x(—g),3个负号，积为负数，符合题意：故选D.

【点睛】本题考查有理数乘法的符号法则.熟练掌握同号为正，异号为负，任何数乘0,都得0,以及几个

非零数相乘，负号的个数为奇数，积为负，负号的个数为偶数，积为正，是解题的关键.

例2.(2022秋•河北邢台•七年级校考阶段练习)如图，48两点在数轴上表示的数分别是&b,下列式

子成立的是()

___________1BI।I”>

-1b01a

A.ab>0B.a+b>0C.(tz-l)(/)+l)<0D.(a+l)(/)-l)>0

【答案】B

【分析】先根据数轴确定。，b的取值范围，再逐•判定即可解答.

【详解】解：由数轴可得：-1〈人

/.ab<0,a+b>0,(a-l)(Z>+l)>0,(a+l)(/>-l)<0,故选：B.

【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是根据数轴确定a,5的取值范围.

例3.(2022•四川遂宁•七年级校考阶段练习)若附>0,则必有()

A.a>0,/>>（）B.h<0C.tz>0,b<0D.a>0,〃>（）或者。<0,b<0

【答案】D

［分析］根据有理数的乘法法则求解即可.

【详解】解：力>0，••・”与人同号，二〃>0,方>0或者a<0，b<0,故选D.

【点睛】本题考查了有理数乘法法则，解题的关键是掌握：两数相乘，同号得正，异号得负.

变式I.（2022春・山东七年级期中）已知三个实数a,b,。满足。6>0,a+b<c,a+b+c=0,则下列结论

一定成立的是（）

A.a<0,/><0*<?>0B.a>0,b>0,c<0C.a>0,b<0,c>0D.a>0,b<0,c<0

【答案】A

【分析】根据浦>0,可得a和/）同号，再根据a+6<c和。+6+c=0,即可判断a,b,c的符号.

【详解】解：；">0,和力同号，

又,.4+b〈c和a+b+c=0,二。<0,b<0,c>0.故选：A.

【点睛】本题主要考查了有理数的运算法则，解题的关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负；同号两

数相加，取它们相同的符号；异号两数相加，取绝对值较大数的符号.

变式2.（2023秋•福建漳州•七年级统考期末）已知三个数a,b,c,这三个数在数轴上表示的点的位置如

图，则下列结论不正确的是（）

—1----------1----------------------------------1~~>-

cba

A.c<b<aB.（«-c）（c-/?）<（）

C.若a+b+c=0,则闷=M|+|dD.若网=匕|,则（a+c）6v0

【答案】D

【分析】根据数轴、有理数的大小比较及有理数的运算可得答案.

【详解】解：由数轴可知：c<b<a,故A选项正确：.•.（"—・加-力）<0,故B选项正确；

•.•a+6+c=0,.•・原点在。、〃之间，即方<0,c<0,.•.同=网+卜|，故C选项正确;

•巾=|。|,.••原点在/）、C之间，即且同，d，.•.（a+c）6>0,故D诜项错误：故诜D.

【点睛】本题主要考查数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及有理数的乘法和加法运算，熟练掌握数

轴上有理数的表示、有理数的大小比较及有理数的乘法、加法法则是解题的关键.

变式3.（2023•江苏南京•统考二模）如图，在数轴上，点A,8分别表示实数。，b,。是线段48的中

点.若|4>可且必<0,则原点在（）

ba

A.点A的右边B.点8的左边C.线段8。上D.线段C彳上

【答案】C

【分析】根据有理数的乘法法则得出。〉0＞%，再根据绝对值的意义可得力离原点距离大于8离原点距离,

即可得出结论.

【详解】解：•.•而＜0,"和b异号,则。＞0＞6,

•••|。|＞例，.••力离原点距离大于4离原点距离，.•.原点在线段上，故选：C.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法，解题的关键是掌握：两数相乘，同号得正，异号得

负.

考点4、有理数乘法运算律

【解题技巧】运用运算律的一些技巧：

①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：|x|xlO

②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。in：i.2x-

7

③带分数应先化为假分数的形式。如：

1234

④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；-x-x-x-

2345

⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12x（g+1+；）

例I.（2023秋•云南红河•七年级统考期末）在简便运算时，把12、,999巳）变形成最合适的形式是（）

A.12x（-1000+'）B.12x-1000--^jC.12x^-999--^jD.12xf-999+-^j

【答案】A

【分析】根据乘法分配律解答即可.

【详解】A.12X1—9991]=12X'T000+」]=12X（-1000）+12XC；B.变形错误;

\127K12

C.12x-999^=12x（^-999-^=12x（-999）-12x11；

D.变形错误；显然A比C计算简单.故选A.

【点睛】本题考查了有理数的简便运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键.

例2.（2022秋•江西宜春•七年级统考期中）计算10x5：时，有以下两种方法.

方法一：10x5-=10x—=55.

22

1

方法二：10x5-=10x5+-=10x5+10x-=55.

2L2)2

参考以上方法，计算：

⑴]9x3、—6x3、；

⑵20x,；-7规

【答案】(1)40(2)6

【分析】(1)逆用乘法的分配律计算即可;

(2)利用乘法的分配律计算即可.

【详解】(1)19x3-1-6x3-^

=(19-6)x3-jy

=13x3—

13

40

=Bx—=40.

13

(11

(2)20x7--7-

【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键.

例3.(2022•河南焦作•七年级校考期中)用简便方法计算：

(l)4x(-198)x(-0.25)x±⑵,*焉x(24)

(3)-5x(-7^+7x^-7ip-12)x^-7^(4)99^x(-36)

【答案】⑴2(2)—12(3)0(4)-3599；

【分析】(1)利用乘法的交换律求解即可；(2)利用乘法分配律求解即可；(3)利用乘法分配律的逆运

(1、

算求解即可；(4)把原式变形为100-万x(-36),然后利用乘法分配律求解即可；

【详解】⑴解：原式=[4X(-Q25)]X(-198X表

=7x(—2)

=2；

731

(2)解：原式=-，x24+±x24--x24

6412

=-28+18-2

=-12；

(3)解：原式=(-5+7+l2)x卜7：

=0：

=100x(-36)-^x(-36)

=-3600+-

2

=-3599-.

2

【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键.

变式1.(2023秋•山西晋中•七年级统考期末)计算

(-0.125)x20x(-8)x(-0.8)=[(-0.125)x(-8)]x[20x(-0.8)]=-I6,运算中运用的运算律为().

A.乘法交换律B.乘法分配律C.乘法结合律D.乘法交换律和乘法结合律

【答案】D

【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律.

【详解】•••运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律，故选D.

【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键.

变式2.(2022秋•广西七年级期中)计算：

⑴局x(-2.3)x0(4片+2制+36)(3)一式制+12c-4x卜费

23

【答案】(1)彳(2)-19(3)0

【分析】(1)根据有理数的乘法进行计算即可求解；(2)根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解;

(3)根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解.

【详解】⑴解:(一(卜(-2.3)(+目

9238

=-x——X—

41()9

_23

-T;

⑵解：/_11+2_詈(一36)

=/(-36)一齐(一36)+2、(-36)-/(一36)

=-28+15-72+66

=-100+81

=-19

”卦（"2-4）

我x。

=0

【点睛】本题考杳了有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关

键.

变式3.（2022秋•重庆七年级期中）利用运算律做较简便的计算:

1131

⑴1-3.5)x(3)7.307x(-14)+7.307x(-10)+7.307x(+24).

⑵一五一W十1%

【答案】(1)-3(2)-^(3)0

【分析】（I）将小数化为分数，再利用乘法结合律计算;

（2）利用乘法分配律展开计算；（3）利用乘法分配律合并计算.

【详解】（1）解：（T5）X

+纲-汛用

378

427

=-3；

J____1_3_]_

(2)12-36+4-6x(-48)

<12+36

1131

=—x48+—x48--x48+-x48

4

=4+——36+8

3

3

(3)7307x(14)i7.307x(10)i7307x(124)

=7.307x(-14-10+24)

=7.307x0

=0

【点睛】本题主要考查了乘法运算律，解答的关键是掌握乘法结合律和分配律.

考点5、有理数乘法的实际应用

【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法

并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。

例I.(2023春•广西南宁•七年级校考开学考试)定义一种新运算：a*b=-ab,例如1*2=-1x2=-2,那

么(-2)*7的值为()

A.14B.-14C.5D.-9

【答案】A

【分析】根据题意列出算式，再进•步计算即可.

【详解】解：(-2)*7=-(-2)X7=14,故选：A.

【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键是理解题干中的新定义法则.

例2.(2022秋•江苏淮安•七年级校考期末)新亚商场在2023年“元旦”期间举行促销活动，根据顾客按商

品标价的一次性购物总额，规定相应的优惠方法如下：①如果不超过600元，则不予优惠；②如果超过600

元，但不超过900元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过900元，则其中900元给予8折优惠，超

过900元的部分给予6折优惠，促销期间，小王和妈妈分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付

款560元和640元：若合并付款，则她们总共只需付款元.

【答案】996或1080/1080或996

【分析】根据题意可知付款560元时，其实际标价为为560或700元，付款640元，实际标价为800元,

分两种情况分别计算求出一次购买标价1360元或1500元的商品应付款即可.

【详解】解：由题意知付款560元，实际标价为560或560x^=700（元），

O

付款640元，实际标价为640x9=800（元），

O

如果一次购买标价560+800=1360（元）的商品应付款:900x0.8+（1360-900）x0.6=996（元）；

如果一次购买标价700+800=1500（元）的商品应付款:900x0.8+（1500-900）x0.6=1080（元）.

故答案是：996或1080.

【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，注意顾客付款560元时，要分两种情况考虑：有可能原

价就是560元，也有可能符合优惠②，此时的结论也会有差别，另外注意计算的准确性.

例3.（2023秋•山东滨州•七年级统考期中）某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200

辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入.下表是某周的生产情况（超产记为正、减产

记为负）：

星期—,二三四五六日

增减+5-2-4+12-10+16-9

（1）根据记录的数据可知该厂星期六生产自行车多少辆；（2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多

少辆；（3）产量最多的一天比产最最少的一天多生产自行车多少辆；（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一

辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元：少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周

的工资总额是多少元？

【答案】（1）216辆（2）该厂本周实际生产1408辆⑶产量最多的一天比产量最低的一天多26辆（4）该厂工人这

一周工资总额是70520元

【分析】（1）计算平均每天产量与周六与计划出入的和；

（2）先计算出该厂每天与计划出入的和，再加上一周的自行车计划产量；

（3）最高一天的产量减最少一天的产量；

（4）该厂一周工资=实际自行车产量20十超额自行车产量X15.

【详解】（1）解：星期六生产自行车辆数：200+16=216（辆）；

（2）解：7x2004-（5-2-4+12-10+16-9）=1400+8=1408（辆）.

答：该厂本周实际生产1408辆；

（3）解：16-（70）=26（辆）.

答：产后最多的一天比产后最低的一天多26辆:

(4)解：50x1408+15x8=70520(元).

答：该厂工人这一周工资总额是70520元.

【点睛】本题考查有理数运算在实际生活中的应用.认真审题，准确的列出式子是解题的关键.

变式1.(2022秋•广西柳州•七年级统考阶段练习)存有酒精溶液容器的盖子不小心被打开了，第一天酒精

蒸发了;，第二天蒸发了剩下的;，这时，容器内剩下的酒精占原来的()

1n2〃4r2

A.?B.-C.-D.a

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则.

变式2.(2023秋・湖南张家界•七年级统考期东)如图所示，在这个数据运莫程序中，若开始输入的x的值

为2,结果输出的是1,返I可进行第二次运算则输出的是-4,…，则第202()次输出的结果是()

A.-1B.3C.6D.8

【答案】A

【分析】先根据数据运算程序计算出第1-8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得.

【详解】第1次运算输出的结果为;x2=l,第2次运算输出的结果为1-5=-4,

第3次运算输出的结果为gx(-4)=-2,第4次运算输出的结果为gx(-2)=7,

笫5次运算输出的结果为-1-5=-6,笫6次运算输出的结果为gx(-6)=-3,

第7次运算输出的结果为-3-5=-8,第8次运算输出的结果为《'(-8)=-4,

归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以-4,-2,7,-6,-3,-8循环往复的，

因为20207=336x6+3,所以第202()次运算输出的结果与第4次输出的结果相同，即为-1,故选：A.

【点睛】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，止确归纳类推出一般规律是解题关键.

变式3.(2022秋•福建泉州•七年级统考期末)国庆期间，商场A和商场8同时做促销活动.

商场A的活动规则是全场•律9.5折

商场2的活动规则如卜表：

购物金额优惠办法

购物不超过200元按原价购买

购物超过200元且不超过500元的部分按原价打9折

购物超过500元的部分按原价打8折

（1）小聪去商场A购物300元，按活动规则实际应付多少元；

（2）小明准备购物600元，请通过计算帮小明分析，该去哪个商场购买合算.

【答案】（1）285元（2）小明准备购物600元，该去8商场购买合算.

【分析】（1）根据A商场优惠方案列式计算即可；

（2）根据两个商场优惠方案列式计算即可求解.

【详解】（I）解：•••商场A的活动规则是全场一律9.5折.•.实际应付300x0.95=285（元）

（2）去A商场，实际应付600x0.95=570（元）

去8商场，实际应付200+300x0.9+100x0.8=550（元）

••-550<570.•.小明准备购物600元，该去B商场购买合算.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解商场优惠方案，列出算式是解题的关键.

考点6、有理数乘法的新定义问题

【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，

要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分

为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念.这类试题考查

考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与己学知识

联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.

例I.（2022秋・山东日照•七年级校考期末）已知。为有理数，定义运算符号为※：当力时，。※力=2。；

当时，a^b=2b-a.则6派2-（-3派2）等于（）

A.5B.1C.-6D.10

【答案】A

【分析】原式根据题中的新定义化简，计算即可求出值.

【详解】6派2-（-3派2）=2,6-（2*2-（-3））=12-7=5故选：A

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

cib—1—2

例2.(2023秋•湖南娄底七年级校联考期末)若定义一种新运算，规定则°/=.

cd34------------

【答案】2

【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值.

cib—1—2..

【详解】解：•••=ad-bc,.=-1x4——2x3=2,故答案为：2.

cd34

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

变式1.(2023秋•重庆万州•七年级统考期末)定义一种新运算"®:规定力=2。-3匕等式右边的运算

就是加、减、乘、除四则运算，例如20(-3)=2x2-3x(-3)=4+9=13,1®2=2x1-3x2=2-6=-4.则

(一1)矶38(-2)]的值是().

A.-2B.-18C.-28D.-38

【答案】D

【分析】根据新运算的运算法则，先计算3耸(-2),再计算(—1馋[3③(-2)]即可得解..

【详解】解：由题意，得：3€>(-2)=2X3-3X(-2)=I2,

.­.(-1)®[30(-2)]=(-1)®12=2X(-I)-3X12=-38；故选D.

【点睛】本题考查定义新运算.理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键.

变式2.(2022秋•浙江宁波•七年级校考期中)小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数4

和人规定"?〃=h(力+1).小尚同学尝试计算2+(-3)=2x(_3)x[(_3)+l]=12,现在请小志同学计算

(-：)☆7=.

【答案】-112

【分析】根据新定义的含义口」得(-2"7=(-2)x7x(7+l),再计算即口J.

【详解】解：•.・"☆6=必("1)，.•.(-2"7=(-2)X7X(7+1)=-I4X8=-112,故答案为：-112.

【点睛】本题考查的是新定义运算，理解新定义的含义，再列出正确的运算式是解本题的关键.

变式3.(2022秋・浙江湖卅七年级校联考阶段练习)记符号国表示不超过高勺最大整数，如[3]=3,[2.9]=2,

[T.5]=-2.(1)分别写出[4]和卜2』的值;(2)计算：[-0.2冈4.5冈-3].

【答案】（1）4,-3（2）12

【分析】（1）利用符号国的意义解答即可；

（2）利用符号[x]的意义分别求得三个的值，再利用乘法法则运算即可.

【详解】（1）[4]=4,[-2.1]=-3：

（2）[-0.2]x[4.5]x[-3]=-1x4x（-3）=12.

【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数的乘法法则，理解并熟练利用符号卜]的意义是解题的关

键.

考点7、倒数的概念与运用

【解题技巧】倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数.

（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数.（2）0没有倒数.

（3）互为倒数的两个数的乘积一定是1,即“，人互为倒数，则axb=1；反之亦然.

例I.（2023•广东惠州,校联考二模）-2023的倒数是（）

A.2023B.-----C.-2023

2023»盛

【答案】B

【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可.

【详解】解：-2023的倒数是-焉，故选：B.

【点睛】本题考杳倒数，熟知倒数的定义是解答的关键.

例2.（2022秋•山东七年级期中）下列说法正确的是（）

A.两个正数互为倒数，其中一个数必大于1B.-

C.如果一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是1D.训，那么它们的积一定是1

【答案】D

【分析】利用特殊值分别分析再结合倒数的定义分析得出答案.

【详解】A、因为1的倒数是1,1和1互为倒数，故说法错误；

B、一个假分数的倒数小于或等于本身，故此选项错误；

C、一个数的倒数是它本身的数有很多，除I外，还有分子和分母相同的假分数，故此选项错俣;

D、如果两个数互为倒数，这个就排除了两个数不为0的情况，所以如果两个数互为倒数，那么它们的积一

定是1,故此选项正确.故选：D.

【点睛】本题考查了倒数的定义，利用特殊值分别分析是解题的关键.

变式1.（2023春•四川成都・九年级校考阶段练习）数。的相反数为-2022的倒数，则。的值为（）

A.2022B.-2022C.±2022D.—^―

2022

【答案】D

【分析】先求出-2022的倒数，再求出倒数的相反数，可得。值.

【详解】解：-2022的倒数为-』，二-1的相反数为“，即为高，故选D.

202220222022

【点睛】本题考查了相反数和倒数，解题的关键是掌握各自的定义和求法.

变式2.（2023・河北唐山•统考模世预测）与-（H）互为倒数的是（）

A.--x5B.6x5C.yx5D.-6x5

66

【答案】B

【分析】根据互为倒数的两数之积为1,进行判断即可.

【详解】解：一（!一!）=4,•••—（!一!）的倒数为：30；

A、X5=30不符合题意：B、6x5=30,符合题意：

-766-7*»

C、1x5=1^30,不符合题意；D、—6x5=-30w30,不符合题意；故选B.

66

【点睛】本题考查有理数的运算，倒数.熟练掌握互为倒数的两数之积为1,是解题的关键.

变式3.（2023•河北沧州•校考三模）若〃?〃=1,则下列说法正确的是（）

A.小与〃互为倒数B.巾与〃互为相反数C./〃与〃相等D.同与同相等

【答案】A

【分析】根据倒数的定义求解即可.

【详解】解：=.•.〃?与〃互为倒数，故选A.

【点睛】本题考查了倒数，熟知倒数是指两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数是解题的关键.

A级（基础过关）

1.（2023•天津河东・统考二模）计算（-3）x5的结果等于（）

A.-15B.2C.-2D.15

【答案】A

【分析】按照有理数的乘法法则计算即可.有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝

对值相乘.

【详解】解：原式=-3x5=-15,故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法法则是解题的关键.注意符号不要搞错.

25

2.（2023•河北石家庄•石家庄市第四十中学校考二模）下列式子计算结果和-4：x］相等的是（）

425c1（.2y5-）52

A.-4x-x-B.-4+-x-C.-4——x-D.-4x-+-

37V773

【答案】C

【分析】将各个式子进行计算，再对计算结果进行比较即可得出答案.

_.....„.251451050

【详解】解：:-45行=_3^亍=一§

2?

(.2\514510彳5220246

I3)7373737321

••・下列式子计算结果和-4彳2乂：5相等的是(-4--2、x5-,故选：C.

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

3.（2023春•山东泰安•九年级校考阶段练习）与实数-2023的绝对值的积为-1的是（）

A.2023B.-2023----D.-----

20232023

【答案】D

【分析】先求出-2023的绝对值，再根据有理数乘法计算法则求解即可.

【详解】解：卜2023|=2023,

•；2023xj)=-1,...与实数—2023的绝对值的积为-1的是-焉，故选D.

【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数乘法，熟知相关计算法则是解题的关键.

4.(2023秋•广东深圳•七年级统考期末)若〃则He()0

A.>B.<C.=D.>

【答案】A

【分析】根据多个有理数的乘法法则解答即可.

【详解】解：，.•.〃加>0.故选：A.

【点睛】本题考查了多个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键.几个不等于0

的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数为奇数个时，积为负：当负因数有偶数人时，积为正:

几个有理数相乘，如果其中有一个因数为0,枳就为0.

5.(2022秋・广东佛山•七年级校考阶段练习)下列算式中，积为正数的是()

A.(-2)x5B.(-2)X(-5)C.(-1)x(—1)x0D.(—1)x(—2)x(—3)

【答案】B

【分析】根据“几个非。数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当有奇数个负因数时，积为负数，当有偶

数个负因数时，积为正数”逐项判断即可求解.

【详解】解：A.(-2)x5积为负，不合题意；B.(-2)x(-5)积为正数，符合题意；

C.(-1)x(-1)x0积为0,不合题意；D.(-1)x(-2)x(-3)积为负数，不合题意.故选：B

【点睛】本题考查了确定多个有理数相乘的积的符号，熟知“几个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决

定，当有奇数个负因数时，积为负数，当有偶数个负因数时，积为正数”是解题关键.

6.(2023•山东临沂・统考二模)-2的倒数的相反数是()

A.±2B.——C.2D.-7

22

【答案】D

【分析】根据倒数的定义以及相反数的定义解答即可.只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两

个数互为倒数.

【详解】解：-2的倒数是-；，-g的相反数是3•二-2的倒数的相反数是故选：D.

【点睛】本题主要考查了倒数以及相反数，熟记相关定义是解答本题的关键.

7.(2023春・福建福州•九年级校考期中)对于一个实数。，如果它的倒数不存在，那么“等于()

A.—1B.1C.2D.0

【答案】D

【分析】根据倒数的定义解答即可.

【详解】解：•.•实数。的倒数不存在，.•.〃=（）.故选：D.

【点睛】本题考查倒数的定义：两个数的乘积是1,则它们互为倒数，。没有倒数.理解倒数的意义是解题

的关键.

8.（2022绵阳市•七年级假期作业）某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：（1）一次购

买金额不超过1万元，不予优惠：（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，九折优惠：（3）

一次购买超过3万元的，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠.某公司分两次在该供应商处

购买原料，分别付款7800元和25200元.如果该公司把两次购买的原料改为一次购买的话，那么该公司一

共可少付款（）

A.3360元B.2780元C.1460元D.136（）元

【答案】D

【分析】首先确定第二次购买时应付的钱数（打折前），计算出一次性购买时的金额，减去前两次购买时

所花的钱数即可.

【详解】解:如果购买金额是3万元，则实际付款是:30000X0.9=27000元〉25200元：

.••第二次购买的实际金额不超过3万，应享受9折优惠：25200X）.9=28000,

•••两次购买金额和是:7800+28000=35800元，

如一次性购买则所付钱数是:3OOOQx0.9+5800x（）.8=31640元，

•••可少付款7800+25200-31640=33000・31640=1360（元）.故选D.

【点睛】本题主要考查分段付费问题，确定第二次购买时应付的钱数（打折前），是本题的解题关键.

9.（2022・新安七年级月考）计算（—36）x（；—（+时，可以使运算简便的是（