辽宁省锦州市某校2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的单调递减区间是A. B. C. D.2.已知等差数列的前项和为，若，则（）A. B.2 C.9 D.213.52张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是，则第二次抽到的概率为（）A. B. C. D.4.已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.5.某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（）A. B. C. D.6.已知数列的前项和为，且，，，则（）A.162 B.243 C.384 D.5127.甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用局胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（）A. B.C. D.8.若方程在上有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（）A. B. C.1 D.210.在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（）A. B.C. D.数列的前1000项和大于11.高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（）A. B.C.的最大值为 D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________．13.已知随机变量，，且，若，则__________．14.已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，为数列的前项和，求.16.已知函数，.（1）若函数在点处的切线方程为，求，的值；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.17.2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列及数学期望；（3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列及方差．18.已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的取值范围.19.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）讨论函数的单调性；（3）函数有两个零点，求证：．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的单调递减区间是A. B. C. D.答案：D解析：思路：令t=4+3x-x2＞0，求得函数的定义域为（-1，4），且f（x）=log2t，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x2在定义域内的减区间．解答过程：函数f（x）=log2（4+3x-x2），令t=4+3x-x2＞0，求得-1＜x＜4，即函数的定义域为（-1，4），且f（x）=log2t，即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x2在定义域内的减区间为.故选D．方法提示：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．2.已知等差数列的前项和为，若，则（）A. B.2 C.9 D.21答案：B解析：思路：法一：利用等差数列的基本量，将其转化为的关系求解即可；法二：利用等差数列的性质求解即可.解答过程：法一：利用等差数列的基本量运算由，即，又.法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，，由，所以.故选：B.3.52张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是，则第二次抽到的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，则.4.已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据构造新函数，从而得到新函数的单调性，然后再对要求的不等式变形，变成“”的形式，然后根据函数单调性去掉对应关系“”，从而解得答案.解答过程：因为定义在上，所以中的式子要有意义，需满足，解得.因为，所以，即，设函数，则在定义域上单调递减.要求，则当，即时，，即，所以，解得或，所以；当，即时，，即，所以，解得；在中，令得，而在中，当时，有，显然成立；综上，的解集为.故选：D.5.某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由已知条件和分期付款公式列方程求解即可解答过程：由已知条件和分期付款公式，可得，∴．故选：C6.已知数列的前项和为，且，，，则（）A.162 B.243 C.384 D.512答案：C解析：思路：利用，可求得，再利用求解即可.解答过程：因为，即，所以，可得数列为等比数列，首项为，公比，所以，所以.7.甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用局胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先计算乙每局获胜的概率，再将乙获胜分为比赛2局获胜、3局获胜两类互斥事件，分别计算概率后求和即可.解答过程：由题意可知，每局比赛乙获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，乙战胜甲有两类互斥情况：第一类：乙连胜2局，那么第二类：比赛共进行3局，前2局乙胜1局且第3局乙胜，那么，故乙战胜甲的概率为8.若方程在上有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围.解答过程：由得，即，即.设，则，因为，所以在上单调递增，所以，即，设，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（）A. B. C.1 D.2答案：CD解析：思路：根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，进而求解不等式.解答过程：令函数，求导得，由，得，即函数在定义域上单调递增，由，得，不等式，即，解得，所以所求的值可能为1，2.10.在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（）A. B.C. D.数列的前1000项和大于答案：BC解析：思路：根据等差数列及等比数列的性质求出，，求出，即可判断ABC；求出的通项公式，进而得到，结合裂项相消法求出数列的前1000项和，利用放缩法与比较，即可判断D.解答过程：由题意知，，，.因为，，是公比为的等比数列，所以，，，即，，解得，，故B正确.，故A错误.，，，故C正确.因为为等差数列，所以.所以，则数列的前项和.，故D错误.11.高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（）A. B.C.的最大值为 D.的最小值为答案：ABC解析：思路：利用利用独立重复试验的概率公式和对称性求出.解答过程：依题意：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概率相同，由对称性可知，，，，，所以A，B正确,，，故C正确，D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________．答案：①.②.（答案不唯一，满足即可）解析：思路：利用等差数列前项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差的方程求解；由恒成立可知为前项和的最大值，结合数列的单调性得到且，代入公差解不等式即可得到的取值范围，选取范围内任意值即可.解答过程：等差数列的前项和公式为，通项公式为.∵，，∴.由，得，消去等式两侧的，整理得，解得.∵，等差数列为递减数列，且恒成立，∴为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即，代入通项公式得，解得，取即为符合条件的一个取值.13.已知随机变量，，且，若，则__________．答案：解析：思路：先根据二项分布的期望公式写出，再结合期望的线性性质代入构造关于的方程求出，利用正态分布的对称性求解连续型随机变量概率．解答过程：，，，，即，解得，，由对称性可得，又，，．故答案为：．14.已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为________．答案：0解析：思路：利用三次函数的性质，可依题意设函数，从而求导可得零点，然后根据题意分析这三个零点取值，最后可确定一种情形来求函数的极大值.解答过程：由题意可知，设有且只有两个不同的零点，则，即．令，得，，由于中，且，分析：由于，可知，又由于，且，所以零点的组合不能是或，故的组合只能是，这样只能是，，可计算得，满足题意，此时，．令，得或，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，则由单调性可知，的极大值为．故答案为：0四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，为数列的前项和，求.答案：（1）（2）解析：思路：(1)由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）把数列的通项公式代入，分组后利用等差数列与等比数列前项和公式求解．解答过程：由题可知，且即可得方法提示：本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了等差数列与等比数列前项和的求法，是中档题．16.已知函数，.（1）若函数在点处的切线方程为，求，的值；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：(1)求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出的值并验证即可(2)求出函数及导数，再由在上恒成立求出的范围（1）由题，，因为在处的切线为，所以，代入得切点为，切点在切线上，则.（2）由题，求导得，由在上单调递增，得在上恒成立，当时，，因此在上恒成立，又，则17.2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列及数学期望；（3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列及方差．答案：（1）（2）的分布列为012数学期望为（3）的分布列为0123方差为解析：思路：（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，列出关于的方程并求解；（2）根据频率计算各层人数，按比例确定分层抽样中两组抽取人数，服从超几何分布，逐一求概率后列分布表并算期望；（3）用频率估计概率得单人成绩在给定区间的概率，服从二项分布，由二项分布公式求分布列，用二项分布方差公式计算方差.（1）依题意，得，解得．（2）依题意，成绩在的人有（人），成绩在的人有（人），用分层随机抽样的方法抽取5人，则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人．所以的所有可能取值为0，1，2，则，，所以的分布列为012所以．（3）因为成绩在的频率为，用频率估计概率，所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为．又全公司中成绩在范围的人有（人），所以的可能取值为0，1，2，3，且．所以，，，．所以的分布列为0123所以，所以．18.已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的取值范围.答案：（1）因为各项均为正数的数列的前项和为，则对任意的，，当时，，即，所以，，因此，数列是等差数列，且其首项为，公差为.（2）（3）解析：思路：（1）由已知等式变形得出，化简得出，结合等差数列的定义可证得结论成立；（2）结合（1）中的结论可得出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式；（3）由参变量分离法得出，令，分析数列的单调性，即可求得实数的取值范围.（1）略（2）由（1）可得，则当时，，也满足，