江苏省盐城市阜宁县2025-2026学年高一下册期末调研考试数学试卷-含答案

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，,则四面体的体积（）A.与，都有关 B.与，都无关C.与有关，与无关 D.与有关，与无关2.已知、表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则3.已知，，则的值为A. B. C. D.4.如图，在复平面内，已知复数，，，对应的向量分别是，，，是虚数单位，已知,则（）A. B. C. D.5.在中，，则（）A. B. C. D.6.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（）A. B. C. D.7.设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则A. B.C. D.8.如图，在中，，，点E为线段AB上一点，将绕DE翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得，记为的最小值，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为B.若，且有两解，则b的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.若，且，O为的内心，则的面积为10.已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A.若与互斥，则B.若与相互独立，则C.若，则事件与相互独立D.若，则11.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（）A.B.的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是同一平面上的3个向量，满足，，，则向量与的夹角为_____________，若向量与的夹角为，则的最大值为_____________．13.在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________.14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角，，所对的边分别为，，，.（1）求角；（2）若外接圆的半径为，求面积的最大值.16.已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2.（1）求复数；（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.17.俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求样本中数据落在的频率；（2）求样本数据的第50百分位数；（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.18.在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．（1）在平面直角坐标系中，已知，按照二阶矩阵变换得到点，求点的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设二阶矩阵，，是任意两个向量，求证：．19.如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．（1）求向量，的仿射坐标；（2）当时，求；（3）设，若对恒成立，求的最大值．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，,则四面体的体积（）A.与，都有关 B.与，都无关C.与有关，与无关 D.与有关，与无关答案：B解析：思路：作出辅助线，设正方体的边长为，可得，到平面的距离为定值，到直线的距离为定值，的面积为定值．从而得到即可求解.解答过程：如图，连接，，，，，，设正方体的边长为∵，平面，平面，∴平面，∴到平面的距离为定值，∵，∴到直线的距离为定值，∴的面积为定值．∵，∴四面体的体积是与m，n无关的定值．故选：B2.已知、表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：根据各选项中的已知条件判断各选项中线线、线面、面面的位置关系，由此可得出合适的选项.解答过程：对于A选项，若，，则或或或与斜交，A选项错误；对于B选项，若，，则或或与相交，B选项错误；对于C选项，若，，则，C选项正确；对于D选项，若，，则与平行或相交，D选项错误.故选：C.3.已知，，则的值为A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：所以，选D.4.如图，在复平面内，已知复数，，，对应的向量分别是，，，是虚数单位，已知,则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：结合图形，写出复数，，，再计算化简，求出其共轭复数，最后根据模的定义求模即可得到答案．【解答】由图可得，，，则，则，所以．5.在中，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设，用数量积的定义求出各数量积，结合余弦定理，求出（用表示），然后由正弦定理求得结论．解答过程：设，所以，，，即，，，所以，，，解得，，，所以，故选：B.方法提示：本题考查平面向量的数量积，考查余弦定理和正弦定理．解题关键是用余弦定理表示出各边长．6.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求出角的范围，再应用正弦定理得出面积，最后应用正切的值域计算求解.解答过程：因为在中，，所以，又因为为锐角三角形，所以，解得．又因为，所以由正弦定理可得：，由三角形面积公式可得：，又因为，所以，则，故，即，所以面积的取值范围是．7.设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则A. B.C. D.答案：B解析：思路：本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.解答过程：方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）由最大角定理，故选B.方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得，故选B.方法提示：常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.8.如图，在中，，，点E为线段AB上一点，将绕DE翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得，记为的最小值，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：易知，A在以AD为母线的圆锥上的一部分（弧AF），与所成的最大角为，只需.解答过程：如图，与所成的最大角为，只需即可.即，即，即.故选：C.方法提示：本题考查几何中的翻折问题，考查学生的空间想象能力、转化与化归能力，是一道难题.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为B.若，且有两解，则b的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.若，且，O为的内心，则的面积为答案：ACD解析：思路：先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积.解答过程：因为，所以由正弦定理，得，即，因为，所以，且，所以.选项A：若，则，所以的外接圆的直径，所以，所以的外接圆的面积为，选项A正确；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，故，解得b，所以选项B错误；选项C：由正弦定理，得，即，因为，所以，因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，故选项C正确；选项D：因为，由正弦定理得，因为，所以，所以由正弦定理，得，即，所以，即，所以，所以，又因为，所以，故，，解得，因为，所以，即是直角三角形，所以内切圆的半径为，所以的面积为，选项D正确.故选：ACD.方法提示：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.10.已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A.若与互斥，则B.若与相互独立，则C.若，则事件与相互独立D.若，则答案：ABC解析：思路：利用互斥事件的概率公式可判断A选项；利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B选项；利用独立事件的概念可判断C选项；由交事件的定义可判断D选项.解答过程：对于A选项，若与互斥，则，A对；对于B选项，若与相互独立，则，所以，，B对；对于C选项，若，且，所以，事件与相互独立，C对；对于D选项，若，则，所以，，D错.故选：ABC.11.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（）A.B.的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为答案：AC解析：思路：由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D；解答过程：解：因为，又由余弦定理，即，所以，所以，即，由正弦定理可得，又，，即，，，，为锐角，，即，故选项A正确；，，，故选项B错误；，故选项C正确；，又，，令，则，由对勾函数性质可知，在上单调递增，又，，，故选项D错误．故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是同一平面上的3个向量，满足，，，则向量与的夹角为_____________，若向量与的夹角为，则的最大值为_____________．答案：①.##②.解析：思路：由求出向量与的夹角，设，，，即可得到四点共圆，利用正弦定理求出外接圆的直径，即可求出的最大值.解答过程：因为，，，所以，又，所以，因为，，，如图，设，，，则，，又向量与的夹角为，则，又，所以四点共圆，又，所以，设外接圆的半径为，由正弦定理，所以的最大值为.故答案为：；13.在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________.答案：解析：思路：根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得.解答过程：因的面积为10，且，则有，解得，由图知表示直线上一点到点的向量，而则表示直线上一点到点的距离，由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离，故易得，此时,同理可得.如图所示,因，由可得：，由可得：，由锐角可得是锐角，故是钝角，于是，于是.故答案为：.方法提示：方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题.处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决.14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.答案：8.解析：解答过程：，又，因此即最小值为8.【考点】三角恒等变换，切的性质应用【名师方法提示：消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角，，所对的边分别为，，，.（1）求角；（2）若外接圆的半径为，求面积的最大值.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）先根据展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出，进而得出角的值.（2）根据题意和正弦定理可得出边长a的值，再由第一问和余弦定理得出b和c的关系，结合基本不等式即可求出面积的最大值.（1）由得，，所以，又，所以，所以，因为，所以；（2）由外接圆的半径为，则得，由余弦定理得，，即，所以，解得.所以，故面积的最大值为.16.已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2.（1）求复数；（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）设，得到、，根据和的虚部为2联立方程组解出、，再根据复数在复平面上对应点在第一象限得到复数；（2）分别求出、，得到点、、的坐标，求出.（1）设，，，由题意得，解得或，又因为复数在复平面上对应点在第一象限，所以.（2），，，所以对应的点，，，从而，，.17.俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求样本中数据落在的频率；（2）求样本数据的第50百分位数；（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.答案：（1）0.4（2）52.5（3）解析：（1）由频率分布直方图可得：组距为10，所以：，得：，故样本中数据落在的频率为：.（2）设第50百分位数为，易得位于50和60之间，则有：解得：.（3）分组人数为：人；分组人数为：人，利用分层抽样的方法易得：分组抽人，分组抽人，从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即：2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组，故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：.18.在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．（1）在平面直角坐标系中，已知，按照二阶矩阵变换得到点，求点的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式