辽宁省鞍山市第二十四中学等校2025-2026学年高三上册9月质量监测数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列空间几何体中，名为圆台的是（）A. B. C. D.2.已知，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，，，则（）A. B. C. D.4.不等式的解集是（）A. B. C. D.5.已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（）A. B. C. D.6.某校举办化学竞赛，竞赛试卷分为三大部分：无机化学、有机化学、结构化学．试题数目分别为100、80、60．小钟作为参赛者之一，提交试卷后，收到反馈：“有机化学”正确率0.84，“无机化学”正确率0.72，“结构化学”正确率0.44．现从他作答的试卷中随机选择一题，则正确率为（）A. B. C. D.7.已知是偶函数，则（）A. B. C. D.8.在中，，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数关于对称的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则（）A.当时，有极小值B.无论取何值，总存在单调递减区间C.当时，D.若，都有，则11.已知椭圆，其左右顶点分别为，左右焦点分别为．是椭圆上一点，的离心率为，则（）A.若在上只存在2处点的位置，使得的面积为，那么B.直线的斜率为，那么C.若为内切圆圆心，那么直线的斜率之积为D.延长交于，若，，那么三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中，各项系数中的最大值为____________．13.记为正项数列的前项和，已知，则________．14.已知则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为了解某地初中学生电子产品日均使用时长与视力的关系，从该地区名学生中抽取人，得到电子产品日均使用时长与视力的数据如表所示．电子产品日均使用时长[0，0.5)[0.5，1)[1，1.5)[1.5，2)[2，2.5]不近视人数524831145近视人数81266125139（1）该地区40000名初中学生中电子产品日均使用时长少于1.5小时的人数约有多少；（2）是否有97.5%的把握认为“不近视”与“电子产品日均使用时长少于1小时”有关？附：，其中，．16.已知是边长为的等边三角形，为中点，，为靠近的三等分点．连接．将沿折起，使得．（1）若，求翻折前的值；（2）证明：翻折后，；（3）若，求翻折后二面角的正弦值．17.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求证：，；（3）若两个不相等实数满足，求证．18.已知椭圆和圆．是圆上一动点，连接点，延长（不平行于坐标轴）交圆于．是椭圆上顶点，延长分别交椭圆于两点，，椭圆离心率．（1）求椭圆方程和圆方程；（2）求证：直线过定点．19.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，其几何表述为：曲线上两端点，间必存在一点，其切线与割线平行．现已知，．，．（1）证明：当时，；（2）为得到的近似数值，我们使用牛顿-二分法：在上任取一个，使得，然后在点处作曲线切线，切线横截距为．重复这一过程，得到近似数值数列——“牛顿数列”．①当时，证明：．②由①可证得：“牛顿数列”为递减数列，且，．在以①的结论及上述推论为前提条件下，证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列空间几何体中，名为圆台的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由几何体的结构，逐个判断即可.解答过程：A为圆锥，B为棱锥，C为圆柱，D为圆台，故选：D2.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由复数的乘法、除法运算结合共轭复数的概念即可求解.解答过程：，所以，所以，故选：A3.已知向量，，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先应用向量的坐标运算得出，再结合向量垂直的坐标关系计算求参.解答过程：向量，，，又因为，所以，则.故选：B.4.不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过，，讨论去绝对值求解即可.解答过程：当时，不等式为，解得：且，即为空集，当时，不等式为，解得：，当时，不等式为，解得，综上不等式的解集为，故选：C5.已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：联立双曲线与直线的方程，利用列式求解即可.解答过程：，可得，当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意，当时，即时，，即，解得.故选：B.6.某校举办化学竞赛，竞赛试卷分为三大部分：无机化学、有机化学、结构化学．试题数目分别为100、80、60．小钟作为参赛者之一，提交试卷后，收到反馈：“有机化学”正确率0.84，“无机化学”正确率0.72，“结构化学”正确率0.44．现从他作答的试卷中随机选择一题，则正确率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用全概率公式进行求解即可.解答过程：从他作答的试卷中随机选择一题的正确率为：，故选:A.7.已知是偶函数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由，得到即可求解.解答过程：因为是偶函数，所以，化简可得：，所以恒成立，即，故选：C8.在中，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用三角恒等变化，可得，从而可求出角，最后解等腰三角形即可求解.解答过程：由可得，，由，可得，由于，可得，所以可得，联立可得：，在等腰三角形中，作高为，则，设，则，则，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数关于对称的是（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：利用代入检验法判断三角函数的对称轴对选项逐一分析.解答过程：对于：，，所以不是的对称轴，故错误；对于：，所以是的对称轴，故正确；对于：，，所以是的对称轴，故正确；对于：，，所以是的对称轴，故正确.故选：BCD.10.已知函数，则（）A.当时，有极小值B.无论取何值，总存在单调递减区间C.当时，D.若，都有，则答案：ACD解析：思路：求导可得，根据极小值定义可判断A；当时，可判断B；当时，利用导数求出函数的最大值可判断C；由题可得，，对分类讨论，利用导数求出最值可判断D.解答过程：，对于A：当时，，当时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以有极小值为，故A正确；对于B：当时，，在上单调递增，故B错误；对于C：当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故C正确；对于D：当时，在上恒有，所以在上单调递减，则，解得，所以的范围是，当时，令，解得或，当时，即，在上，此时，在此区间上单调递增，不符合题意，舍去，当时，即，在上有，此时单调递增，不符合题意，舍去，综上可得的范围是，故D正确.故选：ACD.11.已知椭圆，其左右顶点分别为，左右焦点分别为．是椭圆上一点，的离心率为，则（）A.若在上只存在2处点的位置，使得的面积为，那么B.直线的斜率为，那么C.若为内切圆圆心，那么直线的斜率之积为D.延长交于，若，，那么答案：ABD解析：思路：利用特殊位置的点来求解即可判断A，利用坐标法来表示斜率即可判断B，利用举反例来判断C，利用椭圆的第二定义来求焦半径可判断D.解答过程：在上只存在2处点的位置，使得的面积为，则点必为椭圆的上下顶点，即此时面积为：，由椭圆方程可知：，所以，则，即，故A正确；‘是椭圆上一点，则，由直线的斜率为，，又因为，所以，故B正确；举例，当，所以，，且取，利用等面积法来表示内切圆半径，即，则圆心，则此时的直线的斜率之积为,而此时的，显然此时的直线的斜率之积不为，故C错误；因为，所以，即准线方程为，，根据椭圆的第二定义：，焦点到准线的距离为，作出椭圆的准线，再过点作准线的垂线，垂足分别为，再过点作垂线，垂足为，解直角梯形可得：，又因为，所以解得，同理可得：，即，故D正确；故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中，各项系数中的最大值为____________．答案：##解析：思路：求出二项展开式的各项的系数，进行比较，可得答案.解答过程：在的展开式中，第一项的系数为：；第二项的系数为：；第三项的系数为：；第四项的系数为：；第五项的系数为：；第六项的系数为：.所以第五项的系数最大，为.故答案为：13.记为正项数列的前项和，已知，则________．答案：解析：思路：由与的关系得到，得到，进而可求解.解答过程：由，当时，可得，即，当时，可得，即：，，所以为首项是1，公差为1的等差数列，所以，因为是正项数列，所以，所以，故答案为：.14.已知则________．答案：解析：思路：利用对数运算、指数运算求解即可.解答过程：，两边取以3为底的对数可得，设，则，则，即，因为为增函数，为减函数，所以函数与函数的图象只有1个交点，即方程只有1根，观察发现，当时，满足方程，因为，即，解得，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为了解某地初中学生电子产品日均使用时长与视力的关系，从该地区名学生中抽取人，得到电子产品日均使用时长与视力的数据如表所示．电子产品日均使用时长[0，0.5)[0.5，1)[1，1.5)[1.5，2)[2，2.5]不近视人数524831145近视人数81266125139（1）该地区40000名初中学生中电子产品日均使用时长少于1.5小时的人数约有多少；（2）是否有97.5%的把握认为“不近视”与“电子产品日均使用时长少于1小时”有关？附：，其中，．答案：（1）（2）有解析：思路：（1）确定500人中电子产品日均使用时长少于1.5小时的比例，继而即可求解；（2）求出，与比较大小，继而即可判断.（1），（2），电子产品日均使用时长不近视人数10050150近视人数20330350总计120380500有97.5%的把握认为“不近视”与“电子产品日均使用时长少于1小时”有关．16.已知是边长为的等边三角形，为中点，，为靠近的三等分点．连接．将沿折起，使得．（1）若，求翻折前的值；（2）证明：翻折后，；（3）若，求翻折后二面角的正弦值．答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用勾股定理证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理证明即可；（3）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量法求解余弦值，再根据同角关系式求解正弦值即可.（1）易知．故．由余弦定理可得：，解得.（2）为中点，为等边三角形，则，．同理．因为翻折后，又，所以，又因为，平面，故．（3）由（2）得，，，因为，为中点，所以，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，，，，因为，，所以，故，所以，，设面的法向量为，，则平面的一个法向量为，设面的法向量为，，则平面的一个法向量．设二面角的大小为，则，所以.17.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求证：，；（3）若两个不相等实数满足，求证．答案：（1）在上单调递增；在上单调递减（2）由，原问题等价于证明，令，又，即在上单调递增．即当，可知·（3）令，则易知在上单调递增；在上单调递减．因为，不妨设令，又且当时，，故在上单调递增．故，即在上恒成立．则有又，在上单调递增；所以，得证.解析：思路：（1）求导，由，即可求解；（2）问题等价，令，求导确定单调性即可求解；（3）由条件得到，构造函数，求导确定单调性，进而可求证.（1），求导得当时：；当时：．综上所述，在上单调递增；在上单调递减·（2）略（3）略18.已知椭圆和圆．是圆上一动点，连接点，延长（不平行于坐标轴）交圆于．是椭圆上顶点，延长分别交椭圆于两点，，椭圆离心率．（1）求椭圆方程和圆方程；（2）求证：直线过定点．答案：（1），（2）证明见解析解析：思路：（1）根据的关系式，离心率公式，圆的标准方程即可求解；（2）设，，，，联立直线与圆的方程，可得为方程的两根，联立直线与椭圆的方程，可得为方程的两根，两个方程为同解方程，故各项系数成比例，继而即可证明.（1），所以，，.（2），设，，，，将直线与圆联立：，将点坐标代入直线中：，整理得：，同理，故为方程①的两个根，将直线与椭圆联立：，将点坐标代入直线中：，整理得：，同理，故为方程②的两个根，①