26.4　实际问题与二次函数（第3课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4实际问题与二次函数（第3课时）教学目标教学目标1．能针对抛物线拱形、抛物运动轨迹类实际情境建立平面直角坐标系，把实际长度转化为点的坐标；会合理设二次函数解析式，求出函数表达式，并利用解析式求解宽度、通行判断等实际问题．2．经历建立坐标系、构建二次函数模型解决拱桥、投篮问题的完整过程；通过对比多种建系方案，感受坐标系选择对运算繁简的影响，提升建模、转化能力．3．感受二次函数在建筑、运动场景中的应用，体会数形结合、数学建模思想；在小组合作探究中养成规范解题的习惯．教学重点教学重点建立直角坐标系，求出抛物线对应的二次函数解析式，并运用函数性质解决抛物线型实际问题．教学难点教学难点恰当建立直角坐标系，简化运算；能根据顶点位置灵活选择二次函数解析式形式．教学过程教学过程知识回顾教师提问引导：前面两节课，我们研究了面积最值、商品利润问题，大家回顾一下：解决这类实际最值问题的一般流程是什么？预设学生回答：分析变量关系，列出二次函数解析式，利用顶点或者自变量取值区间性质求最值．教师小结：前两类问题，我们可以直接根据题意列出函数关系式，无需借助平面直角坐标系．今天我们遇到新场景：拱桥、投篮轨迹，物体运动、建筑外形本身就是抛物线曲线．想要解决这类问题，我们需要先建立平面直角坐标系，把图形上的长度转化为点的坐标，再求出抛物线解析式，进一步解决问题．追问：二次函数常见两种解析式形式：①一般式y＝ax2＋bx＋c；②顶点式y＝a(x－h)2＋k．思考：在抛物线形问题中，如果我们能够直接找到抛物线的顶点坐标，优先选择哪一种解析式？为什么？预设学生回答：优先选用顶点式，顶点坐标可以直接代入，只需要求一个未知数a，计算更简便．教师过渡：说得非常到位！接下来我们就借助坐标系与顶点式，一起来研究课本的抛物线拱桥问题．【设计意图】串联前两课时面积、利润最值问题，搭建本章实际应用问题的知识脉络；通过对比新旧题型解题方式的区别，点明本节课核心特征：需要建立平面直角坐标系实现几何条件向坐标的转化；回顾二次函数两种解析式，重点凸显顶点式的优势，为本课根据抛物线顶点设函数解析式做好工具铺垫，自然引出本节课研究内容，直指本课重难点新知探究一、探究学习【探究】一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m．突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？【师生活动】教师出示拱桥题图，抛出核心问题：我们之前学习的面积、利润最值问题，可以直接根据文字列出函数表达式；而拱桥外形是抛物线曲线，我们该怎样利用二次函数求出水位上涨后的水面宽度？学生思考、自由发言．教师引导分析：想要利用二次函数研究这条抛物线，首先要把实物图形转化为平面直角坐标系内的函数图象，把图中的长度转化成点的坐标，这就是数学建模．如何建立平面直角坐标系，是我们今天首要思考的问题．环节1：落实课本标准解法教师：教材给我们推荐了一种简洁的建系方案，请大家跟随老师一起完成．示范建系：以拱顶（抛物线顶点）为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．教师连续设问：①坐标系建好后，观察图形，你能直接读出哪些点的坐标？预设学生：拱顶O(0，0)；左右两侧水面端点坐标(5，－4)，(－5，－4)．②已知抛物线顶点在原点，我们优先设哪种形式的解析式？预设学生：顶点在原点，设y＝ax2．【分析】二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题．为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．【答案】解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（如图）．设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．由抛物线经过点(5，－4)，可得－4＝a×52，解得a＝．因此，这条抛物线对应的二次函数为．当水面上升1m时，水面的纵坐标为－3．由，得，此时水面左右端点的横坐标分别为，，所以水面宽度为＝≈8.6（m）．所以水面上升1m后，水面宽约为8.6m．教师小结：借助这套坐标系，我们顺利完成求解，这也是教材示范的标准解法．环节2：拓展探究——多种建系方案对比追问1：除了课本这种建系方式，我们还可以怎么建立平面直角坐标系解决这道拱桥问题？组织学生4人小组讨论，画出不同建系草图．小组展示后，教师挑选3种典型方案集中展示：方案①：以水面左侧交点为原点，水面水平线为x轴；方案②：以水面中点（拱顶正下方水面处）为原点，水面水平线为x轴；方案③：以水面右侧交点为原点，水面水平线为x轴．追问2：大家观察三种新坐标系，结合抛物线顶点位置，思考：每种方案适合设哪一类解析式？计算量和刚才的（课本）方案对比，有什么感受？预设学生发言：顶点不在原点，适合用顶点式y＝a(x－h)2＋k；相比刚才的（课本）方案，未知数更多，计算步骤更多，更容易出错．教师补充要求：课堂上我们不把每种方案从头到尾完整演算，大家课后可以任选一种完整计算．重点思考：坐标系选择会直接影响计算复杂程度．追问3：对比所有建系方案，想要简化运算，建立坐标系时有什么技巧？学生交流总结：优先利用抛物线的对称性，尽可能把抛物线顶点放置在坐标轴上，将对称轴设置为y轴，解析式形式最简单．教学实操提示：PPT仅展示每种方案坐标系草图；解析式形式由师生课堂口头交流得出，课件不进行文字呈现，不完整演算数值，节约课堂时间，防止计算过载．环节3：方法归纳（固化通用解题模型）教师引导学生梳理流程，师生共同归纳建系技巧和解题步骤．【提问】刚刚我们对比了多种建系方案，大家能不能总结一下，怎么建系能够最大限度减少计算量？学生发言后，教师出示这条建系技巧，带领齐读梳理．【归纳1】抛物线拱形类问题建系技巧：（1）充分利用抛物线的对称性，优先将对称轴设为y轴，简化计算；（2）建系后根据顶点位置选择解析式：①顶点落在原点：优先设y＝ax2；②顶点在y轴上（非原点）：优先设y＝ax2＋k；③顶点不在y轴上：优先选用顶点式y＝a(x－h)2＋k．【提醒】不要把这条技巧当成最高准则，课堂一定要强调：坐标系建立方式不唯一，没有绝对标准答案，评判标准只有一个——方便计算．【提问】我们掌握了优化建系的小技巧，结合刚才拱桥例题完整解题流程，大家试着梳理：解决抛物线拱形、抛物线轨迹这类实际问题，完整流程分为哪几个环节？师生共同回顾例题操作，逐步提炼出通用解题四步骤．【归纳2】抛物线拱形（抛物线轨迹）问题通用解题步骤：（1）建：建立适当的平面直角坐标系；（2）设：根据顶点位置灵活选择解析式（优先顶点式，简化运算）；（3）求：代入已知点坐标，求出函数关系式；（4）用：根据题意确定对应纵坐标（横坐标），求出对应自变量，换算线段长度，回归实际问题作答．【设计意图】以教材原题为核心载体，先完整落实课本标准建系解法，保障全体学生掌握基础规范解法，贴合教材编排；再通过小组探究多种建系方案，对比不同坐标系下运算的繁简差异，突破本节课难点“恰当建立平面直角坐标系”；学生经历“实物图形→坐标系→二次函数模型→求解实际问题”完整建模过程，感受数形结合思想与转化思想；由单一标准解法拓展到多元思路，分层兼顾学困生保底与优等生拓展，形成可迁移的解题模板．【过渡】我们掌握了抛物线图形类问题的通用解题方法，接下来我们借助两道练习题巩固思路，分别研究投篮轨迹、船只通行实际问题．二、典例精讲【例1】在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y＝－0.2x²＋3.85的一部分（如图）．若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l．【师生活动】教师出示题目与图像，抛出问题：对比刚才拱桥例题，这道题和拱桥题有什么不同？预设学生回答：本题坐标系已经提前建立、解析式直接给出，不需要我们自己建系求解析式．教师追问：①篮筐高度为3.05m，对应函数中哪个量？②我们需要先求什么？再怎样计算距离l？学生独立思考，一名学生上台板书解题过程，其余学生草稿完成．教师巡视，重点提醒：求出横坐标后，结合图形计算线段长度，注意坐标的正负含义．【答案】解：由题意，得篮筐高度y＝3.05，令y＝3.05，得－0.2x2＋3.85＝3.05，整理，得－0.2x2＝－0.8，即x2＝4，解得x＝±2．结合图象，篮筐在y轴右侧，取x＝2．因为运动员投篮位置的横坐标x＝－3.2，所以l＝2－(－3.2)＝5.2（m）．答：运动员到篮筐正下方的距离l为5.2m．教师小结：这类题目坐标系、解析式已知，核心流程简化为代入高度求横坐标，结合图形换算水平距离，本质依然遵循“建—设—求—用”模型．【过渡】我们再来研究拱桥拓展通行问题，完整自主实践整套解题流程．【例2】一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m．突降暴雨后水面上升1m，有一艘装有物资的船准备从桥下通过．船身及物资外形如图所示．这艘船宽4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m．这艘船能从这座拱桥下通过吗？【师生活动】教师引导：本题坐标系需要我们自主建立，请大家回忆刚才总结的解题四步骤．要求学生先独立完成建系、列式，之后同桌之间交流思路．教师巡场，重点观察学生建系方案，优先鼓励使用课本标准建系方式（顶点为原点，对称轴为y轴）．【答案】解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（如图）．设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．由抛物线经过点(5，－4)，可得－4＝a×52，解得a＝．因此，这条抛物线对应的二次函数为．当水面上升1m时，水面的纵坐标为－3．物资顶部距离水面2m，则物资顶部纵坐标为－3－2＝－5．船宽4m，船只居中通行，对应横坐标为x＝2．将x＝2代入解析式，得y＝×22＝＝－0.64，即横坐标x＝±2处，拱桥高度对应纵坐标为－0.64．∵－0.64＞－5，说明该位置桥拱高于物资顶部．∴这艘船能够顺利通过．教师追问：判断能否通行类问题，核心思路是什么？预设学生：固定宽度，算出对应位置拱桥高度，和物体高度对比大小．【设计意图】例1为抛物运动模型，坐标系、解析式直接给出，侧重训练“利用解析式由高求水平距离”，巩固坐标与线段长度转换；例2回归拱桥建筑模型，需要学生自主完成建系、求解析式、高度比较，完整实践“建—设—求—用”四步解题模板；两道例题场景互补（运动轨迹＋拱形建筑），层层递进，实现知识迁移，强化数形结合与数学建模思想．课堂小结板书设计实际问题与二次函数——抛物线形问题一、两类模型1．抛物线型运动问题（投篮轨迹）2．抛物线型建筑问题（拱桥）二、通用解题步骤建→设→求→用三、建系技巧优先以抛物线对称轴为y轴，简化运算课后任务课后任务完成教材第55～56页习题26.4第5，9题．教学反思教学反思_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________