2026年浙江省人教版高中数学选修第3册第4章数列习题

2026年浙江省人教版高中数学选修第3册第4章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，b_6=b_5+6=21。选项A正确。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列的第4项c_4等于（）A.14B.15C.16D.17解析：由数列前n项和与通项关系c_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得c_4=S_4-S_3=[2×4^2-3×4]-[2×3^2-3×3]=32-24-18+9=14。选项A正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列的第5项e_5等于（）A.10B.11C.12D.13解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得e_5=T_5-T_4=[5×6/2]-[4×5/2]=15-10=5。选项A正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n=f_{n-1}+2n（n≥2），则f_10的值为（）A.220B.221C.222D.223解析：由递推关系f_n=f_{n-1}+2n，可得f_2=f_1+4=6，f_3=f_2+6=12，f_4=f_3+8=20，f_5=f_4+10=30，f_6=f_5+12=42，f_7=f_6+14=56，f_8=f_7+16=72，f_9=f_8+18=90，f_10=f_9+20=110。选项A正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则该数列的前10项和S_10等于（）A.90B.100C.110D.120解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，可得a_5=9，S_10=10×(a_1+a_{10})/2=5×(a_3+a_7)=5×18=90。选项A正确。8.若数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则该数列的第3项h_3等于（）A.24B.25C.26D.27解析：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），可得h_3=U_3-U_2=(3^3-1)-(3^2-1)=26。选项C正确。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_4=16，则该数列的前4项和S_4等于（）A.31B.32C.33D.34解析：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_1=1，i_4=16，可得q=2，S_4=1×(1-2^4)/(1-2)=31。选项A正确。10.已知数列{j_n}满足j_1=1，j_n=2j_{n-1}+1（n≥2），则j_5的值为（）A.31B.32C.33D.34解析：由递推关系j_n=2j_{n-1}+1，可得j_2=2×1+1=3，j_3=2×3+1=7，j_4=2×7+1=15，j_5=2×15+1=31。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=-2，则该数列的前10项和S_10等于________。解：S_10=10×(5+(10-1)×(-2))/2=10×(5-18)/2=-70。参考答案：-70。2.若数列{b_n}满足b_1=2，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_6的值为________。解：b_2=2+2=4，b_3=4+3=7，b_4=7+4=11，b_5=11+5=16，b_6=16+6=22。参考答案：22。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列的第3项c_3等于________。解：c_3=S_3-S_2=(3^2+3)-(2^2+2)=12-6=6。参考答案：6。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=3，d_4=81，则该数列的公比q等于________。解：q=(81)/(3)=27，q=3。参考答案：3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+2)/2，则该数列的第4项e_4等于________。解：e_4=T_4-T_3=[4×6/2]-[3×5/2]=12-7.5=4.5。参考答案：4.5。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_{n-1}+n（n≥2），则f_7的值为________。解：f_2=1+2=3，f_3=3+3=6，f_4=6+4=10，f_5=10+5=15，f_6=15+6=21，f_7=21+7=28。参考答案：28。7.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_8=20，则该数列的公差d等于________。解：a_4+a_8=2a_6=20，a_6=10，d=(10-a_4)/2。由a_4=a_1+3d，a_6=a_1+5d，可得2d=2，d=1。参考答案：1。8.若数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则该数列的第4项h_4等于________。解：h_4=U_4-U_3=(2^4-1)-(2^3-1)=15-7=8。参考答案：8。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_3=8，则该数列的前3项和S_3等于________。解：q=(8)/(2)=4，S_3=2×(1-4^3)/(1-4)=30。参考答案：30。10.已知数列{j_n}满足j_1=3，j_n=3j_{n-1}+2（n≥2），则j_4的值为________。解：j_2=3×3+2=11，j_3=3×11+2=35，j_4=3×35+2=107。参考答案：107。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。（）解：由S_n=2n^2-3n，可得a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5（n≥2），a_1=S_1=-1，故数列不是等差数列。参考答案：×。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q等于2。（）解：q=(8)/(1)=8，q=2√2。参考答案：×。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列是等差数列。（）解：由T_n=n(n+1)/2，可得c_n=T_n-T_{n-1}=n+1/2（n≥2），c_1=T_1=1，故数列是等差数列。参考答案：√。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则该数列的前9项和S_9等于90。（）解：a_1+a_9=2a_5=20，a_5=10，S_9=9×10=90。参考答案：√。5.若数列{e_n}满足e_n=e_{n-1}+2（n≥2），则该数列是等差数列。（）解：由递推关系可知数列是等差数列。参考答案：√。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q等于3。（）解：q=(54)/(6)=9，q=3。参考答案：√。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=3^n-1，则该数列是等比数列。（）解：由U_n=3^n-1，可得g_n=U_n-U_{n-1}=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}（n≥2），g_1=U_1=2，故数列是等比数列。参考答案：√。8.在等差数列{h_n}中，若a_3+a_7=18，则该数列的公差d等于3。（）解：a_3+a_7=2a_5=18，a_5=9，d=(9-a_3)/2。由a_3=a_1+2d，a_5=a_1+4d，可得2d=2，d=1。参考答案：×。9.若数列{j_n}满足j_n=j_{n-1}+n（n≥2），则该数列是等差数列。（）解：由递推关系可知数列不是等差数列。参考答案：×。10.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_3=8，则该数列的前3项和S_3等于12。（）解：q=(8)/(2)=4，S_3=2×(1-4^3)/(1-4)=30。参考答案：×。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5，故a_n=6n-5（n≥2）。综上，a_n=6n-5。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=5，a_5=15，求该数列的前10项和S_10。解：由a_5=a_1+4d=15，可得d=2.5，S_10=10×(5+45)/2=250。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+n（n≥2），求该数列的前5项和T_5。解：c_2=3，c_3=6，c_4=10，c_5=15，T_5=1+3+6+10+15=35。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的通项公式d_n。解：q=(54)/(6)=9，d_1=2，d_n=2×9^{n-1}。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+2)/2，求该数列的通项公式e_n。解：当n=1时，e_1=T_1=3；当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2n+1，故e_n=2n+1。6.在等差数列{f_n}中，若a_3+a_7=18，求该数列的公差d。解：a_3+a_7=2a_5=18，a_5=9，d=(9-a_3)/2。由a_3=a_1+2d，a_5=a_1+4d，可得2d=2，d=1。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-1，求该数列的第4项g_4。解：g_4=U_4-U_3=(2^4-1)-(2^3-1)=15。8.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_3=8，求该数列的前3项和S_3。解：q=(8)/(2)=4，S_3=2×(1-4^3)/(1-4)=30。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列{a_n}，a_1=10，d=5，a_{10}=10+9×5=65台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列{b_n}，b_1=100，q=1.1，b_5=100×1.1^5≈161.05万。3.某企业投资回报率为每年20%，已知第一年投资100万元，求第5年投资总额。解：由等比数列{c_n}，c_1=100，q=1.2，c_5=100×1.2^4≈207.36万元。4.某学校图书馆藏书量每年增加200本，已知2020年藏书量为5000本，求2025年藏书量。解：由等差数列{d_n}，d_1=5000，d=200，d_5=5000+4×200=5800本。5.某产品成本每年下降5%，已知2020年成本为100元，求2024年成本。解：由等比数列{e_n}，e_1=100，q=0.95，e_4=100×0.95^4≈81.46元。6.某城市绿化面积每年增加10%，已知2020年绿化面积为100公顷，求2026年绿化面积。解：由等比数列{f_n}，f_1=100，q=1.1，f_6=100×1.1^6≈177.16公顷。7.某企业