辽宁辽南协作体2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.已知等差数列，则“”是“”成立的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要3.已知函数，若，，，则（）A. B.C. D.4.已知实数且，，函数，若，则（）A. B.2 C. D.35.若等比数列中的，是方程的两个根，则（）A. B.1015 C. D.10146.已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（）A. B. C. D.7.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知在上为局部奇函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，若不等式有解，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.“，”的否定形式是“，”B.“”的一个充分不必要条件是“”C.若关于的不等式在[1,5]上恒成立，则实数的取值范围是D.已知定义域为的函数满足，则10.当下新能源汽车备受关注，某校“祖冲之”社团（借助数学家“祖冲之”命名）对“学生性别和喜欢新能源汽车是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢新能源汽车的人数占男生人数的，女生喜欢新能源汽车的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢新能源汽车和性别有关，则调查人数中男生有可能的人数为（）附：0.0500.0103.8416.635A.25 B.45 C.60 D.4011.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的值域为RB.是偶函数C.的图象关于直线对称D.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，12题第一个空3分，第二个空2分）12.已知函数，则函数的最小值为______________此时______________.13.若是函数的极值点，则的值为___________.14.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子.他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理.现有函数，设数列满足，，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是______________.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限（单位：年）24568失效费（单位：万元）34567（1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱.（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001）（2）求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用12年的失效费.附：样本的相关系数，回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.16.已知函数，．（1）当时，求不等式的解集为A．（2）已知集合，若，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．17.已知函数，，.（1）函数在点处的切线方程为，求a，b的值；（2）求函数的极值；（3）函数，若，证明：.18.已知是数列的前项和，且满足，，数列满足，（1）求和；（2）若数列满足，，求的前项和.19.已知函数，.（1）证明：当a=0时，；（2）当时，，求实数的取值范围；（3）已知，证明：.

数学考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）1.若集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由根号下的非负性解不等式，结合对数函数的图像性质即可求解.解答过程：解，得，即集合，对于，为函数的图像向左平移2个单位，其值域不变为，即集合，所以.2.已知等差数列，则“”是“”成立的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要答案：A解析：解答过程：设等差数列公差为，则有，由，则，则时，，成立，“”是“”成立的充分条件.时，有，即可推出或的结论，故“”不是“”成立的必要条件.故A正确.3.已知函数，若，，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：先判断函数在上的单调性，再分别化简、、的取值范围，由单调性得到函数值的大小关系.解答过程：设，当时，，故在上单调递减.对于，由得，对于，由换底公式，，由得，对于，即，故，于是，又函数在上单调递减，故.方法提示：先研究的单调性，再把对数、指数化到可比较区间，用“自变量越大、函数值越小”排序.4.已知实数且，，函数，若，则（）A. B.2 C. D.3答案：B解析：思路：根据函数的解析式形式，构造新函数，根据新函数的性质进行求解即可.解答过程：令，则，所以，所以，所以，因为，所以.5.若等比数列中的，是方程的两个根，则（）A. B.1015 C. D.1014答案：C解析：思路：由等比数列的性质得到，进而得到，再根据对数的运算性质计算即可.解答过程：由韦达定理可知，由等比数列的性质可知，所以，所以.6.已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由，解得或，再由为非奇非偶函数，确定函数

,然后再利用裂项相消法求解.解答过程：由题意得：，解得或，而当时，为偶函数，不合题意；当时，为非奇非偶函数，符合题意，则，则．7.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知在上为局部奇函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：结合已知条件，利用函数新定义，通过分离参数和基本不等式即可求解.解答过程：由局部奇函数的定义可知，，从而，因为，所以，当且仅当，即时，不等式取等号，从而，即实数的取值范围是.故选：B.8.已知函数，若不等式有解，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：使用导数确定函数的单调性，结合奇偶性使用脱壳法将抽象函数不等式转化为，进而分离参数并运用基本不等式求解.解答过程：由题意得，其中，即，所以恒成立，即恒成立，设，，，所以是奇函数，，所以是奇函数，此时，，所以也是奇函数，因为单调递增，单调递减，单调递减，则单调递减，，所以单调递增，单调递减，所以单调递减，，由奇函数得，由单调递减得有解，即.令，则，当且仅当即时等号成立，易得一定有解，则.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.“，”的否定形式是“，”B.“”的一个充分不必要条件是“”C.若关于的不等式在[1,5]上恒成立，则实数的取值范围是D.已知定义域为的函数满足，则答案：BD解析：思路：选项A，根据全称命题否定的定义，先改全称量词为存在量词，再否定结论；选项B，结合三角函数的性质进行充分性和必要性的验证即可；选项C，根据题意进行参数分离，进而构造函数求解最大值得到的取值范围；选项D，根据函数递推关系推导函数的周期，再结合周期求解函数值.解答过程：选项A原命题“”的否定应为“”，A错误.选项B，充分性：若，则，充分性成立；必要性：若，则或，不一定推出，必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，B正确.选项C，不等式在上恒成立，则对任意恒成立.令，则在上单调递减，最大值为，所以，即，C错误.选项D，由，可得①，②，②①可得，即周期为.已知，可得，且，，；又，所以，D正确.10.当下新能源汽车备受关注，某校“祖冲之”社团（借助数学家“祖冲之”命名）对“学生性别和喜欢新能源汽车是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢新能源汽车的人数占男生人数的，女生喜欢新能源汽车的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢新能源汽车和性别有关，则调查人数中男生有可能的人数为（）附：0.0500.0103.8416.635A.25 B.45 C.60 D.40答案：BC解析：思路：设男生可能有人，作出列联表并计算得到，由可求得的范围，结合是的正整数倍可得结果.解答过程：设男生可能有人，依题意可得列联表如下：

喜欢新能源汽车不喜欢新能源汽车总计男生女生总计，有的把握认为是否喜欢新能源汽车和性别有关，，解得：，又是的正整数倍，和都满足题意.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的值域为RB.是偶函数C.的图象关于直线对称D.答案：BCD解析：思路：求得的值域判断选项A；求得的奇偶性判断选项B；求得的对称轴判断选项C；求得的大小关系判断选项D.解答过程：，因为，所以的值域为.A错；的定义域是R，且，则是偶函数.B对；的图象可看成的图象向左平移一个单位长度，又的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称.C对；令，则，当时，，单调递增，且又为上增函数，所以在上单调递增，因为，所以，又是偶函数，则，则.D对.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，12题第一个空3分，第二个空2分）12.已知函数，则函数的最小值为______________此时______________.答案：①.②.解析：思路：利用基本不等式求解即可.解答过程：因为，所以，又因为，当且仅当，即或(舍去)时等号成立.所以函数的最小值为，此时.13.若是函数的极值点，则的值为___________.答案：3解析：思路：根据题意，求出函数的导数，分析可知，据此可求出，然后针对的每一个值，进行讨论，看是不是函数的极值点，综合即可得答案.解答过程：解：根据题意，，得，

由题意可知，解得或，

当时，，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点；

当时，，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，

故答案为：3.方法提示：本题考查利用导数分析函数的极值，本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.14.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子.他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理.现有函数，设数列满足，，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是______________.答案：解析：思路：利用倒序相加求出，进而得到通项公式，再结合对勾函数的单调性求出的取值范围.解答过程：由，可得，所以.对，倒序相加可得：，两式相加可得：，所以，代入不等式可得：，整理得，即.令，当时，单调递减，当时，单调递增.又，，，所以，即，故，即实数的取值范围是.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限（单位：年）24568失效费（单位：万元）34567（1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱.（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001）（2）求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用12年的失效费.附：样本的相关系数，回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.答案：（1），认为与线性相关性很强（2）线性回归方程为，失效费约为9.9万元解析：解答过程：（1）由表知，，，，故，认为与线性相关性很强；（2）由（1）知，，又，，故关于的线性回归方程为，当时，，即估算12年的失效费约为9.9万元.16.已知函数，．（1）当时，求不等式的解集为A．（2）已知集合，若，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意，把不等式，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.（1）解：当时，可得，，因为，可得，所以，可得，解得，所以不等式的解集.（2）解：由（1）知，集合，且，因为是的必要不充分条件，所以，①若，则，解得，符合题意；②若，由，可得，此时不等式组解集为空集，综上可得：实数的取值范围是．17.已知函数，，.（1）函数在点处的切线方程为，求a，b的值；（2）求函数的极值；（3）函数，若，证明：.答案：（1）（2）的极大值为，无极小值（3）证明如下：易知，则，令，则，令，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数的极大值为，由已知，∴，，由（2）可知，证毕.解析：思路：（1）利用导数的几何意义计算参数即可；（2）直接求导，判定函数的单调性计算极值即可；（3）化简函数式，求导判定其单调性得出极大值即最大值，根据条件得出，再结合第二问的结论即可证明.（1）易知，切线斜率为，所以，由切线方程可得；（