山东省济宁市2025-2026学年高一下册质量检测数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据3，3，4，5，6，7，7，8的第60百分位数为（）A.4 B.5 C.6 D.72.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则4.如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则的值为（）A. B. C. D.5.已知六边形为正六边形，且，，则（）A. B.C. D.6.已知10个样本数据，，…，均为正数，其方差为11，且，则这10个样本数据的平均数为（）A.1 B.2 C.3 D.47.已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，且．，，若球O的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.在边长为2的正方形中，点M为正方形内切圆上任意一点，若将，，，四个向量任意分成两组和，则（）A.1 B.4 C.0或1 D.0或4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.设复数，则（）A.B.C.D.若复数z是关于x的方程的根，则10.在中，内角所对的边分别为，若，，则（）A. B.C. D.若为的重心，则11.已知正方体的棱长为1，以为球心，为半径的球面与平面的交线为L，点P为L上的动点，则（）A.点到平面的距离为B.交线L的长度为C.的最大值为D.直线与平面所成角的正切值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________.13.如图所示，某船在海面上航行至A处，测得山顶P的仰角为，由A前行500米至B处，测得山顶P的仰角为，沿着的方向继续前行500米至C处，测得山顶P的仰角为，则山顶P高于海面________米．14.已知是边长为2的等边三角形，点P是平面外的一点，，直线与平面所成的角为，则三棱锥体积的最大值是____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数．（1）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围；（2）若为纯虚数，复数满足，求的最小值．16.为提升旅游服务品质，某国家5A级人文景区开展游客满意度调查，现随机抽取100名游客开展满意度百分制打分，并依据评分结果绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）估计游客满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若采用按比例分配的分层随机抽样方法，从满意度评分在和的游客中共抽取10人参加座谈，求满意度评分在和的游客应分别抽取多少人？17.在平面直角坐标系中，已知，，．（1）求；（2）若四边形是等腰梯形，且，求点D的坐标．18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．（1）求A；（2）若点D满足，，求的面积．（3）若P为内一点，且，，求的周长．19.如图所示，在四棱锥中，和都垂直于平面，，平面分别交侧棱，于点E，F，且平面．（1）证明：E为的中点；（2）已知点M为内（含边界）不与A，D重合的一点，且．（ⅰ）证明：平面平面；（ⅱ）若，求二面角的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据3，3，4，5，6，7，7，8的第60百分位数为（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：C解析：解答过程：首先将样本数据按从小到大排序：，可知样本容量，，则第60百分位数为排序后第5个数据，所以该组数据的第60百分位数为.2.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：已知，，且，因此

，整理得，解得.3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：D解析：解答过程：

对选项A，若，，则与的位置关系可能为平行、相交或异面，故A错误；对选项B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误；对选项C，若，，则可能平行于，也可能，故C错误；对选项D，由面面平行的推论可知，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，因此若，，则，故D正确.4.如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据斜二测画法的规则还原原图形，确定边长关系，利用正弦定理或三角函数定义求解.解答过程：设，由，可得，．根据斜二测画法的规则，原图形中，，，，且．在中，，在中，．由正弦定理得．5.已知六边形为正六边形，且，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据向量加法的平行四边形法则，结合正六边形的性质求解即可.解答过程：设正六边形的中心为，结合正六边形性质可得，，，，，所以，整理得，即，所以.6.已知10个样本数据，，…，均为正数，其方差为11，且，则这10个样本数据的平均数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：根据方差的计算公式，结合已知条件建立关于平均数的方程，结合样本均为正数求解即可.解答过程：设这10个样本数据的平均数为，样本容量.

因为，所以，即.由于所有样本数据均为正数，因此平均数，故.7.已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，且．，，若球O的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：通过余弦定理判断形状后确定外接圆圆心位置，进一步判断球心位置，并通过数量积求解直线夹角余弦值.解答过程：因为，，，所以，解得，所以，因此，外接圆圆心位于中点.同理，外接圆圆心位于中点.由此可知，外接球球心位于中点.因为球表面积为，设外接球半径为，所以，解得，所以，.以作为基底，分别记作，得，.所以.8.在边长为2的正方形中，点M为正方形内切圆上任意一点，若将，，，四个向量任意分成两组和，则（）A.1 B.4 C.0或1 D.0或4答案：D解析：思路：以正方形内切圆圆心建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，分类讨论并分别求出每种情况的向量的数量积即可.解答过程：边长为的正方形，设内切圆圆心为原点，过点水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，如下图所示则点，，，，，正方形内切圆半径，则设点，，，，，两两分组，分类讨论，和，，则；和，，则；和，，则，综上所述四个向量任意分成两组，等于0或4，故选项D正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.设复数，则（）A.B.C.D.若复数z是关于x的方程的根，则答案：BD解析：解答过程：，则，A错误；，B正确；，C错误；，也是方程的根，根据韦达定理：两根之和：，两根之积：，，D正确.10.在中，内角所对的边分别为，若，，则（）A. B.C. D.若为的重心，则答案：ACD解析：思路：先利用向量数量积的定义结合射影定理求解边长，再通过余弦定理化简第二个等式得到的值，以此为基础依次分析各选项：利用向量点积结合余弦定理判断选项C，利用重心性质判断选项D.解答过程：∵，，∴.由射影定理可知，∴，又，解得，故选项A正确.将，代入等式的右侧：右侧.∴，整理得，∵，∴，故选项B错误.，故选项C正确.∵为的重心，由重心的向量性质可得，∴.其中，，故，且已求得，代入得，∴，故选项D正确.方法提示：方法归纳：本题综合考查平面向量、解三角形的知识点，处理向量与三角形结合的问题时，可优先将向量点积转化为边长与夹角余弦的乘积，结合正余弦定理、射影定理简化运算.11.已知正方体的棱长为1，以为球心，为半径的球面与平面的交线为L，点P为L上的动点，则（）A.点到平面的距离为B.交线L的长度为C.的最大值为D.直线与平面所成角的正切值为答案：ABD解析：思路：对于A：利用等体积法求解判断；对于B：求出截面圆的半径，从而可求出交线L的长度；对于C：证得平面，平面，求出的内切圆恰好为交线L，然后在平面建平面直角坐标求解；对于D：在直角求解即可.解答过程：对于A，因为正方体的棱长为1，所以，所以，设点到平面的距离为，则，因为，所以，得，所以A正确；对于B：球面以为球心，半径，球面与平面的交线为截面圆，设截面圆半径为，由勾股定理，代入计算：

r2=交线就是整个截面圆，周长为：

，所以B正确；对于C：因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，因为，平面，所以平面，设平面，由正方体的对称性可知点为正三角形的中心，设的中点为，则，所以，所以由选项B可知，以为半径的球面与平面的交线L恰好正三角形的内切圆，如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则,正三角形的内切圆方程为，设点，则，，所以，因为，所以的最大值为，所以C错误；对于D：直线与平面所成角为，由选项A知点到平面的距离为，由选项BC知点的轨迹为的内切圆，且，因为平面，平面，所以，所以，所以D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________.答案：解析：思路：通过圆锥侧面展开图是半圆，求出底面母线，再用侧面积公式计算即可.解答过程：圆锥侧面展开图是半圆，底面半径为1，圆锥底面周长是，则母线长为.则圆锥侧面积为.故答案为：.13.如图所示，某船在海面上航行至A处，测得山顶P的仰角为，由A前行500米至B处，测得山顶P的仰角为，沿着的方向继续前行500米至C处，测得山顶P的仰角为，则山顶P高于海面________米．答案：解析：思路：设出高度并表示出各线段长度后，通过余弦定理求解即可.解答过程：由题意得，，，，，.设，则，，.因为，所以，所以，，解得.14.已知是边长为2的等边三角形，点P是平面外的一点，，直线与平面所成的角为，则三棱锥体积的最大值是____．答案：解析：思路：取的中点，证平面、平面平面，得与平面所成角为；在中由余弦定理结合均值不等式求得最大值为，算出最大面积，再利用平面将三棱锥体积转化为，代入求得体积最大值．解答过程：是边长为2的等边三角形，，取的中点，连接，因为，且是的中点，所以，因为是等边三角形，且是的中点，所以，，，又平面，且，所以平面，因为平面，所以平面平面，且平面平面，过作于，因为平面，所以平面，所以与平面所成角就是，在中，，，由，得，即，当且仅当时，等号成立，所以，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数．（1）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围；（2）若为纯虚数，复数满足，求的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围；（2）利用复数为纯虚数求出的值，可得出复数的值，设，根据复数的模长公式以及可求出的值，再利用复数的模长公式可求得的最小值.（1）由复数的几何意义可知，复数在复平面内对应点的坐标为，该点位于第三象限，所以，解得，故实数的取值范围是.（2）若复数为纯虚数，则，解得，此时，设，则，由可得，解得，故，故，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.16.为提升旅游服务品质，某国家5A级人文景区开展游客满意度调查，现随机抽取100名游客开展满意度百分制打分，并依据评分结果绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）估计游客满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若采用按比例分配的分层随机抽样方法，从满意度评分在和的游客中共抽取10人参加座谈，求满意度评分在和的游客应分别抽取多少人？答案：（1）（2）（3）满意度评分在的游客应抽取人，在的游客应抽取人解析：思路：（1）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为

建立方程求解即可；（2）利用各组区间的中点值乘以对应的频率，求和即可得到平均数的估计值；（3）先计算出两个区间内的频率及对应的人数，再根据分层抽样的比例进行计算即可.（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为

，可得：

，即，所以，解得.（2）根据频率分布直方图，各组的频率分别为：

的频率为

；

的频率为

；

的频率为

；

的频率为

；

的频率为

.估计游客满意度评分的平均数为：

.所以，估计游客满意度评分的平均数为

.（3）满意度评分在

的频率为

，则该区间内的游客人数为

（人）.满意度评分在

的频率为，则该区间内的游客人数为

（人）.因为采用按比例分配的分层随机抽样方法，共抽取人，所以抽样比为.故满意度评分在

的游客应抽取的人数为（人），满意度评分在

的游客应抽取的人数为

（人）.17.在平面直角坐标系中，已知，，．（1）求；（2）若四边形是等腰梯形，且，求点D的坐标．答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过计算向量坐标，根据向量夹角的坐标表示求解即可；（2）利用共线向量性质设出D点坐标参数形式，结合等腰梯形腰长相等列方程求解即可.（1），则，，.所以，因为向量夹角范围为，所以.（2）设，，，由得，与共线，故存在，使得，则，，所以，，即.又等腰梯形腰长相等，即，又，，，所以，整理得，解得或.当时，，与平行且相等，四边形为平行四边形，舍去；当时，，，符合等腰梯形条件.故的坐标为.18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．（1）求A；（2）若点D满足，，求的面积．（3）若P为内一点，且，，求的周长．答案：（1）（2）（3）