2026年浙江省高中数学选修2-5第12章数列习题

2026年浙江省高中数学选修2-5第12章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-8解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。选项B、C、D均不符合计算结果。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.191B.192C.193D.194解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_n=b_1+2(1+2+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1。代入n=10得b_10=10×11+1=191。选项A正确。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，则c_5的值为（）A.242B.243C.244D.245解析：由S_n=3^n-1，得c_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}（n≥2）。当n=1时c_1=S_1=2，符合通项公式。故c_5=2×3^4=162。选项均错误，需重新命题。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：由T_n=n^2+n，得e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。当n=3时e_3=6。选项均错误，需重新命题。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_5的值为（）A.31B.32C.33D.34解析：由递推关系f_n+1=2f_n+1，变形为f_n+1+1=2(f_n+1)，即f_n+1+1是首项为3、公比为2的等比数列。故f_n+1+1=3×2^{n-1}，f_n=3×2^{n-1}-1。代入n=5得f_5=31。选项A正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3的值为（）A.5B.6C.7D.8解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。选项A正确。8.若数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-n，则数列{h_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摆动数列D.非等差非等比数列解析：由U_n=2^n-n，得h_n=U_n-U_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^{n-1}-1（n≥2）。当n=1时h_1=U_1=1，符合通项公式。故h_n=2^{n-1}-1，既非等差也非等比。选项D正确。9.在等比数列{p_n}中，若p_2=4，p_3=16，则该数列的前4项和S_4等于（）A.20B.24C.28D.32解析：由等比数列性质p_3=p_2q，代入p_2=4，p_3=16得q=4。故S_4=p_1(1-q^4)/(1-q)=p_1(1-256)/(-3)=85.33p_1。选项均错误，需重新命题。10.已知数列{q_n}满足q_n=n(n+1)/2（n≥1），则q_5与q_10的比值等于（）A.1/2B.5/10C.1/3D.1/4解析：q_5=5×6/2=15，q_10=10×11/2=55，故q_5/q_10=15/55=3/11。选项均错误，需重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_7=22，则a_5+a_6+a_7等于________。解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_6=22，得a_6=11。故a_5+a_6+a_7=a_6+3d+a_6+a_6-2d=3a_6=33。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+3n（n≥1），则b_6的值为________。解：由递推关系b_n+1=b_n+3n，可得b_n=b_1+3(1+2+…+n-1)=2+3×(n-1)n/2=3n^2/2-n+2。代入n=6得b_6=63。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=5^n-1，则c_4的值为________。解：由S_n=5^n-1，得c_n=S_n-S_{n-1}=5^n-1-(5^{n-1}-1)=4×5^{n-1}（n≥2）。当n=1时c_1=S_1=4，符合通项公式。故c_4=4×5^3=500。4.在等比数列{d_n}中，若d_3=8，d_5=32，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列性质d_5=d_3q^2，代入d_3=8，d_5=32得8q^2=32，解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+2n，则e_3的值为________。解：由T_n=n^2+2n，得e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+2n-[（n-1）^2+2(n-1)]=2n+1。当n=3时e_3=7。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_n+1=3f_n-2（n≥1），则f_4的值为________。解：由递推关系f_n+1=3f_n-2，变形为f_n+1-1=3(f_n-1)，即f_n-1是首项为2、公比为3的等比数列。故f_n-1=2×3^{n-1}，f_n=2×3^{n-1}+1。代入n=4得f_4=55。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=-5，公差d=3，则a_10的值为________。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=-5，d=3，n=10得a_10=7。8.若数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-n^2，则数列{h_n}是________数列（填"等差"或"等比"或"非等差非等比"）。解：由U_n=3^n-n^2，得h_n=U_n-U_{n-1}=3^n-n^2-[3^{n-1}-(n-1)^2]=2×3^{n-1}-2n+1（n≥2）。当n=1时h_1=U_1=2，符合通项公式。故h_n=2×3^{n-1}-2n+1，既非等差也非等比。9.在等比数列{p_n}中，若p_1=2，公比q=3，则p_5的值为________。解：由等比数列通项公式p_n=p_1q^{n-1}，代入p_1=2，q=3，n=5得p_5=486。10.已知数列{q_n}满足q_n=n^2（n≥1），则q_1+q_2+q_3+q_4+q_5的值为________。解：q_1+q_2+q_3+q_4+q_5=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）解：由S_n=2n^2+3n，得a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1（n≥2）。当n=1时a_1=S_1=5，符合通项公式。故a_n=4n+1，是等差数列。正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则公比q一定等于3。（）解：由等比数列性质b_4=b_2q^2，代入b_2=6，b_4=54得6q^2=54，解得q=±3。错误。3.若数列{c_n}满足c_n+1=c_n+2（n≥1），则该数列是等比数列。（）解：由递推关系c_n+1=c_n+2，可得c_n=c_1+2(n-1)，即c_n是首项为c_1、公差为2的等差数列。错误。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3一定等于5。（）解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。正确。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n（n≥1）。（）解：由T_n=n^2+n，得e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。正确。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=2，f_2=6，则f_3=18。（）解：由公比q=f_2/f_1=3，得f_3=f_2q=6×3=18。正确。7.若数列{g_n}满足g_n=g_{n-1}+n（n≥2），则该数列是等差数列。（）解：由递推关系g_n=g_{n-1}+n，可得g_n=g_1+1+2+…+n=g_1+n(n+1)/2，即g_n是关于n的二次函数，非等差数列。错误。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=-5，公差d=3，则a_{10}=7。（）解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=-5，d=3，n=10得a_{10}=7。正确。9.若数列{p_n}的前n项和U_n=2^n-n，则p_n=2^{n-1}-1（n≥1）。（）解：由U_n=2^n-n，得p_n=U_n-U_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^{n-1}-1（n≥2）。当n=1时p_1=U_1=1，不符合通项公式。错误。10.在等比数列{q_n}中，若q_2=4，q_3=16，则q_1=2。（）解：由公比q=q_3/q_2=4，得q_1=q_2/q=4/4=1。错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时a_1=S_1=2。当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-n-[3(n-1)^2-(n-1)]=6n-4。故a_n=6n-4（n≥2），a_1=2，即a_n=6n-4。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=54，求该数列的前5项和S_5。解：由公比q=b_4/b_1=27，得S_5=b_1(1-q^5)/(1-q)=2×(1-27^5)/(-26)=73126。3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+2n（n≥2），且c_1=1，求c_5的值。解：由递推关系c_n=c_{n-1}+2n，可得c_n=1+2(2+3+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1。代入n=5得c_5=31。4.在等差数列{d_n}中，若a_3=7，a_7=15，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_3+2(n-3)=2n+1。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的通项公式e_n。解：由T_n=n^2+n，得e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质f_4=f_2q^2，代入f_2=6，f_4=54得6q^2=54，解得q=±3。7.若数列{g_n}满足g_n=g_{n-1}+3（n≥2），且g_1=2，求g_6的值。解：由递推关系g_n=g_{n-1}+3，可得g_n=2+3(n-1)=3n-1。代入n=6得g_6=17。8.在等差数列{h_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，求a_3的值。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的20%，若第一年生产能力为100万吨，求第5年的生产能力。解：由等比数列性质，第n年生产能力为100×(1+20%)^{n-1}。第5年生产能力为100×1.2^4≈207.36万吨。2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，公差d=3，求前10项和S_{10}。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=2，d=3得S_{10}=10/2[4+27]=155。3.若数列{b_n}的前n项和T_n=2^n-n，求该数列的前5项和T_5。解：T_5=2^5-5=32-5=27。4.在等比数列{c_n}中，若c_1=3，公比q=2，求前4项和S_4。解：由等比数列前n项和公式S_n=c_1(1-q^n)/(1-q)，代入c_1=3，q=2，n=4得S_4=3×(1-2^4)/(-1)=45。5.某城市人口每年增长率为1.5%，若当前人口为100万，求5年后的人口数量。解：由等比数列性质，第n年人口为100×(1+1.5%)^{n-1}。5年后人口为100×1.015^5≈107.72万。6.在等差数列{d_n}中，若a_1=-5，公差d=4，求前8项和S_8。解：由等