辽宁省朝阳市北票市高级中学2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学（考试时间：120分钟满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.的虚部为（）A. B. C. D.33.“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要4.已知，则（）A.3 B. C.2 D.5.已知等差数列，若，则（）A.6 B.4 C.3 D.26.已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．）9.下列命题正确的是（）A.若，则或B.若，，则C.若，，，则的最小值为9D.若，，则的最大值为1810.已知函数，则（）A.函数的最小值为B.函数的一个对称中心为C.函数在区间单调递减D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到11.已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则（）A. B.双曲线的离心率为C.与双曲线有两个交点 D.的内心在轴上第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，若，则__________．13.若正三棱锥的高为3，，二面角为，则______.14.已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则__________．四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数，（1）求在处的切线方程；（2）求的单调区间和极值点．16.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角A的大小；（2）若，求的面积.17.已知，是抛物线：上的两点．（1）求抛物线的方程；（2）若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18.如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且．（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．19.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）讨论函数的单调性；（3）函数有两个零点，求证：．

数学（考试时间：120分钟满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解不等式得到，由函数定义域得到，再求交集即可．解答过程：解：，解得，即，，，解得，即，．2.的虚部为（）A. B. C. D.3答案：B解析：解答过程：因为，所以的虚部为.3.“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要答案：A解析：解答过程：解不等式得或，若，则成立，满足充分性，由得或，不能推出，不满足必要性，故是的充分不必要条件．4.已知，则（）A.3 B. C.2 D.答案：D解析：解答过程：由，得，所以，解得，所以.5.已知等差数列，若，则（）A.6 B.4 C.3 D.2答案：C解析：解答过程：在等差数列中，，解得，所以.6.已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知．解法2：当时，．令，得或，解得或，不满足题意，因此排除B、D选项．当时，，令，得或，解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A．7.已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由题意，根据双曲线的渐近线公式与直线与圆的位置关系，可列方程，可得答案.解答过程：双曲线的渐近线方程为，因为圆的圆心为，面积为，设圆的半径为，则，故，由渐近线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，所以双曲线的离心率为8.已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：通过求导，将条件转化为导数在区间上有解，从而分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可得到的取值范围．解答过程：由，则，又在区间上存在单调递增区间，则存在，使得，即，即成立，令，，则，所以在上单调递减，且，所以要使在上有解，只需，故的取值范围是．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．）9.下列命题正确的是（）A.若，则或B.若，，则C.若，，，则的最小值为9D.若，，则的最大值为18答案：AC解析：思路：A将分式不等式转化为整式不等式求解；B通过举反例或根据不等式乘法性质判断命题是否成立；C采用“1的代换”方法，结合基本不等式求目标式的最小值，再验证等号是否能取到；D设求出系数，再根据已知的两个区间范围，结合不等式的同向可加性求出的范围.解答过程：A，分式不等式等价于，整理得，解得或，A正确；B，举反例：若，满足，但，不等式不成立，B错误；C，已知，则，等号成立当且仅当，最小值为9，C正确；D，设，解得，即，已知，则，最大值为16，D错误.10.已知函数，则（）A.函数的最小值为B.函数的一个对称中心为C.函数在区间单调递减D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到答案：ABC解析：思路：由三角恒等变换化简得，逐项验证即可判断.解答过程：由题意有，对于A：的最小值为，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：由可得，由在单调递减，故C正确；对于D：由的图象向左平移个单位得到，显然与不是同一函数，故D错误.故选：ABC.11.已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则（）A. B.双曲线的离心率为C.与双曲线有两个交点 D.的内心在轴上答案：BC解析：思路：设双曲线的右焦点为，则，结合双曲线定义可求，，判断A，在中由余弦定理列方程求，判断B，结合关系求得双曲线的渐近线方程，根据直线与渐近线斜率大小关系结合图象判断C，利用反证法排除D.解答过程：对于A，设双曲线的右焦点为，连接，由双曲线的对称性及直线过原点可得关于原点对称，又关于原点对称，所以四边形是平行四边形，故，因为，所以，又，解得，，A错误，对于B，因为，所以.由余弦定理得，所以，B正确，对于C，由，，则双曲线的渐近线方程为，因为，所以与双曲线有两个交点，C正确，对于D，假设的内心在轴上，则有，，直线过坐标原点，所以，即需要，矛盾，D错误.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，若，则__________．答案：解析：解答过程：已知向量，，，则，解得，因此．13.若正三棱锥的高为3，，二面角为，则______.答案：##解析：思路：通过二面角的几何求法与长度关系先确定二面角的平面角为，再结合垂直关系求解即可.解答过程：如图，取棱的中点D，连接，，过点P作底面的垂线，垂足为E，则E在线段上，且，因为，，所以，，所以二面角的平面角为.因，所以，所以，即，故.14.已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则__________．答案：解析：思路：根据为奇函数，确定的图象关于中心对称，根据复合函数求导确定的图象关于轴对称，进而确定函数周期，即可求解.解答过程：因为为奇函数，所以，说明的图象关于中心对称，令，得，解得，令，得，将替换为，得，即，已知，，所以，由于，结合，可得，所以，其中为常数，令，得，解得，所以，即的图象关于轴对称，将替换为，得，结合，可得，进一步推导，得，说明是一个周期为的周期函数，已知，，由可知，，，一个周期内的和为，因为周期为，，所以表示个完整周期的和，再加上前两项，因此.四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数，（1）求在处的切线方程；（2）求的单调区间和极值点．答案：（1）（2）和上单调递增；在上单调递减，极大值点为；极小值点为．解析：思路：（1）求导，求出切点处的函数值及导数值，再利用导数的几何意义得出切线方程；（2）求导，利用导数分析函数单调性，进而得出单调区间和极值点．（1）函数求导得，由已知切点，由，故切线方程为：，即．（2）由（1）可知，若，即时，；若，即时，．在和上单调递增；在上单调递减；的极大值点为；极小值点为．16.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角A的大小；（2）若，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理得到，根据，求出；（2）由余弦定理得到，计算出，求出三角形面积.（1）由正弦定理得，因为，所以，故，即，因为，所以；（2），，由余弦定理得，故，解得，故.17.已知，是抛物线：上的两点．（1）求抛物线的方程；（2）若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．答案：（1）．（2）解析：思路：（1）由点在曲线上，建立方程组解出对应参数值，得到抛物线方程；（2）由（1）写出直线方程，联立方程组，用韦达定理建立关系式，再利用基本不等式求出最小值.（1）∵，是抛物线C：上的两点，∴，则，整理得，解得，当时，，解得，不合题意；当时，，解得，故抛物线C方程为；（2）由（1）知C的焦点为，故直线l的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．18.如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且．（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．答案：（1）在正四棱锥中，连接，连接，则点O是正方形的中心，平面，而平面，则，又，平面，，于是平面，而平面，所以.（2）；（3）存在，解析：思路：（1）连接，连接，利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直的性质判定推理即得.（2）由（1）的信息，确定二面角的平面角，再计算大小.（3）过点作一平面平行于平面，再确定该平面与的交点即可得解.（1）略（2）连接，由（1）知，平面，而平面，则，于是是二面角的平面角，令正方形边长为，则，有，又，则，，因此，，所以二面角的大小为.（3）存在.在SP上取点N，使得，过N作交SC于点E，连BN，由平面，平面，得平面，由是的中点，得，而平面，平面，得平面，又平面，因此平面平面，而平面，则平面，由（2）知，，即点是中点，于是，所以侧棱上存在一点E，使得平面，.方法提示：关键点睛：本题是探求过定点的直线与已知平面平行的问题，过定点作与已知平面平行的平面是关键.19.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）讨论函数的单调性；（3）函数有两个零点，求证：．答案：（1）的单调递减区间是，单调递增区间是（2）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（3），因为函数有两个零点，，不妨设，则，所以，整理可得，即，要证，即证，即证，令，即证，令，其中，则，所以函数在上为增函数，则，即，即，故原不等式得证．解析：思路：（1）求出函数的导函数，再解，即可得解；（2）求得，对实数a的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间；（3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立．（1）函数的定