江西省南昌市江西科技学院附属中学2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数为奇函数，则（）A. B. C. D.2.设集合，，若，则由实数组成的集合为（）A. B. C. D.3.已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（

）A.0 B.2 C. D.14.下列命题是假命题的为（）A.若，，则B.若且，则C.若，则D.若，则5.已知函数，则的解集为（）A. B.C. D.6.设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.7.已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（）A.B.为减函数C.的值域为D.8.定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项中，对应关系为从集合到集合的函数的是（）A.为“乘以2”，B.为“对应元素为4或5”，C.为“求倒数”，D.为“求平方根”，10.已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（）A.存在实数使得，是方程的两根B.若，则的取值范围是C.的取值范围是D.的取值范围是11.已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（）A.是奇函数 B.2为的一个周期C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数且，则的值为______．13.已知函数，若正数，满足，则的最大值为___________．14.已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知为等差数列的前项和，，.（1）求；（2）求数列的前项和.16.已知幂函数的图象关于轴对称.（1）求实数的值；（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值.17.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围．18.如图所示，已知抛物线：的焦点为，直线过点．（1）若直线与抛物线相切于点，求线段的长度；（2）若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积．19.已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合.（1）若，且时，，求；（2）若，求的取值范围；（3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有，证明：对任意实数，函数在上至多有9个零点.

数学考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数为奇函数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：函数的定义域为.因为函数为奇函数，所以，即，得.当时，，，.所以函数为奇函数.所以.2.设集合，，若，则由实数组成的集合为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解.解答过程：当时，方程无解，即，满足；当时，由方程，解得，即，因为，可得或，解得或，所以由实数组成的集合为.3.已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（

）A.0 B.2 C. D.1答案：A解析：思路：利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果.解答过程：因为定义域均为且，所以可得，又因为是奇函数，是偶函数，所以即上式可化简为，再与相加可得，代入可得，所以即.故选：A.4.下列命题是假命题的为（）A.若，，则B.若且，则C.若，则D.若，则答案：C解析：思路：根据不等式的性质逐项验证即可求解.解答过程：对于A：由，所以，故A正确；对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确；对于C：当时，，故C错误；对于D：由，所以，所以，故D正确.5.已知函数，则的解集为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：先判断函数的奇偶性和时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可.解答过程：函数的定义域为R，且满足，故为偶函数；当时，，其中在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，因此在上单调递增；由偶函数性质，等价于，结合函数的单调性得两边均非负，平方后不等号方向不变，得，展开整理得，即，解得，即的解集为.6.设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件.解答过程：当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值.当时：时，单调递增，当时，，无最大值.当时：时，单调递减，故；时，，开口向下，对称轴为.若时，即时，在上的最大值为，则，解得；若时，即时，在上单调递增，最大值为，则即，因为，，不等式无解，函数此时无最大值；综上有最大值的充要条件为.因为，所以有最大值的一个充分不必要条件是.7.已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（）A.B.为减函数C.的值域为D.答案：D解析：思路：令，可求得，再分别令，，检验其正确性，确定，判断A；由A所得，求出，判断B；根据所得，求得，利用导数判断单调性，从而求得的值域，判断C；求出，利用基本不等式判断D.解答过程：对于A，令，得，所以或.当时，令，得，即.此时，所以.令，得，即.所以.同理可验证正确，故A错误；对于B，令，所以B错误；对于C，则，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，最小值为.所以的值域为，故C错误；对于D，因为，即，故D正确．8.定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：推导出函数是周期为的周期函数，根据对称中心在函数的图象上，可得出的值，利用导数可求出函数在上的最大值和最小值，再结合函数的对称性和周期性可求得函数的最小值和最大值，即可得解.解答过程：对任意的，，，所以的图象关于直线对称，又关于点对称，所以，，所以，所以，即，所以，故是周期为的周期函数．因为的定义域为，所以对称中心在的图象上，可得，则．当时，，有，当或时，；当时，.可知在上递增，在区间上递减，在上递增．当时，，，又因为，，所以，，由于的图象关于点对称，故当时，，．故当时，，．由于的图象关于直线对称，故当时，，．因为是周期为的周期函数，故当时，，．因此的最大值与最小值的差为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项中，对应关系为从集合到集合的函数的是（）A.为“乘以2”，B.为“对应元素为4或5”，C.为“求倒数”，D.为“求平方根”，答案：AC解析：思路：根据函数的定义，结合选项依次判断即可.解答过程：A：若，则，符合题意，故A正确；B：因为，所以不符合题意，故B错误；C：若，则，所以符合题意，故C正确；D：若，则的平方根为，而，故D错误.故选：AC10.已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（）A.存在实数使得，是方程的两根B.若，则的取值范围是C.的取值范围是D.的取值范围是答案：ABD解析：思路：结合韦达定理、基本不等式、二次函数值域求解，先利用题干等式转化为韦达定理形式，再分别分析各选项.解答过程：选项A：若、是方程的两根，由韦达定理得，，代入题干，左边，右边，等式成立；又，则，即或时存在这样的，A正确；选项B：若，由基本不等式，代入得，令，则，解得即，当且仅当时等号成立，但，故，即范围为，B正确；选项C：令，则，则、是方程的两根，判别式，解得或，即的范围是，并非仅，C错误；选项D：，由：当时，，故；当时，，故，综上范围为，D正确.11.已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（）A.是奇函数 B.2为的一个周期C. D.答案：ACD解析：思路：根据函数的奇偶性，先分析函数和函数的基本性质，再结合函数的对称性、周期性分析各个选项.解答过程：已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，因为为奇函数，所以，则函数的图像关于点对称.因为函数，且为偶函数，所以，则函数的图像关于直线对称，即.对于A，由，且，可得，，则对任意成立，即，所以是奇函数.对于B，由函数的图像关于点对称，且为奇函数，可得，用代替x，则，所以函数的一个周期为4，不是2.对于C，由，令，则，因为为奇函数，令，则，即，因此.对于D，因为是奇函数，其图象是一条连续不断的曲线，所以，由，且，令，可得.因为函数的周期为4，所以，，，.由，可得：，，，，，，，，可以发现：，，每4项为一个周期，每个周期的和为，100项中共有25个周期，所以.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数且，则的值为______．答案：解析：解答过程：函数且，所以，即,所以13.已知函数，若正数，满足，则的最大值为___________．答案：解析：思路：利用条件得到，结合条件求的范围，设，则，结合对勾函数性质求的范围可得结论.解答过程：，，即，得，，因为，所以，所以，设，则，故，由对钩函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.14.已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________．答案：解析：思路：根据函数的递推性质及奇偶性求出参数，再由函数解析式及递推关系得出即可得解.解答过程：因为当时，满足，所以，即，又函数为上的奇函数，所以，即，解得，又，解得，所以时，，所以，由，，所以，同理，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知为等差数列的前项和，，.（1）求；（2）求数列的前项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据等差数列的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可；（2）利用裂项相消法进行求解即可.（1）因为数列是等差数列，所以由，所以公差为，所以；（2），所以，因此16.已知幂函数的图象关于轴对称.（1）求实数的值；（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值.答案：（1）（2）或3解析：思路：（1）根据幂函数的定义可知，解得，再根据图象关于轴对称可进一步确定的值；（2）根据图象对称轴的位置求得最值，列方程即可求解.（1）因为函数是幂函数，所以，解得或.当时，；当时，，因为函数关于轴对称，所以函数是偶函数，即，故.（2）由（1）知，因为在区间上的最小值为，所以①当，即时，在区间上单调递增，所以，解得，符合；②当，即时，，解得，又因为，所以；③当，即时，在区间上单调递减，所以，解得，不符合，舍去.综上可得，的值为或3.17.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围．答案：（1）当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）解析：思路：（1）求导，分，两种情况讨论求解即可；（2）令，求导，分，两种情况，根据函数单调性与求解即可.（1）．当时，恒成立，故函数在单调递增；当时，令得．故当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）令，，，，，．令，，而在恒成立，即在单调递增，故当，即时，，在单调递增，在恒成立；当，即时，当时，，所以，存在，使得时，，时，，所以在单调递减，在上单调递增，故由可知，时，与在恒成立矛盾；综上，实数的取值范围是．18.如图所示，已知抛物线：的焦点为，直线过点．（1）若直线与抛物线相切于点，求线段的长度；（2）若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积．答案：（1）4（2）解析：思路：（1）利用直线与抛物线相切得到参数值，进而得到点坐标，再利用抛物线的定义求解长度即可.（2）联立方程组结合韦达定理得到，结合给定向量关系建立方程，求出点的不同坐标，再结合重心的性质求解三角形面积即可.（1）设直线的方程为，联立方程组，得到，因为直线PQ与抛物线相切，所以，解得，此时，代入抛物线中得，由抛物线定义得．（2）由题意得直线的方程为，如图，设，，连接，联立方程组，得，则．，且，，，解得，当时，，，直线，联立方程，得，则，由已知得点为的重心，所以，同理当时，，综上所述．19.已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合.（1）若，且时，，求；（2）若，求的取值范围；（3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有，证明：对任意实数，函数在上至多有9个零点.答案：（1）1（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）代入即可求解，（2）根据在和上的单调性可得，结合，即可根据二次函数的性质求解，（3）根据的奇偶性以及所给定义，可作出的图象，结合函数图象交点的情况，对分类讨论即可求解.（1）由，得，所以.（2）因为，所以存在实数使得，且，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递增.由，得，所以，若，则方程无解；若，则方程可以化为，因为在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，当