山东省青岛市青岛第五十八中学2025-2026学年高一下册期末数学检测试卷-含答案

数学一、单项选择题：（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知，则的虚部为（）A. B. C. D.2.某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（）A.90 B.120 C.180 D.2003.已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列结论正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则4.已知向量与的夹角为，，则（）A.1 B. C.2 D.5.记的内角的对边分别为，若，则（）A. B.C. D.6.球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（

）A. B. C. D.7.在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，且平面，若直线与底面的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分）9.如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（）A.B.C.四边形ABCD的周长为D.四边形ABCD的面积为610.已知平面向量，满足，，．对实数，设，．则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.存在两个实数t，使得C.若，则D.以，为邻边的平行四边形面积的最小值为11.如图，棱长为4的正方体中，点为的中点，动点满足，则下列说法正确的是（）A.平面平面B.直线与平面所成角为，则的取值范围是C.设平面，则三棱锥的体积为D.以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，则的取值范围是三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）12.已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______.13.学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________14.锐角的内角的对边分别为,,则的取值范围为__________.四、解答题（本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，i为虚数单位，复数（1）当复数为纯虚数时，求的值；（2）已知，当时，若是关于的方程的一个根，求与的值.16.江苏省阜宁中学积极响应国家号召，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值，以及样本的平均数；（2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线（精确到0.1）；（3）估计这组样本数据的众数和中位数．17.在中，角，，的对边分别为，，，ΔABC的面积为，若，且有.（1）求；（2）若的面积为=，求，；（3）若为锐角三角形，求的取值范围.18.如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．19.如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于垂心H．（1）求；（2）若点T为劣弧BHC上一动点，求的最小值；（3）若，求的值．20.半径为R的球内部装有4个半径相同的小球,则小球半径r的可能最大值为__________.21.将集合中的数从小到大排列.第100个数为_______（用数字作答）.

数学一、单项选择题：（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：使用复数的除法和复数的定义求解.解答过程：由，得，则的虚部为.2.某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（）A.90 B.120 C.180 D.200答案：D解析：思路：设从核心区抽取的人数为人，根据题意，列出方程，即可求解.解答过程：设从核心区抽取的人数为人，因为各区的人口比例为，且从开发区抽取的人数为300，可得，解得，即从核心区抽取的人数为人.故选：D.3.已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列结论正确的是（）A.若，，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则答案：C解析：思路：根据空间中线面、面面、线线位置关系逐项判断，可得出合适的选项.解答过程：对于A选项，若，，，则或、相交，A错；对于B选项，若，，，则或、异面，B错；对于C选项，由于，，可得或，若，因为，则，若，过直线作平面，使得，则，因为，则，，因此，，C对；对于D选项，若，，，则或、相交（不一定垂直），D错.故选：C.4.已知向量与的夹角为，，则（）A.1 B. C.2 D.答案：A解析：思路：先根据已知求得，再利用运算.解答过程：，故，解得，则.故选：A5.记的内角的对边分别为，若，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得角正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积.解答过程：在中，由正弦定理得，即，解得，而，故，，，所以．则．故选：C.6.球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意可得球的半径以及平面截外接球所得圆的半径，然后求出球心与截面圆的圆心间距离，再求出球缺的高，最后代入公式求解结果.解答过程：设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为.由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为.到的距离，则球缺的高.所以．7.在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据空间向量共面的条件，结合基本不等式求解即可.解答过程：因为的重心，所以，又，，，，所以，因为点在平面内，所以，得，且.所以当且仅当时等号成立.故选：D.8.已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，且平面，若直线与底面的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由平面得到，由题中条件得到为的中点，从而得到三棱锥中和均为直角三角形，继而得到三棱锥的外接球是以为直径，为球心，利用三棱锥体积相等求解即可得到截面圆的半径，利用圆的面积求解即可.解答过程：平面，若直线与底面的夹角为，，，，为的中点，四边形是平行四边形，为的中点，，，，，，，三棱锥中和均为直角三角形，且平面平面，三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径为，设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为，，，，，，截面半径，则截面面积为.二、多项选择题（本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分）9.如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（）A.B.C.四边形ABCD的周长为D.四边形ABCD的面积为6答案：ACD解析：思路：利用斜二测画法的规则，逐个求解边长，根据选项可得答案.解答过程：由已知等腰梯形中，,,所以，由斜二测画法得，在原图直角梯形ABCD中，．∠BAD=，易得，所以四边形ABCD的周长为，面积为．故选：ACD.10.已知平面向量，满足，，．对实数，设，．则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.存在两个实数t，使得C.若，则D.以，为邻边的平行四边形面积的最小值为答案：ABD解析：思路：对于选项A，直接利用向量模的定义，转化为关于的函数即可求解；对于选项B，，转化为关于的一元二次方程实根个数问题；对于选项C，即，转化为关于的一元二次方程进行求解；对选项D，以，为邻边的平行四边形面积，先使用数量积求出，再转化为关于的函数即可求解.解答过程：对于选项A，，故选项A正确；对于选项B，由，则，即，由于，故存在两个实数t，使得，选项B正确；对于选项C，若，则，即，，，当时，方程不成立，故选项C错误；对于选项D，以，为邻边的平行四边形，设，夹角为，则，由于，则那么以，为邻边的平行四边形面积，故选项D正确.11.如图，棱长为4的正方体中，点为的中点，动点满足，则下列说法正确的是（）A.平面平面B.直线与平面所成角为，则的取值范围是C.设平面，则三棱锥的体积为D.以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，则的取值范围是答案：ABD解析：思路：A选项，根据题目条件得到在侧面（不含边界），作出辅助线，证明出⊥平面，从而得到⊥，同理可证⊥，得到线面垂直，面面垂直；B选项，作出辅助线，得到即为直线与平面所成角，求出，从而得到，故；C选项，作出辅助线，得到，利用等体积法和体积之比得到三棱锥的体积；D选项，作出辅助线，得到的轨迹为以为圆心，为半径的圆，从而确定何时取得最小值和最大值，得到答案.解答过程：A选项，，故在侧面（不含边界）上，连接，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为四边形为正方形，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，同理可证⊥，因为，平面，所以⊥平面，又平面，所以平面⊥平面，A正确；B选项，取的中点，连接，则⊥平面，则即为直线与平面所成角，因为点在侧面（不含边界）上，正方体棱长为4，故，由勾股定理得，则，B正确；C选项，取的中点，连接，可证≌，故，同理可知，又与的交点为正方体的中心，故四点共面，故，因为，且，故所以，连接，则，因为⊥平面，平面，所以⊥，又，平面，所以⊥平面，其中到平面的距离为，而四边形的面积为，则三棱锥的体积为，C错误；D选项，取的中点，连接，因为，所以⊥，且，以的边所在直线为旋转轴将旋转，的轨迹为以为圆心，为半径的圆，过点作⊥于点，则，，连接交圆于点，连接，故当重合时，取得最小值，最小值为，取的中点，则，，又，故，又，故，由勾股定理得，同理，的延长线交圆于点，当重合时，取得最大值，其中，由勾股定理得，故取值范围是，D正确.故选：ABD方法提示：立体几何中截面的处理思路：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）12.已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______.答案：解析：思路：依题意可得，设在基底下的坐标为，根据空间向量基本定理得到方程组，求出、、即可得解.解答过程：由题意可知，设在基底下的坐标为，所以，可得，故在基底下的坐标为.故答案为：13.学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________答案：220解析：思路：先根据分层抽样的比例求出样本中男、女的人数，再结合已知条件，代入分层抽样的平均数与方差公式计算求解.解答过程：根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为，其中，男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，则样本的平均数，样本的方差，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为220．14.锐角的内角的对边分别为,,则的取值范围为__________.答案：解析：思路：由题意得到，如果设，那么问题转化为求的取值范围，则要确定的取值范围，利用正弦定理，同时结合锐角三角形条件确定的取值范围，进而得到的取值范围，借助对勾函数的单调性，即可求解的取值范围.解答过程：由题意得，设，则原式可写为，已知是锐角三角形，，为锐角，故.由余弦定理得，化简得.因为三角形三个角均为锐角，故余弦值均大于0：对，由余弦定理得，代入，得到，解得；对，由余弦定理得，代入，得到，解得，因此，由对勾函数性质知在上单调递减，在区间内，，故在上单调递减，因此，即.综上，的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，i为虚数单位，复数（1）当复数为纯虚数时，求的值；（2）已知，当时，若是关于的方程的一个根，求与的值.答案：（1）（2），解析：（1）因为为纯虚数，所以且，解得.（2）时，.因为是方程的一个根，所以代入得：，，解得，.16.江苏省阜宁中学积极响应国家号召，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值，以及样本的平均数；（2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线（精确到0.1）；（3）估计这组样本数据的众数和中位数．答案：（1），平均数为；（2）；（3）众数为，中位数为．解析：思路：（1）根据所有矩形的面积之和为1求解的值，根据平均数公式求解即可；（2）由题意可得不获奖人数占参赛总人数的，设获奖分数线为，先判断出，再由，求解即可；（3）由众数的定义求解众数，由中位的公式求解即可.（1）由题意可得，解得；设平均数为，则；（2）因为本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，所以不获奖人数占参赛总人数的，设获奖分数线为，因为分人数占总人数的；分人数占总人数的；分人数占总人数的；分人数占总人数的；而，，所以，所以，解得；（3）由众数的定义可知：此组数据的众数为;设中位数为，由（2）可知，所以.17.在中，角，，的对边分别为，，，ΔABC的面积为，若，且有.（1）求；（2）若的面积为=，求，；（3）若为锐角三角形，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）使用正弦定理角化边，再使用余弦定理求解即可；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可；（3）利用三角形的内角和及得到，使用二倍角公式与两角差的余弦公式得到，利用锐角三角形的条件得到角的范围，转化为三角函数的范围求解.（1）已知，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以.（2）由三角形面积公式，得①，由余弦定理知，即，得②，由①②解得，.（3）因为，，所以，则，即，，又，所以，因为为锐角三角形，，所以，解得，则，所以，所以，即的取值范围是.18.如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．答案：（1）为等腰梯形，，，又平面平面，平面平面，平面，又平面，平面平面.（2）（3）存在，解析：思路：（1）通过面面垂直的性质定理和判定定理即可证得；（2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出；（3）设，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可.（1）略（2），，平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，故两两互相垂直，以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，在等腰梯形，，，，，，则，设平面的法向量为，则，即，取，则，则，设直线与平面所成角为，则.（3）设，则，设平面的法向量为，则，即，取，则，则，由题（2）可知，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，整理得，解得或（舍去），故棱（不包括端点）上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时.19.如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于垂心H．（1）求；（2）若点T为劣弧BHC上一动点，求的最小值；（3）若，求的