宁夏回族自治区中卫市海原县某校2025-2026学年高三上册开学考试数学试卷-含答案

数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.3.样本数据为2，3，4，4，5，a，5，6，7，9，若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则a为（）A.3 B.4 C.5 D.64.不等式的解集为（）A. B. C. D.5.已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（）A. B. C. D.6.等差数列的前项和，已知，，则的值是（）.A. B. C. D.7.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（）A.2 B.3 C. D.8.已知，，，则（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.设为等比数列的前n项和，已知，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中正确的是（）A.的单调递增区间为和 B.C.的最大值为4 D.当时，11.设双曲线的左，右焦点分别为，，且，为上关于原点中心对称的两点，则（）A.的实轴长为B.C.若，则直线的斜率为D.若，则第II卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，，若，则实数______．13.已知函数，则曲线在处的切线方程为______.14.2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数的最小正周期为．（1）求的值，并求的单调递减区间；（2）求在上的值域．16.已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积．17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，E是棱PA的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．18.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）求的极值.19.在空间直角坐标系中，某质点从原点出发，每秒向轴、轴或轴正、负方向移动一个单位，且向六个方向移动的概率均相等.（1）求该质点在第秒末移动到点的概率；（2）设该质点在第秒末移动到点，记随机变量，求的均值；（3）设该质点在第秒末回到原点的概率为，证明：.

数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据集合交集的概念直接求解即可.解答过程：因为集合，，所以，故选：B2.若复数满足，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据复数的除法运算计算可求得答案.解答过程：由，可得.故选：A.3.样本数据为2，3，4，4，5，a，5，6，7，9，若删除a后的新数据与原数据平均数相同，则a为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：思路：根据平均数的定义代入计算可得结果.解答过程：删除a后的新数据的平均数为，则原数据的平均数也为5，因此数据总和为50，所以可得，解得.故选：C4.不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.解答过程：不等式等价于，解得或．故选：D5.已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，利用余弦定理求解即得.解答过程：在中，由，得，由余弦定理得，而，所以.故选：C6.等差数列的前项和，已知，，则的值是（）.A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意，设等差数列的公差为，则，故，故，故选．7.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（）A.2 B.3 C. D.答案：C解析：思路：求得抛物线的准线方程及点的纵坐标后，利用抛物线的定义计算即可.解答过程：抛物线的标准方程为，故其准线方程为，点在抛物线上，故，由抛物线的定义知，，故选：C.8.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据三角函数的基本关系式，求得的值，再由，结合两角和的正弦公式，即可求解.解答过程：由，可得，因为，，可得，，所以.故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.设为等比数列的前n项和，已知，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：根据等比数列公式得到，，计算得到，，对比选项得到答案.解答过程：，，解得，，故，，，故BD正确，AC错误.故选：BD.10.是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法中正确的是（）A.的单调递增区间为和 B.C.的最大值为4 D.当时，答案：ACD解析：思路：A选项，先得到时，单调递增，当时，单调递减，结合函数的奇偶性得到A正确；B选项，由函数奇偶性和单调性得到；C选项，由函数单调性得到最大值为；D选项，利用函数奇偶性得到.解答过程：A选项，当时，，故当时，单调递增，当时，单调递减，又是定义在R上的偶函数，故当时，单调递增，综上，的单调递增区间为和，A正确；B选项，由A选项，当时，单调递减，，B错误；C选项，由A选项，在和上单调递增，在和上单调递减，故当和时，取得最大值，最大值为，C正确；D选项，当时，，故，D正确.故选：ACD11.设双曲线的左，右焦点分别为，，且，为上关于原点中心对称的两点，则（）A.的实轴长为B.C.若，则直线的斜率为D.若，则答案：ABD解析：思路：A利用即可；B利用对称性得出，再结合双曲线的定义即可；C利用即可求出点坐标，再计算直线的斜率即可；D利用并结合双曲线的定义可得，再利用勾股定理即可.解答过程：设为双曲线的半焦距，则2，由，即，所以的实轴长为，故A正确；由于关于原点中心对称，关于原点中心对称，所以四边形为平行四边形，所以，所以，故B正确；由，解得，所以，所以直线斜率即直线斜率，，故C错误；由，，可得，，则，所以，又，所以，故D正确.故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，，若，则实数______．答案：解析：思路：利用向量垂直的坐标表示即求.解答过程：∵向量，，，∴，所以．故答案为：.13.已知函数，则曲线在处的切线方程为______.答案：解析：思路：求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程.解答过程：由可得，∴.∵.所以曲线在处的切线方程为，即.故答案为：.14.2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为________．答案：解析：思路：根据侧面与底面夹角求出底面边长，即可求出底面积，再由锥体的体积公式计算可得.解答过程：正六棱锥，如图所示，为底面中心，取的中点，连接、，因为为正六棱锥，所以，，所以为侧面与底面的夹角，所以，又底面，底面，所以，所以，又底面为正六边形，所以为等边三角形，所以，则，所以，所以，所以六棱锥的体积为．故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数的最小正周期为．（1）求的值，并求的单调递减区间；（2）求在上的值域．答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据余弦型函数周期公式及余弦型函数单调性求解即可；（2）根据自变量范围，利用整体替换思想结合余弦函数性质求解.（1）由题意可知．所以即所以所以所以的单调减区间为（2）因为，所以，所以，所以，所以函数在上的值域为.16.已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由基本量求解椭圆方程即可.（2）求出直线与椭圆的交点坐标，再求解三角形面积即可.（1）由题设知，所以，于是椭圆的方程为；（2）依题意，直线的方程为，设，联立，解得或，所以的面积.17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，E是棱PA的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）证明见解析.（2）.解析：思路：（1）连接交于点，连接，证明即可.（2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法求出面面角的余弦值.（1）在四棱锥中，连接交于点，连接，由四边形为正方形，得为的中点，又E是棱PA的中点，则，而平面，平面，所以平面.（2）在四棱锥中，平面，因为平面，所以，以点为原点，直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，取，则，，得，设平面的法向量为，则，解得，取，则，得，因此，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）求的极值.答案：（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）答案见解析.解析：思路：（1）求出函数的导函数，再根据导函数的符号即可得出函数的单调区间；（2）分，两种情况讨论函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案.解答过程：解：由题意，的定义域为，且.（1）当时，，令，解得.∴当时，，单调递减，当时，，单调递增.∴在上单调递减，在上单调递增；（2）①当时，恒成立，在上单调递增，故函数无极值；②当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增.∴的极小值为，无极大值.19.在空间直角坐标系中，某质点从原点出发，每秒向轴、轴或轴正、负方向移动一个单位，且向六个方向移动的概率均相等.（1）求该质点在第秒末移动到点的概率；（2）设该质点在第秒末移动到点，记随机变量，求的均值；（3）设该质点在第秒末回到原点的概率为，证明：.答案：（1）（2）（3）质点要在第秒末回到原点，则必定向轴正、负方向移动相同的次数，设为次，向轴正、负方向移动相同的次数，设为次，向轴正、负方向移动相同的次数，为次.所以，，所以.解析：思路：（1）根