山东省德州市2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学第I卷选择题一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.已知集合，则中元素的个数为（）A.1 B.2 C.4 D.52.已知，且在处可导，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知数列是等比数列且是其前项和，，若，则（）A.8 B.9 C.10 D.114.已知函数，则（）A. B. C. D.5.数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个点后，得到新的回归直线必过点（）A. B. C. D.6.已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（）A. B. C. D.8.定义以及集合运算；已知集合．设函数，记集合，若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列说法正确的是（）A.根据变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可以说有的把握认为与有关B.由独立性检验推断有的把握认为“吸烟与患肺病有关”，若有一人吸烟，说明该吸烟者有的可能患有肺病C.研究线性回归模型时，若成对数据所对应的点均在直线上，则线性相关系数为D.以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是10.设函数，则（）A.函数的单调递增区间为B.当时，C.函数图象关于点中心对称D.若方程只有一个实根，则11.若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”．已知函数是函数的一对“关于直线的共轴切点”，则（）A.在上单调递增B.存在唯一的极小值点C.若过的两条切线交于点，则D.若的横坐标分别为，则第Ⅱ卷非选择题三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设为等差数列的前项和，若，则___________．13.已知命题，使得为假命题，则实数的取值范围为___________．14.已知曲线，若曲线上点关于轴的对称点落在曲线上，则___________；若曲线上存在点，使其关于轴的对称点落在曲线上，则实数的取值范围为___________．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的最值．16.随着直播带货的兴起，某品牌推出了一款新型智能家电，为了制定合理的营销策略，运营团队统计了该产品今年3月至7月的销售额，数据如下（单位：万元）：月份34567销售额万元1012111220（1）据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱）（2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并估计8月份的销售额．参考数据：．参考公式：对于一组数据，其相关系数，其回归直线中，．17.已知函数，曲线在点处的切线交轴于；在点处的切线交轴于；在点处的切线交轴于；由此得到一个数列．（1）求的值；（2）设，求的解析式；（3）设，求的前项和．18.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在实数，满足，求实数的取值范围．19.已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数．已知函数．（1）若，证明为凸函数；（2）若是凹函数，求实数的取值范围；（3）有两个不同的零点，证明：．

数学第I卷选择题一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.已知集合，则中元素的个数为（）A.1 B.2 C.4 D.5答案：D解析：思路：先写出集合的所有元素，再根据交集定义找出与的公共元素，统计公共元素的个数即可得到结果.解答过程：因为，所以，即中元素个数为5.2.已知，且在处可导，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：，若，则，解得，又因为的定义域为，所以；若，则，所以“”是“”的充要条件.3.已知数列是等比数列且是其前项和，，若，则（）A.8 B.9 C.10 D.11答案：A解析：思路：由解得,然后根据求和公式建立方程求解即可解答过程：在等比数列中，设公比为,因为，所以,解得.,解得.4.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：对原函数求导得到导函数后，将代入导函数构造关于的一元一次方程，解方程即可得到结果.解答过程：，令，则，解得.5.数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个点后，得到新的回归直线必过点（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出去除后的样本中心点，得到答案解答过程：一定过样本中心点，将代入得得，故，，所以，，去除后，新的平均数为和，故新的样本中心点为，所以新的回归直线必过点.6.已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求导，将区间存在递减区间转化为在有解，构造函数求其区间最大值，再验证临界值得到的取值范围.解答过程：由，得

，因为函数在上存在单调递减区间，所以存在，使得，即在上有解，所以，设，则，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，，，因此在上的最大值为，当时，在上恒成立（仅端点处导数为0，区间内导数恒正），函数单调递增，不存在递减区间，因此，即的取值范围是.7.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据已知条件构造函数，不等式可化为，利用的单调性求解．解答过程：设，则，由，得，又，所以，所以在上单调递减，又，由，得，即，所以，所以个选项中，均不满足，仅满足．8.定义以及集合运算；已知集合．设函数，记集合，若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先根据新定义求出集合对称差，推出不能包含元素，转化为，解不等式结合得到的取值范围.解答过程：根据定义，说明与异号，即恰好属于中的一个，若且，则；若且，则；因此，不在中的元素为，由任意都有，可得不包含不在的元素，又的定义域是，因此和交集为空，只需满足，因为，因此条件等价于.因为结合，得.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列说法正确的是（）A.根据变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可以说有的把握认为与有关B.由独立性检验推断有的把握认为“吸烟与患肺病有关”，若有一人吸烟，说明该吸烟者有的可能患有肺病C.研究线性回归模型时，若成对数据所对应的点均在直线上，则线性相关系数为D.以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是答案：ACD解析：思路：选项A，根据卡方值大于临界值得出有把握两变量相关；选项B，区分相关性结论与个体患病概率，说法错误；选项C，所有点在负斜率直线上则完全负相关，相关系数为；选项D，对指数模型取对数线性化，对比线性方程系数求出与．解答过程：对于A，独立性检验中，，说明在的显著性水平下拒绝“与独立”的原假设，有的把握认为与有关，A正确；对于B，的把握认为“吸烟与患肺病有关”是群体层面的相关性结论，不是指单个吸烟者有的概率患肺病，个体患病概率受很多因素影响，B错误；对于C，所有样本点都在直线上，且斜率为负，属于完全负线性相关，线性相关系数，C正确；对于D，对两边取自然对数，令，得和对比，所以，，D正确．10.设函数，则（）A.函数的单调递增区间为B.当时，C.函数图象关于点中心对称D.若方程只有一个实根，则答案：BC解析：思路：根据导数与函数单调性的关系判断单调区间，值域范围以及图象；根据对称性的等式关系判断对称中心．解答过程：由可得，当时，解得或；当时，解得；故函数的单调递增区间为，A错误；当时，，在上单调递减，故，，故，B正确；因为，故函数图象关于点中心对称，C正确；由函数的单调性可知，在处取极大值，在处取极小值；当时，，时，；由只有一个实根，可知图象与有一个交点，由图象可知：，故D错误．11.若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”．已知函数是函数的一对“关于直线的共轴切点”，则（）A.在上单调递增B.存在唯一的极小值点C.若过的两条切线交于点，则D.若的横坐标分别为，则答案：BCD解析：思路：先利用导数分析原函数的单调性与极值情况；再根据题目给出的“共轴切点”定义，写出曲线切线方程，结合切线交于直线上同一点的条件，转化得到以切点横坐标为自变量的新函数；借助导数研究该新函数的单调性、最值，分析交点纵坐标的取值范围；最后针对两个切点横坐标满足函数值相等的双变量条件，采用极值点偏移的对称构造法，建立两个横坐标之间的不等关系.解答过程：对进行求导得，令，，故在上单调递增.由，，由零点存在性定理存在唯一，满足.所以当，，单调递减；当，，单调递增.因此先减后增，仅有唯一极小值点，无极大值点.所以A错误，B正确.设，，切线经过.构造辅助函数：，则.计算得：，，所以在单调递增，在单调递减，在处取得最大值：.由于，最大值只能在时取到一次，因此：，故C正确.由且，结合的单调性可得：.要证，即证.令，，计算得：，当时，显然成立；当时，需证，等价于：.令，则，不等式转化为：，由常见不等式，可知成立.所以恒成立，即，从而，故：，所以D正确.第Ⅱ卷非选择题三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设为等差数列的前项和，若，则___________．答案：24解析：思路：利用等差数列通项公式，代入首项与第三项的值解出公差，再代入等差数列前项和公式计算.解答过程：设等差数列的公差为，由可得，解得公差，所以.13.已知命题，使得为假命题，则实数的取值范围为___________．答案：解析：思路：将假命题转化为恒成立问题，分离参数后转化为求函数在给定区间上的最小值即可求解．解答过程：命题为假，意味着不存在使成立，即对任意，都有，也就是恒成立，设，则，当时，，所以在上单调递增，最小值为，因此，即．14.已知曲线，若曲线上点关于轴的对称点落在曲线上，则___________；若曲线上存在点，使其关于轴的对称点落在曲线上，则实数的取值范围为___________．答案：①.1②.解析：思路：对①，求出点坐标，写出其关于轴的对称点，将对称点代入直线解析式建立指数方程求解；对②，利用轴对称点纵坐标互为相反数列等式，通过指数同构换元证明仅有解，参变分离构造函数求值域，得到的取值范围.解答过程：对于①：，故，关于轴的对称点，因在上，代入得，因此，解得；对于②：设在的图象上，其对称点在上，故得方程，因为，令，则方程化为，设，则，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以最小值为，故方程仅有解，因此原方程等价于，即有解​，设函数，则，令得，在单调递减，在单调递增，最小值，且时，时，故的值域为，即的范围是.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的最值．答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）最大值为，最小值为解析：思路：（1）先求函数导数并通分整理，令导数为0求出定义域内临界点，分区间判断导数正负，从而得到函数单调区间；（2）借助（1）的单调性确定区间内极小值点，计算极小值与区间两端点函数值，比较端点函数值大小得出区间最值。（1），令，得到（舍）当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为所以最大值为综上：函数在区间上的最大值为，最小值为16.随着直播带货的兴起，某品牌推出了一款新型智能家电，为了制定合理的营销策略，运营团队统计了该产品今年3月至7月的销售额，数据如下（单位：万元）：月份34567销售额万元1012111220（1）据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱）（2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并估计8月份的销售额．参考数据：．参考公式：对于一组数据，其相关系数，其回归直线中，．答案：（1），线性相关性很强（2），19万元解析：思路：（1）先计算样本均值、离差乘积和、离差平方和，代入相关系数公式算出，对比临界值判断变量线性相关强弱；（2）利用最小二乘法公式求出回归系数，再代入均值算出截距得到回归直线，最后将代入方程完成销售额预测.（1）由已知得，，故，所以与的线性相关性很强．（2）因为，所以，所以关于的线性回归方程为，当时，（万元），所以估计8月份的销售额为19万元.17.已知函数，曲线在点处的切线交轴于；在点处的切线交轴于；在点处的切线交轴于；由此得到一个数列．（1）求的值；（2）设，求的解析式；（3）设，求的前项和．答案：（1）；（2）；（3）．解析：思路：（1）求导得切线斜率，写出切线方程，令解出；（2）设切点，写出切线方程，令整理得递推式；（3）由递推式取倒数并配方可得，从而求出的通项，再代入求和．（1）已知在处切线斜率切线方程：与轴交点，令得，即．（2）已知点，切线斜率：切线方程：与轴交点，令得解得所以．（3）由变形：两边取倒数：因为，所以,即由所以是以2为首项，2为公比的等比数列所以．18.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在实数，满足，求实数的取值范围．答案：（1）当时，在单调递减，在单调递增；当时，在和上单调递增，在单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在单调递减（2）解析：思路：（1）先因式分解导函数，以、、为分界分类讨论的取值，通过判断导数正负得到函数单调区间；（2）整理原不等式，分、分离参数，构造函数并求导分析单调性，求出对应区间上的最值，进而确定的取值范围.（1）依题意．①当时，，当，即时，在上单调递增，当，即时，在上