山东省青岛市青岛第十七中学2025-2026学年高二下册期末数学检测试卷-含答案

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数，则（）A.1 B.2 C.3 D.42.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知集合，，则（）A. B. C. D.4.已知，，则（）A. B. C. D.25.设是定义在上的奇函数，，，则（）A. B.0 C.1 D.26.Margalef丰富度指数是用于衡量群落中生物种类丰富程度的一个指标，其中S和N分别表示群落中的生物种数和生物个体总数．如果某生物群落一年后的生物种类数S没有改变，生物个体总数由变为，Margalef丰富度指数由1.8提高到4.5，则（）A. B. C. D.7.如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（）A. B. C. D.8.设函数（其中，均大于0），若，则的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9.设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（）A.B.C.在上的投影向量的坐标为D.10.已知函数，下列说法正确的是（）A.的最小正周期是 B.的图象关于点中心对称C. D.在区间上单调递减11.函数，的定义域为，为偶函数且恒大于0，，，，，则（）A.B.C.D.对于任意，点到直线与的距离之积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知等差数列的前项和为，且，，则______.13.已知函数，若，则实数_________．14.已知实数，，…，，满足，且（，3，4，…，10），则当时，的最大值为__________．15.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.在中，内角的对边分别为．已知．（1）求的值；（2）证明：．17.已知函数.（1）当，求的单调性；（2）若曲线经过点，且在处的切线为.证明：除切点外，曲线在直线的下方.18.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0（1）求函数的解析式；（2）将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，且其图象关于轴对称，求在上的解集．19.如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点．（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．20.已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列．（1）写出的前6项；（2）记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和．21.已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．（1）若，判断是否是中的元素，请说明理由；（2）若，求a的取值范围；（3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解析：解答过程：依题意，.2.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：先根据向量平行的坐标表示得出的方程，求解的值，再分别判断充分性和必要性是否成立，从而确定与的条件关系.解答过程：

若平面向量，，则等价于，又因为，所以，化简可得：，解得或.若，则一定满足，充分性成立，若，还可以取，不能推出，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件，选A.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求解分式不等式得到集合A的范围，再结合集合B的范围判断二者的运算结果和包含关系即可。解答过程：对不等式移项得，整理得，等价于，解得或，即.已知，，故A错误；，故B错误；的所有元素均属于，且中存在小于0的元素不属于，因此，C正确，D错误.4.已知，，则（）A. B. C. D.2答案：D解析：思路：根据两角和差的正弦公式计算化简，再结合同角三角函数关系计算求解.解答过程：已知，，则，，所以，则.5.设是定义在上的奇函数，，，则（）A. B.0 C.1 D.2答案：A解析：思路：由奇偶性对称性得到函数的周期，再利用周期性对称性即可求解.解答过程：由于，，则.故选：A6.Margalef丰富度指数是用于衡量群落中生物种类丰富程度的一个指标，其中S和N分别表示群落中的生物种数和生物个体总数．如果某生物群落一年后的生物种类数S没有改变，生物个体总数由变为，Margalef丰富度指数由1.8提高到4.5，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：结合题意列出方程组，再由对数的运算性质可得.解答过程：由题意可得，两式相除可得，所以.故选：C.7.如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：结合题设易得为等边三角形，可得，，进而得到，再结合平面向量数量积的运算律求解即可.解答过程：由，为中点，则，因为，，所以为等边三角形，则，，而，则，由，，所以.故选：B.8.设函数（其中，均大于0），若，则的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9答案：D解析：思路：由题可得定义域为：，然后分与两种情况结合，可得，最后由基本不等式可得答案.解答过程：定义域为：.或，若，此时，为使，则，则此时；若，则此时，为使，则，则此时，综上可得.则，当且仅当，即时取等号.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9.设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（）A.B.C.在上的投影向量的坐标为D.答案：ACD解析：思路：对于A，由向量模的计算公式可得答案；对于B，由数量积的运算律计算可得答案；对于C，由向量投影向量计算公式可得答案；对于D，由向量减法坐标计算公式可得答案.解答过程：由题可得，，，，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，在上的投影向量为，由B分析可得，又，则，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD10.已知函数，下列说法正确的是（）A.的最小正周期是 B.的图象关于点中心对称C. D.在区间上单调递减答案：AD解析：思路：AB选项，利用正弦型函数的性质结合图像判断最小正周期和对称性；C选项求出函数值的范围判断；D选项，结合正弦单调性，分析在区间上的单调性.解答过程：函数的最小正周期是，函数图象轴上及上方部分不变，轴下方的部分翻折到上方，得函数的图象，则的最小正周期是，A选项正确；函数的图象都在轴上及轴上方，不可能关于轴上的点中心对称，B选项错误；，正弦函数在上单调递增，，有，C选项错误；时，，所以函数在上单调递增，且在上恒成立，结合图像的翻折可知，在区间上单调递减，D选项正确.故选：AD11.函数，的定义域为，为偶函数且恒大于0，，，，，则（）A.B.C.D.对于任意，点到直线与的距离之积为答案：BCD解析：思路：通过赋值法求出、，推导与的奇偶性及核心恒等式；利用递推关系分析的指数型性质验证B选项；通过函数方程展开推导三倍角形式验证C选项；利用点到直线距离公式结合核心恒等式验证D选项.解答过程：令，代入，得.令，代入，得，即.由，得.结合得，又，得，故A错误.令，代入，得，即.令，代入，得，由、，得，结合，得，即为奇函数.因此，即.由与，得，解得.，因此，，故B正确.，代入，得，故C正确.点到直线的距离为，到直线的距离为，距离之积为：，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知等差数列的前项和为，且，，则______.答案：14解析：思路：解法一：因为，且为等差数列，可以得到，求解即可.解法二：因为为等差数列，所以为等差数列，设，则，，三项成等差数列，再通过等差中项的性质求解即可.解答过程：因为，且，则，于是，则，.解法2由于为等差数列，设，则，，三项成等差数列，于是，则，，.故答案为：14.13.已知函数，若，则实数_________．答案：解析：思路：易知当时无解；当时，利用导数研究函数的性质可得在上有且仅有唯一的零点，进而根据求解即可.解答过程：，当时，，解得，不符合题意；当时，，则，令，所以在上单调递减，在上单调递增，且，当时，，则，当时，，且时，；时，；所以在上有且仅有唯一的零点.所以当时，，则，解得.综上，.故答案为：e14.已知实数，，…，，满足，且（，3，4，…，10），则当时，的最大值为__________．答案：13解析：思路：设连续段长度为，先把该连续段的和记为，再利用相邻两项差的限制，估计该连续段左右两侧各项的最小可能值，从而得到的上界．最后构造等号成立的数列，说明最大值可以取到．解答过程：设某一连续段为其项数为因为，所以．记若，则把所有同时变为，条件和均不变，而该连续段的和变为．因此只需讨论的情况．设该连续段左边有项，右边有项，则由相邻两项差的绝对值不超过，对于连续段内的项，有所以从而同理，从右端向左估计，也有对左边项，由相邻项差的限制可得，因此左边项的和不小于对右边项，同理可得右边项的和不小于所以整个数列的和满足又因为，所以．于是由于，且在固定时，的最大值出现在一边为，另一边为时，所以因此整理得即当时，上式右端分别为所以任意连续段和的绝对值都不超过．下面说明可以取到．取则且同时故所求最大值为15.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为________．答案：解析：思路：根据已知条件求得母线长，以及长度，从而确定为底面圆直径；再求三角形面积的最大值，即可求得三棱锥体积的最大值.解答过程：由圆锥性质知是圆锥的高，底面圆，已知，因此母线长.同理.由，得中.因为，则底面圆直径为，因此是底面圆的直径.三棱锥的高，因此体积.是圆上以为斜边的三角形，点到的最大距离为底面圆的半径，因此​的最大值为.则的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.在中，内角的对边分别为．已知．（1）求的值；（2）证明：．答案：（1）（2）证明：在中，由余弦定理，得因为，所以.解析：思路：（1）利用降幂公式化简可得，结合余弦定理化简，从而解得，结合正弦定理即可求解；（2）根据利用余弦定理化简可得，结合三角函数的图像与性质即可求解.（1）由，得，整理，得.在中，由余弦定理，得.把代入上式，得，因为，所以.在中，由正弦定理，得（2）略17.已知函数.（1）当，求的单调性；（2）若曲线经过点，且在处的切线为.证明：除切点外，曲线在直线的下方.答案：（1）在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析.解析：思路：（1）求得，利用导数直接判断函数的单调性即可；（2）根据过点，求得参数，再求在切点处的切线的方程，通过作差构造函数，通过证明，即可证明.（1）当，，定义域为，，故当，，单调递减；当，，单调递增，故的单调性是：在单调递减，在单调递增.（2），又其过点，则，解得；此时，定义域为，，又，，故曲线在点处的切线的方程为：，即；要证：除切点外，曲线在直线的下方，即证：，也即，当且仅当时，取得等号；令，定义域为，，故当，，单调递增；当，，单调递减；故当时，取得极大值，也是最大值，故，也即，当且仅当时，取得等号，故除切点外，曲线在直线的下方，即证.18.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0（1）求函数的解析式；（2）将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，且其图象关于轴对称，求在上的解集．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据五点法，完善表格，列式计算求解；（2）根据题意求得函数，求导，根据二倍角公式化简结合正弦函数性质计算求解.（1）根据五点法完善表格部分数据如下：0

0200由题意知，解得，，又，解得，所以．（2）因为为偶函数，所以，，又，所以时，.，，所以，即，又，所以.则，解得.所以在上的解集为.19.如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点．（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．答案：（1）连接，因为，所以，则，又，则，则，即为线段的中点．因为为中点，所以为的中位线，则，又平面平面，故平面（2）解析：（1）略（2）因为，所以平面，因为，为线段的中点．所以且，所以，以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,易知，所以，所以设平面的法向量为，则，所以，解得，令，则，所以，设与平面所成角为，则，所以与平面所成的正弦值为．20.已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列．（1）写出的前6项；（2）记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由二倍角公式和辅助角公式化简可得，令，结合正弦函数的图象性质可得或，取其中的正数构成递增数列可得结果；（2）由错位相减法求和可得结果.（1）由题意．由，得．所以或．即或，取其中的正数构成递增数列．知的前6项为．（2）由（1）知，所以．所以．①．②①－②，得．所以.21.已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．（1）若，判断