专项训练：函数的应用（一）5大题型（原卷版）-2026高一数学（人教B版必修第一册）

专题10函数的应用（一）5大题型（专项训练）

题型一、用函数图像刻画变化过程

1.在中国天门山举行的1川九翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15

分钟内的速度Mx）与时间r的关系，若定义“速度差函数”〃（x）为对间段［0,日内的最大速度与最小速度的差,

则“（X）的图象是（）

2.如图，梯形。力4。是上底为0,

左侧的阴影部分的面积为了。），则》=/（，）的大致图象是（）

x=t

AB

O

3.如图是一幅统计图，根据此图得到的以下说法错误的是（）

N生活费收入指数

120

115

110

105生活价格指数

100

201620172018x/^

A.这几年生活水平逐年得到提高

B.生活费收入指数增长最快的一年是2016年

C.虽然2018年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大改善

D.2017年生活价格指数上涨的速度与2018年生活价格指数下降的速度相同

4.如图，等腰梯形/4C0的上底下底力8=3,高为1.汜等腰梯形力4CO位于直线产/（0&&3）左侧

的图形的面积为/⑺，则/⑺随，变化时的图象大致是（）

5.小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后

继续以原速前行.家到公园的距离为2000小，如图是小明和爸爸所走的路程s(m)与步行时间/(min)的

(1)直接写出4C段图象所对应的函数关系式(不用写出/的取值范围).

(2)小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？

(3)在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减

少多少分钟？

题型二、一次函数模型

6.果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场

采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为x千克，小王付款后剩余现金为y元，则》与v之间

的函数关系为；x的取值范围是.

7.一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1

元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价()

A.3.6元B.5元C.10元D.12元

8.冰墩墩(BingDwenDwen)、雪容融｛ShueyRhonRhony分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥

物.冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并

销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个

雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元.

(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？

(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数星的1.5倍.小雅计划购

进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？

9.刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表:

套餐月租本地话费长途话费

套餐甲12元0.3元/分钟0.6元/分钟

套餐乙无0.5元/分钟0.8元/分钟

刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍(手机双向收费，接打话费相同).

(1)设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐中所需话费的函数/")及使用套餐乙所需话费的函数g(x)；

(2)请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的套餐.

10.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次，其中电动车保管费是每辆•次0.5元，自行

车保管费是每辆一次0.3元.

(1)若设停放的自行车的辆次为X,总的保管费收入为，元，试写出V关于X的函数关系式；

(2)若估计前来停放的3500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%,但不大于40%,试求该车

管站这个星期口收入保管费总数的范围.

题型三、二次函数模型

11.端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量持续走高，第

三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为%.

12.某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预

计为50万元.设使用x年后该设多的维修、保养费用为2/+5\卜€1＜）万元，盈利总额为二万元.（1）V

与1之间的函数关系式为：（2）从第年开始，使用该设备JT始盈利.

13.甲、乙两城相距100km,在两城之间距甲城xkm处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电（甲、乙、丙

在同一条直线上），为保证城市安全，核电站距两城的距离不少丁•10km.已知各城供电费用（元）与供电

距离（km）的平方、供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是4=0.25,若甲城供电量为20亿千

瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月.（1）月供电总费用N（元）与x（km）的函数关系式为；

（2）月供电总费用最小为元.

14.为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学

毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生

产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量V（单位:

件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x4-600.

（1）设袁阳每月获得的利润为。（单位：元），写出每月获得的利润”与销售单价x的函数关系；

（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元.如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那

么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？

15.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高01元，销售量

就减少2000本.

（1）试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？

（2）假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润/"）最大?

16.已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就

减少2万件，现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，设提价后的零件售价为x(xcN)元.

(1)求提价后该零件的销售总收入(单位：万元)的最大值；

(2)若提价后该零件的销售总收入(单位：万元)不低于原来的销售总收入，求x的取值集合.

题型四、分式函数模型

17.甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)

由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度x(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.2,固定部分为720

元为使全程运输成本最小，汽车的速度是千米/时.

18.设矩形48co(48>CQ)的周长为20cm,其中48=%，现将V48C沿力C向△/QC折叠至V44。的位

置.折过去后44,交。C于点P.

(1)设力。=冽，求m关于％的函数机=/卜)的解析式及其定义域:

(2)求△4QP面积的最大值及相应x的值.

19.某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米,

且背面靠墙的长方体形状的收发室.由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用.针对这个情况，甲公司给

出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为50()元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元

每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左右恻面长均为x(lKxK10)米.

(I)当屋子的左右侧面长x为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？

(2)现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为300(。、+?-a+4)元，若无论左右侧面的长为多少，乙

公司的报价都不超过甲公司，试求。的最大整数.

20.某大学校园选择了一个八边形区域4EF8CG”。设计一个校园景观，如图所示，图中四个三角形为全等

的等腰直角三角形，主干路总面积（图中阴影部分和中间白色正方形面积之和）为100n?,在重合的部分

"NPQ处建一正方形特色凉亭，凉亭造价为600元/mZ在四人空角（图中四个三角形）建造水池和喷杲，

造价为1600元/nf：四个矩形路（图中阴影部分）不处理，造价忽略不计.设长为V（单位：m）,

长为%（单位：m）.

hV~

（1）求），关于x的函数关系式；

（2）设校园景观总造价为S（单位：元），求S的最小值.

21.某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定成本为200万元，每生产工千台电脑，需投入成本R（x）

万元，R（X）=700X—12-1250.按前几年的统计数据，最少生产0.4万台，最多每年生产1万台电脑.已知

每台电脑的售价为1.1万元，且假设全年内生产的电脑当年能全部销售完.

（1）以利润上（万元）为函数V,年产量%（千台）为自变量，求函数解析式；

（2）求当年利润的取值范围.

22.已知某气垫船的最大船速是48海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比.当船速为30海

里/时时，船每小时的燃料费用为600元，而其余费用（不论船速为多少）都是每小时864元.船从甲地行驶

到乙地，甲乙两地相距1（）0海里.

（1）试把船每小时使用的燃料费用P（单位：元）表示成船速y（单位：海里/时）的函数：

（2）试把船从甲地到乙地所需的总费用y（单位：元）表示成船速u（单位：海里/时）的函数;

（3）当船速为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？

题型五、分段函数模型

23.已知某列车的发车时间间隔，（单位：分）满足2qW20.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间

隔/相关，当10W/W20时列车为满载状态，载客量为720人；当2W，<10时，载客量会减少，减少的人数

s（/）=A（12-/）2（%为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为P。）,

则P。）的表达式为.为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，则列车发车时间

间隔至少为分钟.

24.某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中

每个月的盈利情况，得到月利润5（单位：万元）与销售月份/之间的关系为

—/+V5-/,0<z<5,

(,)=2(*N).

一./+8f-25,5〈f、12

（1）一年中最高月利润对应的月份为.

（2）一年中该饮料月利润超过3万元的有个月.

25.某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身

生产工料•，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶

段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6

月，该工厂从市场上采购的工料量乂（件）与月份x（2«x<6,且x为整数）之间满足的函数关系如下表

月份八（月）23456

市场采购工料量乂（件）60004000300024002000

7月至12月，该工厂自身生产的工料量为（件）与月份x（74x412,且x为取整数）之间满足二次函数

关系式为n="2+或。/0）.其图象如图所示.2月至6月，该工厂每件工料的市场采购成本4（元）与月份

X之间满足函数关系式Z1=；X,该工厂自身生产的每件工料的成本Z?（元）与月份X之间满足函数关系式:

11

Z2=；x-1；/；7月至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的

工料成本为1.5元/件.

八次（件）

10144------7

10049——/：

II

II

°712x（月）

（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别求出必，为与

x之间的函数关系式；

（2）请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用力（元）最多，并求出这个最多费用.

26.某学习机公司生产学习机的年固定成本为2071元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内

a-4x,0<x<15

共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为H5）万元，且砥制=5300b当该

--------,x>15

公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元：当该公司一年内共生产该款学

习机20万部并全部销售完时,年利润为2960万元.

（1）求a,b；

（2）写出年利润"（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；

（3）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

27.某种农作物单株的产量，（单位：kg）与肥料成本4（单位：元）满足如下关系：单株产量

1(X2+40),0<X<3

单株成熟除肥料成本x（单位：元）外，还需其他成本3x（单位：元）.已知

144

18----,3<x<10

5x

这种农作物的市场售价为5元/kg,且供不应求，记该农作物单株获得的利润为/（可（单位：元）.

⑴求/W的函数关系式；

（2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利涧最大？最大利润是多少元?

28.2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项

目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7口至8月17口在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办

世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假

设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购

进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司

合作，以全新方式进行销售，此时利润力（力（万元）与销量x（万件）的关系为％（x）=r-驾+1000.

（1）当购进产品数量为10万件时.，利润是多少？（利润=销售收入一成本）

（2）写出利润％（x）（万元）关于购进产品数量x（万件）的函数解析式；

（3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？

1.数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进厅求解，然后根据结果去解决实际问题.小

明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那

么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度丫（单位：千

米/小时）是车流密度M单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车

流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明，当xe[2D,200]时，车

流速度v是车流密度x的一次函数.问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆

数，单位：辆/小时）可以达到最大？（）

A.60B.100C.140D.180

2.在一条笔直的公路上有/、4、C三地，。地位于力、8两地之间，甲车从力地沿这条公路匀速驶向C地,

乙车从8地沿这条公路匀速驶向/地.在甲车出发至甲车到达。地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距

离y（km）与甲车行驶时间，（h）之间的函数关系如图所示.下列结论正确的有

①甲车出发2h时，两车相遇

②乙车出发1.5h时，两车相距170km

③乙车出发2mh时，两车相遇

④甲车到达C地时，两车相距40km

3.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计算方法如下:

每户每月用水量水价

不超过30m3的部分2元/m'

超过30m；但不超过40m2的部分3元/n?

超过40m的部分6元/n?

已知该城市某户居民某月的水费为72元，则此户居民该月的用水量为m3.

4.某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前x(xwN')年的支

出成本为(101—2x)万亓，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方■案有两种:

方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理：

总盈利额

方案二：当年平均盈利额(注：年平均盈利额=)达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.

年度

(1)设前1年的总盈利额为y(不含设备处理收益)，写出方案中y与X的函数关系式

(2)哪种方案较为合理？并说明理由.

5.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时

间之间的关系用图甲的折线表示，西红柿的种植成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线段表示.

(I)写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式尸=/")和图乙表示的种植成本与上市时间的函数关

系式。=g«);

(2)若设定市场售价减去种植成木为纯收益，则何时上市的西红柿纯收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg,时间单位：天)

6.某企业生产一批产品，受工艺和技术水平的限制，在生产中会产生一些次品，其次品率〃与口产量x(单

-------,0<x</

位：千件)之间满足如下关系：尸=I，-'(Y10且“ND.每生产I千件合格品企业平均可以

一,x>t

112

次品量

获利5万元，但每生产1千件次品企业平均亏损7万元.(注：次品率二盈利=获利总额-亏损总额.)

(1)求企业日盈利歹(单位：万元)关于日产量"的函数关系式;

(2)当日产量x为多少时，企业日盈利歹最大？

7.某地开展乡村振兴计划，鼓励村民返乡创业.老李响应政府号召，打算回家乡种植某种水果.经调研发现

该果树的单株产量G(x)(单位：千克)与施肥量x(单位：千克)满足函数关系：

2X2+18,0<X<3

G(H=《kx°且单株果树的肥料成本投入为20x元，其他成本(如树苗费、人工费等)100+60x

--------39,3<x<8

[x+\

兀.已知单株施肥量为7千克时，产量为48.5千克，这种水果的市场售价为20元/千克，且都能卖完，记该

果树的单株利润为/W(单位：元).

⑴求攵的值及函数/(X)的解析式：

(2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？

8.荆州鱼糕是湖北特色美食的代表之被誉为“荆州•绝”，深受广大消费者喜爱.某厂家欲生产荆州鱼糕,

经过市场调研发现，生产荆州鱼糕需投入年固定成本3万元，每生产x吨另需投入流动成本/(x)万元，且

x2-14x+27,xv10

/3=«225S，若荆州鱼糕的售价为40元/千克，且该厂家2025年生产的x(xe[6,16])吨荆

5xH-----88,