宁夏回族自治区银川市唐徕中学2025-2026学年高一下册期末数学试卷-含答案

数学本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知一组数据3，a，1，6，4，8的平均数是5，则这组数据的中位数是（）A.3.5 B.4 C.5 D.5.52.已知复数满足：，则复数在复平面中对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.小明投篮两次，设“第一次投中”，“第二次投中”，“至少投中一次”，则下列说法正确的是（）A.与互斥 B.与相互独立C. D.与是对立事件4.设向量，，若，则（）A. B. C. D.5.已知正四棱锥的底面边长为2，表面积为12，则其体积为（）A. B. C.4 D.6.现有，两道试题，甲、乙、丙三位同学各自独立等可能地从两道试题中抽取一道进行解答，则“至少有一位同学抽到试题”的概率是（）A. B. C. D.7.已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.平面内三点，，满足：且，动点满足，则的最大值是（）A. B. C.6 D.8二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（）A.若与互斥，则B.若，则C.若与相互独立，则D.若，则与相互独立10.在正方体中，下列说法正确的是（）A.直线与平面所成的角为B.C.平面平面D.当在棱上运动时，三棱锥的体积与该正方体的棱长有关11.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，且.记该棋手连胜两盘的概率为，则下列说法正确的是（）A.与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，最小C.该棋手在第二盘与乙比赛，最小D.该棋手在第二盘与丙比赛，最大三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应位置上.12.某中学共有学生1600人，现为了调查全校学生身高情况，按性别进行分层抽样，获得了容量为200的一个样本，已知在此样本中女生比男生多10人，则该校女生人数是______________.13.已知钝角三角形的面积为，，，则______________.14.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，是球的直径，且球的表面积为，则此棱锥的体积为______________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，直三棱柱中，、分别是、的中点，.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.16.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率是，甲、乙都能破译的概率是.（1）求乙能破译的概率；（2）求恰有一人能成功破译的概率；（3）求密码被成功破译的概率.17.为了让学生更好地遵守校纪校规，某中学对全校学生进行了校纪校规测试，试卷满分100分，所有学生的成绩均在[40，100].已知该校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200、1000、800，现按年级采用分层抽样的方式抽取了300名学生的成绩，绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求样本中各年级的人数；（2）根据频率分布直方图估计本次测试全校学生成绩的平均分和中位数；（3）经过计算，现已知样本方差为83，高一年级成绩的平均分是65，方差是75，高二年级的平均分是69，高三年级的方差是55，求高三年级的平均分和高二年级的方差.18.在中，，为边上一点，且，.（1）若，求：①；②的面积；（2）求的取值范围.19.如图，四面体中，，，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）设，，点在上.当的面积最小时，求：①；②直线与平面所成角的正切值.

数学本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知一组数据3，a，1，6，4，8的平均数是5，则这组数据的中位数是（）A.3.5 B.4 C.5 D.5.5答案：C解析：解答过程：由题意得，，得，则数据从小到大排列为，中位数为.2.已知复数满足：，则复数在复平面中对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：解答过程：对两边同时除以，得，化简得，而，可知点位于第四象限，故D正确.3.小明投篮两次，设“第一次投中”，“第二次投中”，“至少投中一次”，则下列说法正确的是（）A.与互斥 B.与相互独立C. D.与是对立事件答案：D解析：解答过程：投篮结果为：（中，中），（中，未中），（未中，中），（未中，未中），则事件包含：（中，中），（中，未中）；事件包含：（中，中），（未中，中）；事件包含：（中，中），（中，未中），（未中，中），则与不互斥，，故A，C选项错误，D正确；，则，故B错误.4.设向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，，，则，当时，，此时，故，等式两边同时除以：，B正确.5.已知正四棱锥的底面边长为2，表面积为12，则其体积为（）A. B. C.4 D.答案：A解析：解答过程：，已知总表面积为12，则侧面积为，正四棱锥的侧面由4个全等的等腰三角形组成.设侧面三角形的斜高为，则，即，正四棱锥的高、斜高以及底面中心到边的距离构成一个直角三角形，如图所示，作出符合题意的图形，根据勾股定理得，则正四棱锥的体积为，A正确.6.现有，两道试题，甲、乙、丙三位同学各自独立等可能地从两道试题中抽取一道进行解答，则“至少有一位同学抽到试题”的概率是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：三位同学抽题的所有可能组合总数为：种，“至少有一位同学抽到试题”的对立事件是“所有同学都抽到试题

”，对立事件发生的概率为：，则“至少有一位同学抽到试题”的概率为，B正确.7.已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用定义法，结合余弦定理求解.解答过程：设，延长至，使得，连接，因为B1C1即B1D⫽BC1,B1D=B，在中，因为，，所以，则，，由于异面直线所成角的取值范围为，故，即与所成角的余弦值为.8.平面内三点，，满足：且，动点满足，则的最大值是（）A. B. C.6 D.8答案：A解析：思路：建立平面直角坐标系将向量坐标化，结合点的单位圆轨迹，用辅助角公式求解数量积的最大值解答过程：由得，以为原点，为轴正方向，为轴正方向建系，得，；由得在单位圆上，设，，则，，可得

，由辅助角公式得，其最大值为，因此原式最大值为.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（）A.若与互斥，则B.若，则C.若与相互独立，则D.若，则与相互独立答案：ACD解析：解答过程：对于A：因为，若与互斥，则，所以，A正确；对于B：若，此时，所以，B错误；对于C：若与相互独立，则，根据加法公式：，C正确；对于D：若，则，满足，即与相互独立，D正确.10.在正方体中，下列说法正确的是（）A.直线与平面所成的角为B.C.平面平面D.当在棱上运动时，三棱锥的体积与该正方体的棱长有关答案：BCD解析：思路：法一找到线面角，利用定义法判断A，利用线面垂直的判定定理得到面，进而得到判断B，利用面面垂直的判定定理判断C，求出底面面积，利用等体积法求出点到平面的距离，利用棱锥的体积公式得到，进而判断D即可，法二空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用线面角的向量求法判断A，利用空间位置关系的向量证明判断B，C，求出底面三角形面积和点到平面的距离，利用棱锥的体积公式得到，进而判断D即可.解答过程：法一：对于A，如图，作出符合题意的图形，连接，由正方体性质得面，则直线与平面所成的角为，设正方体的棱长为，由勾股定理得，，，则，故A错误，对于B，由正方体性质得，，而，面，可得面，而面，则，故B正确，对于C，因为面，所以平面平面，故C正确，对于D，如图，作出符合题意的图形，连接，由正方体性质得，因为面，面，所以面，而在棱上运动，可得到面的距离等于到面的距离，由勾股定理得，由正方体性质得面，而面，则，由三角形面积公式得，设到面的距离为，由等体积公式得，则，解得，由棱锥的体积公式得，可得三棱锥的体积与该正方体的棱长有关，故D正确.法二：对于A，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，连接，作出符合题意的图形，由题意得，，，则，由题意得平面的法向量为，则，则直线与平面所成的角不为，故A错误；对于B，由题意得，，则，可得，则，故B正确；对于C，由题意得，，设平面的法向量，可得，令，解得，则，由题意得，，设面的法向量为，可得，令，解得，则，则，得到平面平面，故C正确，对于D，设正方体的棱长为，由题意得，，，则，，设平面的法向量，可得，令，解得，则，由题意得，，，，则，，设，可得，解得，则，则，设到面的距离为，由点到平面的距离公式得，因为，，，所以，由两点间距离公式得，，由勾股定理得，则，由三角形面积公式得，由棱锥的体积公式得，可得三棱锥的体积与该正方体的棱长有关，故D正确.11.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，且.记该棋手连胜两盘的概率为，则下列说法正确的是（）A.与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，最小C.该棋手在第二盘与乙比赛，最小D.该棋手在第二盘与丙比赛，最大答案：BD解析：思路：根据独立事件求，，，利用作差法比较大小，进而分析判断即可.解答过程：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，则此时连胜两盘的概率为，则；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，则；记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为，则；则，，可得，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大，选项BD判断正确；选项C判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关，选项A判断错误.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应位置上.12.某中学共有学生1600人，现为了调查全校学生身高情况，按性别进行分层抽样，获得了容量为200的一个样本，已知在此样本中女生比男生多10人，则该校女生人数是______________.答案：840解析：解答过程：设样本中男生人数为，女生人数为，由题可得：，联立解得，抽样比例为：，则该校女生人数是人.13.已知钝角三角形的面积为，，，则______________.答案：解析：思路：先利用三角形面积公式求出角的正弦值，确定角的两个可能取值，再结合钝角三角形的约束排除不符合的情况，最后通过余弦定理计算的长度.解答过程：设，，，角为边与的夹角，由三角形面积公式，代入已知，，，得：

解得，由于是三角形内角，即，因此或，分情况讨论：若，由余弦定理得：

，

即，此时三角形三边长为，满足，为直角三角形，不符合钝角三角形的题设，舍去；若，由余弦定理得：

，

即，此时最大边为，对应角为钝角，符合题设.综上，.14.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，是球的直径，且球的表面积为，则此棱锥的体积为______________.答案：解析：思路：根据球的表面积可得，根据球的性质可得，进而可得三棱锥的高，即可得锥体体积.解答过程：设球的半径为，则，解得，可得，因为的外接圆半径，则，且为的中点，可知三棱锥的高，所以此棱锥的体积为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，直三棱柱中，、分别是、的中点，.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.答案：（1）连接与相交于点，连接，由矩形可得点是的中点，且是的中点，则，且平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）连接交于点F，由三角形中位线定理得，由此能证明平面；（2）可证平面，三棱锥的高为，可求的面积，利用转换顶点法求锥体的体积.（1）略（2）因为，是的中点，则，又因为平面，平面，则，且，平面，可得平面，则三棱锥的高为，因为，，所以，且的面积，所以三棱锥的体积.16.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率是，甲、乙都能破译的概率是.（1）求乙能破译的概率；（2）求恰有一人能成功破译的概率；（3）求密码被成功破译的概率.答案：（1）（2）（3）解析：（1）设事件为“甲能破译”，事件为“乙能破译”根据题意已知：甲能破译的概率，，由于两人独立，所以，代入可得.所以乙能破译的概率为.（2）恰有一人能成功破译”包含两种互斥的情况：甲能破译，乙不能破译（即），甲不能破译，乙能破译（即）.则,，所以所求概率为.（3）密码被成功破译，则甲、乙两人中至少有一人能破译，对立事件为甲、乙两人都不能破译，，所以所求概率为.17.为了让学生更好地遵守校纪校规，某中学对全校学生进行了校纪校规测试，试卷满分100分，所有学生的成绩均在[40，100].已知该校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200、1000、800，现按年级采用分层抽样的方式抽取了300名学生的成绩，绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求样本中各年级的人数；（2）根据频率分布直方图估计本次测试全校学生成绩的平均分和中位数；（3）经过计算，现已知样本方差为83，高一年级成绩的平均分是65，方差是75，高二年级的平均分是69，高三年级的方差是55，求高三年级的平均分和高二年级的方差.答案：（1）样本中高一、高二、高三年级的人数分别为，，；（2）平均分为，中位数为；（3）高三年级的平均分为，高二年级的方差为.解析：（1）

由题意可知，全校学生总人数为人.抽样比为.则样本中高一人数为，高二人数为，高三人数为.（2）由频率分布直方图可知，各组的频率分别为：：；：；：；：；：；：.平均分为.因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以中位数位于第三组内.设中位数为，则，解得.故估计本次测试全校学生成绩的平均分为，中位数为.（3）设高一、高二、高三年级的样本容量分别为，平均分分别为，方差分别为，总样本的平均分为，方差为.由题意知，.；；.由，得，即，解得.由分层抽样总方差公式，得，即，，解得.故高三年级的平均分为，高二年级的方差为.18.在中，，为边上一点，且，.（1）若，求：①；②