27.3　实际问题与反比例函数（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

27.3实际问题与反比例函数（第1课时）教学目标教学目标1．感受反比例函数在现实生活中的应用，增强数学应用意识，提升运用代数方法分析、解决实际问题的能力．2．能够分析实际问题中的变量关系，建立反比例函数模型，借助函数解析式与增减性解决相关问题．3．结合实际背景，准确确定自变量的取值范围，体会自变量取值的现实意义．教学重点教学重点分析实际问题中的变量关系，建立反比例函数模型，利用函数解析式与增减性解决实际问题．教学难点教学难点从复杂实际情境中梳理等量关系，自主构建反比例函数模型；结合现实意义确定自变量取值范围．教学过程教学过程知识回顾1．用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是什么？【答案】（1）设：设反比例函数的解析式为(k≠0)．（2）列：把一组x与y的一对对应值同时代入(k≠0)中，得到关于k的方程．（3）解：解方程，求出k的值．（4）写：将求出的k的值代回所设解析式中，即得到所求反比例函数的解析式．2．一般地，反比例函数的图象是双曲线，请说一说它的增减性．【答案】（1）当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大．追加提问：在实际问题中，自变量往往不能取全体非零实数，想一想，此时函数图象还是完整的双曲线吗？预设学生：不是，只是双曲线在第一象限内的一支．【设计意图】回顾反比例函数解析式求法与增减性质，为本节课利用解析式、增减性解决实际问题做好铺垫；通过追加设问，引导学生关注实际情境下自变量取值的限制条件．新知探究一、新课导入【问题】拉面又叫甩面、扯面、抻面，是中国城乡独具风味的一种传统面食．如果要把体积为15cm3的面团做成拉面，你能写出面条的总长度y（单位：cm）关于面条横截面积S（单位：cm2）的函数关系式吗？【师生活动】教师引导学生分析变量关系、列式求解，随后追问：你还能举出日常生活、生产中具有反比例函数关系的实例吗？【答案】【设计意图】借助生活化情境，引导学生从实际问题中建立反比例函数模型，感受变量之间的反比例关系，为本节课探究实际问题与反比例函数作铺垫．二、典例精讲【例1】港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9h．（1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸货速度v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间有怎样的函数关系？（2）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？【师生活动】教师引导学生先计算货物总量，寻找总量不变这个等量关系；组织学生独立列式，再思考第（2）问如何结合增减性分析取值范围，请学生板书解题过程，师生共同订正．分层提问：（1）题目中不变的量是什么？（2）速度、时间、总货物三者存在怎样等量关系？（3）“卸载时间不超过6h”意味着t≤6，结合函数增减性分析，v的取值有什么要求？【分析】根据“平均装载速度×装载总时间＝货物总量”，可以先求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸载速度＝货物总量÷卸载总时间”，得到v关于t的函数解析式．【答案】解：（1）轮船上的货物总量为700×9＝6300（t），所以v关于t的函数的解析式为(t＞0)．（2）把t＝6代入，得＝1050（t/h）．从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1050t．对于函数，当t＞0时，t越小，v越大．因此，若货物不超过6h卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物．追问：解决这道题最核心的等量关系是什么？分析“至少”这类取值范围问题，我们利用了反比例函数的哪一条性质？预设学生：①核心等量：货物总量＝平均卸载速度×卸载总时间（总量定值）；②k＞0，在自变量取值范围内，y随x的增大而减小．【设计意图】依托货物装卸现实情境，引导学生抓住不变总量建立反比例函数模型；学会利用反比例函数增减性求解“至多、至少”类实际问题，同时关注自变量实际取值范围．【过渡】古希腊科学家阿基米德（公元前287—前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂（如图）．我们可以利用杠杆原理建立反比例函数模型，解决实际用力大小问题．【例2】某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m．（1）动力F（单位：N）与动力臂l（单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？【师生活动】教师简单回顾杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂；学生自主建立函数模型，独立完成两小问，小组交流解题思路，教师巡视纠错．分层提问：（1）杠杆平衡公式是什么？（2）哪些量固定不变，哪些是变量？（3）题（2）中求动力臂至少加长多少，要注意区分“动力臂总长度”与“增加的长度”，解题关键点是什么？【答案】解：（1）根据“杠杆原理”，得Fl＝1200×0.5，所以F关于l的函数解析式为(l＞0)．当l＝1.5m时，（N）．对于函数，当l＝1.5m时，F＝400N，此时杠杆平衡．因此，撬动石头至少需要400N的力．（2）对于函数，当l＞0时，F随l的增大而减小．因此，只要求出F＝200N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量．将F＝400×＝200代入，得200＝，所以（m）．因此，若想用力不超过400N的一半，动力臂的长度就应该不小于3m，则动力臂至少要加长3－1.5＝1.5（m）．【设计意图】结合物理杠杆模型，跨学科情境激发兴趣，巩固建立反比例函数模型的方法，熟练运用解析式求值，进一步理解自变量、函数值的现实意义．【思考】用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？【师生活动】教师引导学生作答：在我们使用撬棍时，当阻力、阻力臂一定时，阻力×阻力臂是一个定值，不妨设阻力×阻力臂＝k(k＞0)．∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，∴k＝Fl．∴(k＞0)．∵k＞0，l＞0，∴F随l的增大而减小．∴动力臂越长，所需动力越小，越省力．【设计意图】从数学角度让学生进一步理解“杠杆原理”．追问：对比例1、例2，两道题目建模存在什么共同特点？预设：两道题目中总量恒定，两个变量乘积为定值，据此建立反比例函数模型．【归纳】用反比例函数解决实际问题的一般步骤：（1）审：审清题意，找出问题中的常量、变量（有时以图象的形式给出），并理清常量与变量之间的关系．（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示．（3）列：由题目中的已知条件列出方程（组），求出待定系数．（4）写：写出函数解析式，并注意自变量的取值范围．（5）解：运用函数的解析式和相关性质解决实际问题．【归纳】实际问题中建立反比例函数解析式的常用思路：（1）已知函数属于反比例函数：使用待定系数法求解；（2）实际情境中未知函数类型：先寻找等量关系列出等式，整理变形得到函数解析式．备注：本节课两道例题均采用第（2）种建模方式；待定系数法更多应用于前面课时已知函数类型的题型．【归纳拓展】常见定值情境中的反比例数量关系：涉及的量反比例函数的解析式路程s（定值）、时间t、速度v或阻力×阻力臂乘积为定值k；动力F、动力臂l（k为定值）矩形的面积S（定值）、矩形的长a、宽b或三角形的面积S（定值）、三角形的底边a、该底边上的高h或圆锥的体积V（定值）、圆锥的底面积S、高h或【跟踪训练】如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为120cm3（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗．（1）漏斗口的面积S（单位：cm2）与漏斗的深h（单位：cm）有怎样的函数关系？（2）如果漏斗口的面积不超过50cm2，那么漏斗的深h至少为多少？【师生活动】教师要求学生独立书写完整解题步骤，严格运用刚刚总结的解题流程；巡视，重点查看学生是否正确使用圆锥体积公式、是否标注自变量取值范围．完成后挑选学生作答，共同订正．分层提问：（1）圆锥体积公式是什么？如何推导出S与h的关系式？（2）“面积不超过50cm2”对应怎样的不等关系？结合函数增减性如何分析？【答案】解：（1）由圆锥体积公式，V＝120，得，整理，得(h＞0)．（2）因为h＞0，，所以S随h的增大而减小．漏斗口的面积不超过50cm2，即S≤50．当S＝50时，，解得h＝7.2．结合函数增减性：若S≤50，则可得h≥7.2．答：漏斗的深h至少为7.2cm．【设计意图】依托教材练习题，巩固实际问题中反比例函数建模方法，熟练运用函数增减性求解取值范围；强化圆锥体积公式记忆，规避直接忽略乘的典型错误，落实完整解题规范．课堂小结板书设计实际问题与反比例函数1．解题五步：审→设→列→写→解2．建模思路（1）已知函数类型：待定系数法（2）未知函数类型：等量关系变形（本节课重点）3．常见定值模型路程、面积、体积、杠杆原理（简要书写核心等式）课后任务课后任务完成教材第80页习题27.3第2，4题．教学反思教学反思_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________