江西省宜春市宜丰县宜丰中学2025-2026学年高二下册7月期末质量检测数学试卷-含答案

数学一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合，，则的元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.42.已知命题，则命题的否定是（）A. B.C. D.3.下列结论正确的是（）A.当且时，B.当时，C.当，的最小值为2D.当时，的最小值为24.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.5.若，，，则（）A. B. C. D.6.若函数的图象关于点对称，且，则（）A. B. C. D.7.已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（）A. B.C. D.8.已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（每小题6分，共18分）9.已知二次函数的图象如图所示，下列结论正确的有（）A.B.C.方程有两个相等的实数根D.方程的两根是，10.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（）A.是周期为4的周期函数B.的图象关于直线对称C.D.在（3，4）上单调递减11.已知数列中各项均不为0，函数的两个极值点为，且，则（）A.B.当时，数列的前2026项之和为C.当时，数列的通项公式D.当时，若数列，则的前项和为三、填空题（每小题5分，共15分）12.曲线在处的切线方程为______．13.设函数，是二次函数.若的值域是，则的值域是_____.14.已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______．四、解答题（77分）15.已知集合，．（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围．16.已知等比数列的公比，且．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和；（3）设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围．17.已知函数，其中且．（1）设．①若，求的值；②若，求的最小值．（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．18.已知函数.（1）若，求函数在的最值；（2）讨论的单调性；（3）若有两个零点，求的取值范围.19.已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”.（1）已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求；（2）已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由；（3）已知，且集合A为“完美集”，求A.

数学一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合，，则的元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：解答过程：由，得．又，所以．由，得，所以．因此．所以的元素个数为2．2.已知命题，则命题的否定是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：根据全称命题否定的规则，即命题的否定是.3.下列结论正确的是（）A.当且时，B.当时，C.当，的最小值为2D.当时，的最小值为2答案：B解析：思路：利用基本不等式成立的条件来作出判断，若不成立则举反例即可.解答过程：选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确；选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确；选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确；选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确.故选：B4.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先判断函数的单调性，再根据函数的零点存在定理，即可判断.解答过程：根据题意，令，，则，根据指数函数的图象性质，可知在内单调递减，根据一次函数的图象性质，可知在内单调递减，所以为上的减函数，又，，所以的零点所在区间是.故选：D5.若，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先利用对数的运算性质求出的值，再根据对数函数的单调性分别比较与、与的大小，即得.解答过程：根据题意，，因函数为上的增函数，由于，因此，即，又因为，而，函数为上的增函数，由，可得，即，综上可得，.6.若函数的图象关于点对称，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据函数图象的对称问题，得到为奇函数，再根据奇函数的含义得到的值，即可求得结果.解答过程：因为的图象关于点对称，所以函数为奇函数，则，即，且为奇函数，所以，得，所以，故选：A.7.已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断．解答过程：因为是定义域为的偶函数，则，故关于对称；因为在上单调递减，故在上单调递减；则在上单调递增；则等价于即，左右两边平方可得，即，解得，故不等式的解集为．8.已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解.解答过程：令，依题意，．函数在上单调递增．对，不等式恒成立，,即，．当时，，则，则；；故在单调递减，在单调递增；可得时，函数取得极小值即最小值，．当时，，此时，在上单调递减，又时，，且，则则的取值范围是.二、多选题（每小题6分，共18分）9.已知二次函数的图象如图所示，下列结论正确的有（）A.B.C.方程有两个相等的实数根D.方程的两根是，答案：CD解析：思路：由图象可计算出，再逐项计算即可得.解答过程：由图可得，解得，即；对A：由，则，故A错误；对B：，故B错误；对C：，则方程有两个相等的实数根，故C正确；对D：，解得，，故D正确.故选：CD.10.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（）A.是周期为4的周期函数B.的图象关于直线对称C.D.在（3，4）上单调递减答案：ABD解析：解答过程：因为，所以，所以的周期为4，故A正确；因为为上的奇函数，所以，所以，又当时，，其图象对称轴为直线，结合奇函数的性质可知其图象也关于直线对称，故B正确；因为，，，，则，所以，故C不正确；当时，，，由，得，其在上单调递减，所以D正确.11.已知数列中各项均不为0，函数的两个极值点为，且，则（）A.B.当时，数列的前2026项之和为C.当时，数列的通项公式D.当时，若数列，则的前项和为答案：ABD解析：思路：对于A，由条件结合极值点的定义可求即可判断，对于B，当时由递推关系求数列的前几项，再结合数列的周期性利用分组求和法求前项的和即可判断，对于C，将代入递推关系化简即可证明数列是等差数列，结合等差数列通项公式求结论，对于D，利用裂项相消法求的前项和即可判断.解答过程：对于A，因为数列各项均不为零，为函数的两个极值点，所以的解为，故A正确；对于B，当时，，所以有，，.所以此时该数列的周期为6，则，所以的前2026项和为，故B正确；对于C，当时，由，得，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，故C错误；对于D，因为，所以的前项和为，故D正确.三、填空题（每小题5分，共15分）12.曲线在处的切线方程为______．答案：解析：解答过程：由题可得，由于，，所以曲线在处的切线方程为，即．13.设函数，是二次函数.若的值域是，则的值域是_____.答案：解析：思路：作出的图象，由函数的值域是，，根据图象求的取值范围，结合是二次函数得出答案.解答过程：因为，作出函数图象如图，又因为函数的值域是，，所以，或或因为函数是二次函数，所以，与不可能同时存在，且存在一个，所以，，故答案为：.14.已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______．答案：解析：思路：只需要满足在上恒小于等于在上的最大值，导根据导函数得出，再分离参数得出，令，求导判断单调性即可.解答过程：由已知可知，只需满足对任意的，总存在，只需要满足在上恒小于等于在上的最大值.，令，即，解得或（舍去），当时，，单调递减；当时，，单调递增，故在单调递减，，，化简得，即对任意的恒成立，令，即，令，解得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故的最大值为，.四、解答题（77分）15.已知集合，．（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）根据充分不必要条件，得到为的真子集，从而得到不等式组，求出答案；（2）分和两种情况，得到不等关系，求出答案（1），故等价于，解得，故，，是的充分不必要条件，故为的真子集，故或，解得；（2）为真命题，若，则，解得，若，需满足或，解得或，综上，实数的取值范围是或.16.已知等比数列的公比，且．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和；（3）设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由，，根据等比数列的通项公式可解得，，进而可得答案；（2）应用对数运算，再利用裂项相消法可求；（3）根据错位相减法求出，代入不等式得对任意正整数恒成立，设，对分奇偶讨论，可得答案.（1）因为，所以.又因为，所以，，所以数列的通项公式为.（2）,所以.（3）因为，所以，，两式相减得，，所以.所以对任意正整数恒成立.设，易知单调递增.当为奇数时，的最小值为，所以，解得；当为偶数时，的最小值为，所以.综上可知，即的取值范围是.17.已知函数，其中且．（1）设．①若，求的值；②若，求的最小值．（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）①；②（2）解析：思路：(1)①由得，代入表达式即可；②写出的表达式，利配方法求其最小值即可；(2)当分别讨论分析即可.（1）时，，①由得，．②，时，，即时，；（2）当时，的值域为，不符合条件，，且解得，，即实数的取值范围.18.已知函数.（1）若，求函数在的最值；（2）讨论的单调性；（3）若有两个零点，求的取值范围.答案：（1）最大值为，最小值为.（2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）.解析：思路：（1）将代入得到具体函数表达式，对函数求导，判断导数在区间上的符号，确定函数单调性，根据函数单调性求出区间端点的函数值，进而得到最值；（2）对求导，将导函数整理为关于的因式形式；参数的取值会影响导数的符号，分和两种情况讨论正负所在的区间，确定函数单调性；（3）结合（2）中得到的函数单调性，分析函数的极值情况；因为函数有两个零点，根据不同的取值范围，分析函数的最值、极限趋势，结合零点存在定理确定的取值范围.（1），则；，即在内单调递减.，；即函数在时的最大值为，最小值为.（2），则函数的定义域为..当时，，即在上单调递减；当时，令，即，解得.若，则，即在上单调递增；若，则，即在上单调递减；综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）由（2）知，当时，在上单调递减，最多只有一个零点，不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值；即有2个零点，，即.令，则；在上单调递增.又，时，；，得；即的取值范围为.19.已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”.（1）已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求；（2）已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由；（3）已知，且集合A为“完美集”，求A.答案：（1）－2（2）设数列的公比为q，依题意，，，因为集合A为“完美集”，所以，整理得，解得，不符题意，所以不存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”；（3）或解析：思路：（1）根据“完美集”的定义与等差数列性质即可